向量公式

向量公式 向量概念总结 一、向量有关概念 名称 定义 备注 向量 既有_______又有_______的量。 向量不能比较大小 若已知，则axy,,，，向量的大小叫做向量的_______(或_______) 向量的模 记为_______ 22axy,，，模可以比较大小 零向量与所有向量平行; 零向量 长度为_______的向量，记为_______ 与所有向量垂直。 单位向量 长度等于_______的向量 平行向量 方向_______或_______的非零向量。 与任一向量平行或共线; 0 直线平行:不包括重合情况 共线向量:包括重合情况 共线向量 _______向量又叫共线向量。 ab,若、都是非零向量，ab 存在实数λ，使 ab,, 特点: 1、长度相等; 相等向量 长度_______且方向_______的向量 2、平行且方向一致 特点:1、长度相等; 长度_______且方向_______的向量 2、平行且方向相反 相反向量 的相反向量是本身 0,,,a_______ ，， 二、向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 备注 三角形法则: C ABBCAC，, 特点:首尾相连，首尾连。 A B ABC在中， ABBCCA，，,0 求两个向量和的运加法 平行四边形法则: 算 D C :相共起点，连对角。 ABACAD，, 特点:共同始点为相邻边的和是平行 四边形中有共同始点的对角线。 A B 三角形法则: 求与的相反向量ab ACABBC,,C 减法 的和的运算叫做,ba特点:共起点，指被减。 与的差 bA B 向量概念1 =_______ 1、当,a ,与向量求实数a 数乘 ,,0,,02、当时，与的方向_______;当时，与的方向,a,aaa的积的运算 ,,0,,R_______;当时，=_____;当时，则_____ ,aa,0,,,0三、向量的示 1、字母表示法:如、; 2、几何表示法:用一条______________表示向量; ABa B 3、坐标表示法:在平面直角坐标系中，设向量的始点为坐标原点， OA 终点坐标为A(x，y)，则向量坐标记为(x，y) OA A 四、两个向量的夹角 O ，,AOB,1、定义:已知两个_______向量与，作，，则叫做向量与的夹角。 OAa,OBb,abab 00,,,,2、范围:，与同向时，夹角_______;与反向时，夹角_______ abab0180,,, 3、向量垂直:如果向量与的夹角是_______时，则与垂直，记为_______ abab 五、平面向量基本定理及坐标表示 ee1、定理:如果、是同一平面内的两个_______向量，那么对于这一平面内的任意12 ,,向量，_______一对实数、，使=___________，其中，___________叫做表示aa12 这一平面所有向量的一组基底。 2、平面向量的正交分解:把一个向量分解为两个_______的向量，叫做把向量正交分解。 3、平面向量的坐标表示:在平面直角坐标系中，分别取与X轴、Y轴方向相同的两 j个单位向量、作为基底，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数对X，Y，ai axiyj,，使，把有序实数对_______叫做向量的坐标，记作=_______，其中_____aa axiyj,，叫做在X轴上的坐标，其中_____叫做在Y轴上的坐标。即 =aaa(x，y) 六、平面向量的坐标运算: 1、向量坐标求法:已知，，则，即一个向量的坐ABxxyy,,,,Axy,Bxy,，，，，，，21211122 向量概念2 标等于该向量_______的坐标减去_______的坐标。 2、向量坐标加法、减法、数乘运算:设， axy,,bxy,,，，，，1122加法:+= 减法:-= ababxxyy，，,xxyy,,,，，，，12121212数乘: ,,,,axyxy,,,,，，，，1111 3、平面向量共线与垂直的表示:设，，其中，则 axy,,bxy,,b,0，，，，1122 xy11ab与共线(或),,,,,,,,abxyxy,,0ab1221xy22 a,,babxxyy,,，,001212 七、平面向量数量积 ,1、已知两个非零向量与，它们的夹角为，把数量_______叫做与的数量积(或abab内积)，记作。，即。=_______，并规定零向量与任一向量的数量积为_______ baba 注:两个非零向量和的数量积是一个数量，不是向量，其值为两向量的模与它们ab 夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦决定。 00000，，,,0,90,,90,180当; 当 当; ,,ab0,,,,900ab,,ab0，，，，数量积是内积，用表示，不能用或表示 ababab， 2、一向量在另一向量方向上投影 定义: _______(_______)叫做在的方向上(在的方向上)的投影。如图，abbaOAa, BBBBOBb,cos,，过作垂直于直线OA，垂足为，则 OBb,111 B B B b b b, a, a, O A A B O A a1BB 0 ，，11图1 图2 图3 OBb,cos,叫做向量在的方向上 ba1 ,,当为锐角时，如图1，它是_______; 当为钝角时，如图2，它是_______; 向量概念3 ,当为直角时，如图3，它是_______; 00,,当=时，它是_______; 当=时，它是_______; 0180 的几何意义:数量积等于的长度与______________的乘积 aababa 3、平面向量数量积的重要性质: ,设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 。= abbaeaee。=_______ ae 当与同向时，=_______; 当与反向时，=_______; abababab 222。= aaaa,, 特别是aaaa, =_______ abab,|cos|,aba,,b 4、平面向量数量积的运算律 交换律:+=_______ 数乘结合律:,ab,______________=______________ ab，， 222分配律:(+)=______________ abcabaabb，,，，2，， 222222ababab,，,, abcabcabacbc，，,，，，，，，222，，，，，， 八、向量的应用: 1证明线段平行问，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件 xy11ab与共线(或) ,,,,,,,,abxyxy,,0ab1221xy22 2、证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件: a,,babxxyy,,，,001212C abxxyy，1212cos,,,3、求夹角的问题，利用夹角公式 D 2222abxyxy，，1122A B 4、求线段的长度，可以利用向量的线性运算，向量的模 2222若，则 若，则 axy,,ABxxyy,,，,AxyBxy,,,aaaxy,,，，，，，，，，，，，11222121 222ababaabb,,,,,，2 ，， ABCABC5、如图所示，在中，D是BC边上有中点(AD是的BC边上中线)，则 1ADABAC,，有 ，，2 向量概念4