2001年上海市高考试题与图形计算器

2001年上海市高考试题与图形计算器 用图形计算器解2001年上海市高考试题 200062 华东师范大学数学系 林 磊 从2000年夏季高考开始, 上海市的普通高等学校招生考试允许考生将科学型(即函数型)计算器带入考场, 这一举措无疑对受教育者以及教育工作者都产生了巨大的影响, 从而也引发了如何将现代教育技术与中学课堂教育结合起来的讨论. 目前, 科学技术的发展, 已使计算器从函数型时代跨入了绘图型的时代. 在绘图型计算器中, 尤以美国德州仪器公司生产的TI-83 plus 以及TI-92 plus 计算器影响最大, 上海市目前已经有多所中学在探索性课程中使用了这两种型号的计算器. 本文的目的是尝试利用TI-83 plus 计算器来解答今年上海市高考数学卷中的某些试题, 用以从一个侧面介绍这类计算器在中学数学教学中所能起的作用. 1f(x),设函数～则满足的值为------------. (文科第1题) f(x),logxx92 【解】首先利用换底公式, 将写成常用对数的形式 f(x) lgx. f(x),lg9 1g(x),再令. 那么所要求的值就是曲线与的交点的坐标. xxy,f(x)y,g(x)2 在Y=菜单中, 输入Y 和Y如图1. 12 图1 图2 适当设置窗口变量: X=-1, X=5, Y=-1, Y=1, 画出这两个函数的图象(见图2). minmaxminmax 再利用其CALC(计算)菜单中的第5项功能intersect (求交点), 就可求出这两条曲线交点 x,3x的坐标: (见图3). 用图形计算器解高考试题 林 磊 2 图3 图4 为验证结论的正确性, 还可回到主屏幕, 计算的值(见图4). f(3) 图5 图6 ,x,,,,2,x(,1]1f(x),设函数, 则满足的值为--------. (理科第,f(x)x,4logx,x,(1,，,)81, 1题) 1g(x),【解】与上题相似, 先对用换底公式, 然后令. 在Y= 菜单中定义f(x)4 Y和Y(见图5)(注意此处分段函数的定义技巧). 画出两函数的图象(X=-2, X=5, 12 minmax 1f(x),Y=-0.5, Y=1.5), 再求出两条曲线的坐标 (见图6). 于是, 满足的值xxminmax4为3. n,N设数列的通项为, (), 则 ,,aa,2n,7|a|，|a|，？，|a|,n1215n --------------. (理科第2题) 【解】这是一道数列题. 我们只要在主屏幕上利用LIST (数组)菜单中OPS子菜单中的功能5: seq (产生一个数列)以及MATH子菜单中的功能5: sum (对数列求和)即可计算出结果: 153 (见图7). 图7 图8 n,N,,aa,a，2a，a，？，a,设数列的首项a,,7, 且满足, (), 则 n，1n1217n1 ---------. (文科第2题) 【解】这一题与上题的不同之处在于: 本题中的数列是用递归的办法而不是通项的办法给出的. 所以, 利用计算器来做就要复杂一些. 首先在MODE菜单中将函数的作图方式设置为数列形式(seq)(见图8). 用图形计算器解高考试题 林 磊 3 其次, 在Y= 菜单中, 以递归的形式设置数列u(n) (见图9). 图10 图10 这样就定义好了数列u(n). 以下步骤与上题类似(见图10). ,,xsin,1y,2x,直线与曲线 (为参数) 的交点坐标是------------. (理科,,2ycos2,,, 第10题) 【解】由于题中出现的两条曲线的方程一个是以直角坐标形式而另一个却是以参数方程形式给出的, 所以我们统一将它们看成参数方程形式的函数. 将MODE中函数作图方式设置为Par (参数方程), 在Y=屏幕中定义X, Y, X, Y 1T1T2T2T(见图11). 图11 图12 再设置窗口变量: ,/24,,/2,/2T=, T= , T= , X= , X=, Y=-2, Y=2. ,,,minmaxstepminmaxminmax作出这两个函数的图象. 