广义Perron积分的原函数刻划

广义Perron积分的原刻划 广义Perron积分的原函数刻划 第10卷第4期 2000年12月 甘肃广播电视大学 JournalofGansuRadio&TVUniversity Vo1.10No.4 Dec.2000 广Perron积分的原函数刻划 王兆青 (甘肃广播电视大学兰州市分校,甘肃兰州730000) 内容摘要:讨论广义Perron积分原函数的一类性质,在此基础上建立其收敛定理. 关键词:广义Perron积分;原函数;收敛定理 中图分类号:O172.2文献标识码:A文章编号:1008--4630(2000)04—0056,04 ?1引言 1957年,J.Kurzweil等人在微分方程研究中,提出了广义Perron积分的概念,并在微分方程研究中 得到了很好的应用之.但由于该积分缺乏对原函数性质的深入研究,使得无法建直较好的收敛定理,限 制r广义Perron积分的广泛应用.于此,本文讨论广义Perron积分的原函数的性质并建立其收敛定理. 在本文中,首先简要的介绍了广义Perron积分的定义及有关结果,这些结果均是本文要用到的.第 二节是本文的主要结果,这些结果反映在定理2.1,定理2.2及定理2.3中. 定义1.1一有限数列A一{.,rr",一,,}称为一个,6]上的分划,若 a=o<1<…<^一1<=6 且z1?rJ?,一1,2,…,k 成立. 定义1.2给定一个正值函数:,6]一(0,+o.).一个分划称为一个——精细分划是指还满 足[1,』][一d(rj),+()]_,一1,2,…,k 另外我们做平面上的点集:(r,f)?,其中rEa,6],存在正值函数(r)>0,t?[r一(r),r+ (r)]. 定义1.3一个函数:一,称为在,6]上是广义Perron可积,是指存在向量,?,对Ve>0 存在:,6]一(0,+o.).对于——精细分划A一{r,[工一,]}.总有 JS(U.A)一IJ—J(U(rk,xO—U(rk,Xk一1)一IJ<, 广b 并且记I—lD(r,,) Ja 定理1.1(Sakes,Henstock引理)若u:s—R是广义Perron积分可积的,给定,>0,A是——精 细分划,有JS(U.A)一lDU(r,t)J<,成立,则:J0 设a?p?q?r?pz?qz?rz?…??q?7?b 而且[B,)'i-]C[qj一8(qj),qJ+(qj)]对于j一1,2,…m有不等式 mr J[u(q,,ri)一u(qj,B)一lDU(r,t)J<,JlJ& 成立. 定理1.2.U:S—R.设U在a,C)上是广义Perron可积的.其中C是大于a小于b的任一数,而 收稿日期:2000—08—03 作者简介:王兆青(1963.2-),男,甘肃庆阳人,讲师,从事教学管理工作. 2000年12月王兆青:广义Perron积分的原函数刻划57 且liraIDU(r,f)--U(b,c)+(6,6)一, cb—J rb 则函数u是可积的,且IDu(r,f)=. 为了讨论广义Perron积分的原函数性质及收敛定理,我们简要介绍有关Henstock积分.Henstock 积分是1958年由Henstock独立地给出的一种非绝对型积分,关于Henstock积分的详细内容可参考文献 [33,E4-1.这里只给出其定义及原函数的性质. 定义1.4设/()定义于,6],若存在常数,,具有以下的关系:对任给的e>0,有()>O,对任何 ()的精细分法,其分点为a—.<.72<…<一6,结点为,z,…,.都有 l?/()(,一.一)一,l<, I 广6 则称(z)在[",6]上是Henstock可积,并记(?)If(x)dx=I.J 广 定理1.3?设F()一(H)lf(f)dt,则F()是ACG*的,若F()是ACG*的,则其导函数(F()J , 几乎处处可导)是()可积,而且F(x)=IF(t)dt. ?2本文的主要结果 定理2.1设:S--~R是广义Perr.n可积的,则F()一J.二D(r,f)是连续函数的充分必要条件是 U(r,f)对于固定的r.对f是连续. 证明"''设F()是连续的,~,qxCTv.?,6],J.二.(r,f)=.DU(r,f).根据上一节的定理1.2 可得limU(w.,)一u(.,.270)一O,则limU(.,)一【,(.,.),这说明(,『(r,f)对t是连续的.其中t?[n, 0r—J0 6]. "仁"设U(r,t)对第二个变元是连续的,取定,6]上的一个点o,先考虑F()在点的左极限,则【, 在a,,72.]上是广义Perron可积的.由定义,对V,>O,j()>O对(r)的精细分法A一(,It,一,]} 有' lE(U(rk,tl--U(rk,t^一1))一,l<,(1) 现在在.r.的某一左邻域(.一^,.)上,令.(r)=rain((r),扎一r).当r—.时,仍令o(zo)一(o), 则 对于,.]上的任何 f(r)r6[d,z.一^) (r)=<rain((r),z一r)r?(o一^,.ro) l()一. 的任何精细分法,仍有(1)式成立.由Henstock--Saks引理可得(即上节的定理1.1)有, Iu(.,.--U(z.,)一r.Du(r,f)I<, 成立.由于己,(r,f)对第二个变元连续,则 limrDU(r,f)一0 _J 这样就证得F()的左连续性.同理也能证得F()的右连续性. 定理2.2设【,(r,t)?一尺,且塑存在, 则u是广义Perr.n可积的充分必要条件是l,:在 ,6]上是(H)可积的,而且有下面的等式成立: J.=r,t,,) 证明:"",因为存在f?[r一(f),r+(,)],对f—r,}…仍然存在. 则V,>O,3(,,r)>O,只要I,一rl<(f,r)时, 58甘肃广播电视大学第1O卷第4期 It一<el—rl'一 由于U(r,,)在[口,6]上是广义Perron可积的,则V,>O,j.(r)>O,对于.(r)的任 何精细分法,有 (1)式成立. 取.(r)=min(3.(r),8(r,r)),则对.(r)的任何精细分法A一{,Et,.,]).,有 lt,l一l<(,),ltk一l~3(rk,), 所以: ltk1一t<e?l一一lr=. Itk一tl,=r|<e(4)l一l,=,.', 对(3),(4)两式去掉分母,可得 Iu(,一)一u(,)一I,:(一t一)l<eJtk--l--Vkl Iu(,)一u(,)一I(一)I<,一Idtfl 由以上两式可得: {u(,)一u(,一.)一l一,.(一一.)l<eitk--tk--1i 所以有 I?(u(,)一u(,一-))一?(t*-rk)<,(6一日)……(*) 由于U是[口,6]上广义Perron可积,则 I?I:(t,--t,-1)--II?I?l一(一,一.)一?(u(,)一u(,一.)+ I?(u(,,I)--U(r,tk--1)一I<2e 其中=D(r,,),则I…是(日)可积,且 . r. J口? 同样可得定理充分条件的证明. ""注意到(*)式及Henstock积分定义, 事实上,定理2.2已还可推广到以下的形式: 定理2.3设u:S--~R',RU(r,,)对于第二个变元是cG*,若u是广义Perron可积,则J.二,(r,,) 是ACG*的. 证明:只要证明JI二Du(r,,)是某个(日)可积函数的原函数,就证得定理2.3. 由于U(r,,)对于第二个变元是ACG*的,由上节定理1.3,必存在一个(H)可积含参数r的函数 f(r,z).使得 u(r,t)--U()一(H)厂(r,)如 由于U(r,,)在[口,bJ_k~广义Perron可积的,由定义,对V,>O,j(r)>O,对于(r)一精细分法 A一{,[一l,t,3)z互l 有:,l?(U(,)--U(r,,一1)--I<e 对于{).,采用本节定理2.1证明的同样取法,可取到.(r),再利用Henstock积分的Henstock引 理,可得 l.厂c,z如一厂c,c一-I< 这样,对于(r)一min((,),(r))的分法 2000年12月王兆青:广义Perron积分的原函数刻划59 l?((,tk)--U(r,t一1))一?厂(,t^)(一一1)l<s一1嚣1 则f(r,r)是Henstock可积的,且 IDU(r,f)一If(r,r)dr 则IDU(r,f)是ACG*的. 定理1.4若以下条件被满足: (1)U:5一尺,且是广义Perron可积的; (2)一,(r,f)n,成立; (3) (4) DU(r,f)是一致收敛的 DU(r,f)是一致ACG*的. 则f(r,f)是(H)可积的,且IDU(r,f)一If(r,t)dr.JaJ口 证明:由定理2.2及[3]中的支配收敛定理可得. 参考文献: [1]S.Schwabik.GenenalizedDifferentialEquations.WorldScientific,1992. [2]Z.Artstein,TopologicalDynamicsofOrdinaryDiffernetialEquationsandRuxzweilEqu ations.J.DifferentialEqua— tions1977(23):224—243. [3]丁传松,李秉彝.广义Riemann积分[M].北京:科学出版社.1989. [43LeePeng.YeeLanzhouLecturesOnHenstockIntegration,WorldScientific,1989. [5]李宝麟.不连续系统的有界变差解[J].数学研究,I998,(4):417-427. APrimitiveFunctionDescriptionofGeneralizedPerronIntegral WANGZhao—qing (IanzhouBranch,GansuRadio&TVUniversity,IanzhouGansu730000) Abstract:Thecharacterofprimitivefunctionofgeneralizedperronintegralisdiscussedandaconver— gencetheoremisestablishedonit. Keywords:Perronintegral;PrimitiveFunction;Convergencetheorem