利用TRACE (轨迹跟踪)功能, 可估计出交点的坐标近似地为 T,0.52359878,,/6(0.5, 0.5) (当第1条曲线的参数时, 见图12). 然后, 再返回主屏幕进行验证(见图13). 图13 图14 所以交点坐标为(1/2,1/2). lgxx,1y,用计算器验算函数 ()的若干个值, 可以猜想下列命题中的真命题只能x 用图形计算器解高考试题 林 磊 4 是 lgx(A) 在上是单调减函数. y,(1,，,)x lgxlg3,，(B) , 的值域为. y,x,(1,，,)0,,,x3,， lgx(C) , 有最小值. y,x,(1,，,)x lgn,0n,N(D) , . (第16题) limnn,, lgxx,1【解】我们首先来作出函数y, () 的图象. 由于有选项(B), 所以我们在Y=x 屏幕上定义如下两个函数 Y=(log(x)/x)/(x>1), Y=log(3)/3 12 注意到这里用了“/(x>1)”是为了不将函数在(0,1]区间上的图象画出来. 窗口变量的设置见图14. 画出的图象见图15. 图15 图16 lg3从这一图象可以看到(A)显然不对, 但(B)是不是对哪? 似乎Y的最大值就是, 但我13们先不要被其表面现象所迷惑. 可以将光标移至可疑点,在ZOOM菜单中选择2: Zoom In, 如果还看不清, 可再执行一次Zoom In, 则图象在可疑点附近被局部放大, 从图16中可看出(B)不成立. 要辨别(C)与(D)谁正确, 关键要看函数在x充分大时的取值情况. 我们可以利用计算器中的列表功能来考察它. 进入TBLSET (表格设置)菜单, 设置表格参数如图17. 再观察表格(见图18, 图19). 图17 图18 图19 用图形计算器解高考试题 林 磊 5 从表格中可以看到, (D)成立. ，Ca,4已知a、b、c是中、、的对边, S是的面积. 若, ，A，B,ABC,ABCb,5,, 求c的长度. (第17题) S,53 【解】我们知道的三边a、b、c与其面积S之间有以下的关系 ,ABC ， S,s(s,a)(s,b)(s,c),ABC 1其中s,(a，b，c). 从而又有 2 1 . (1) S,(a，b，c)(b，c,a)(a，c,b)(a，b,c),ABC4 计算的长度, 相当于将(1)式中的看成变量, 求的零点. 所以, 我们在计算S,53cc,ABC 器中分别将4, 5, 53赋予A, B, S. 定义函数Y如图20. 设置窗口变量如下: 1 X=-1, X=10, Y=-5, Y=5. minmaxminmax 作出函数Y的图象(见图21). 可知该函数在4与8之间有两个零点. 利用CALC菜单中1 的求零点功能(2: zero), 可知这两个零点分别为 和 . x,4.525757x,7.810249712 图20 图21 因此, 满足要求的的长度有两个: 和. cc,4.5825757c,7.810249712 我们也可以利用计算器中的方程求解器来计算, 其步骤如下: 进入MATH菜单, 选 0: Solver…, 光标向上, 设置所要求解的方程如图22. 图22 图23 再设置参数A, B, S和求解的区间(bound), 设置C的猜测值为2, 并将光标放置在C所在 a,4b,5的行(见图23). 注意: 这里将C的下界设为1, 上界设为9, 是因为, , 于是有1,b,a,c,b，a,9. 用图形计算器解高考试题 林 磊 6 按 ALPHA SOLVE 后得C的一个解(见图24). 如果将C的猜测值改为7, 则可得C的另一个解(见图25). 图24 图25 注意到如果直接利用方程求解器来求解, 我们很可能会丢失掉其中的一个根. 此外, 我们这里求出的解只是近似解, 这是由TI-83 plus这一计算器数值型的特点决定的. 如果我们使用功能更强大的TI-92 plus 型计算器, 则我们就可以求出它的精确解: 和61. 21