高等数学(专科升本科)复习资料

高等数学(专科升本科)复习资料 《高等数学》(专科升本科)复习资料 一、复习参考书:全国各类专科起点升本科教材 高等数学(一)第3版 本书编写组 高等教育出版社 二、复习及: 第一部分 函数、极限、连续 复习内容 函数的概念及其基本性质，即单调性、奇偶性、周期性、有界性。数列的极限与函数的极限概念。收敛数列的基本性质及函数极限的四则运算法则。数列极限的存在准则与两个重要的函数极限。无穷小量与无穷大量的概念及其基本性质。常见的求极限的方法。连续函数的概念及基本初等函数的连续性。函数的间断点及其分类与连续函数的基本运算性质，初等函数的连续性。闭区间上连续函数的基本性质，即最值定理、介值定理与零点存在定理。 复习要求 会求函数的定义域与判断函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性。掌握数列极限的计算方法与理解函数在某一点极限的概念，同时会利用恒等变形、四则运算法则、两个重要极限等常见方法计算函数的极限。掌握理解无穷小量与无穷大量的概念及相互关系，在求函数极限的时候能使用等价代换。理解函数连续性的定义，会求给定函数的连续区间及间断点;;能运用闭区间上连续函数的性质证明一些基本的命题。 重要结论 1. 两个奇(偶)函数之和仍为奇(偶)函数;两个奇(偶)函数之积必为偶函数;奇 函数与偶函数之积必为奇函数;奇(偶)函数的复合必为偶函数; 2. 单调有界数列必有极限; 3. 若一个数列收敛，则其任一个子列均收敛，但一个数列的子列收敛，该数列不一定 收敛; 4. 若一个函数在某点的极限大于零，则一定存在该点的一个邻域，函数在其上也大于 零; 5. 无穷小(大)量与无穷小(大)量的乘积还是无穷小(大)量，但无穷小量与无穷 大量的乘积则有多种可能 6. 初等函数在其定义域内都是连续函数; 7. 闭区间上的连续函数必能取到最大值与最小值。 重要公式 1. 若则 limf(x),A,limg(x),B,x,xx,x00 ; lim[f(x),g(x)],limf(x),limg(x),ABx,xx,xx,x000 limf(x)f(x)Ax,x0。 lim(B,0),,x,x0g(x)limg(x)Bx,x0 2. 两个重要极限公式 x1sin1,,x1);2) ，。 lim,1，,e，，lim1，x,elim1,,,,x,0,0xxxx,, 1 3. 在求极限的运算中注意使用等价无穷小量的代换，常见的等价无穷小量代换有:当 时， x,0 2xx 。 ln(1，x)~x,sinx~x,tanx~x,1,cosx~,e,1~x2 第二部分 一元函数微积分 复习内容 导数的概念及其几何、物理意义、基本求导公式与各种求导法则，微分的概念及计算，罗尔定理、拉格朗日中值定理，洛必达法则，函数增减性的判定，函数的极值与极值点、最大值与最小值，函数的凹凸性及拐点，曲线的渐近线。 复习要求 理解导数的定义，同时掌握几种等价定义，即 f(x，,x),f(x)f(x，,x),f(x,,x)f(x),f(x),y00000,;掌f(x),,,,0,x,x2,xx,x0握导数的几何意义，了解导数的物理意义;掌握连续与可导的关系，即连续不一定可导，而可导一定连续;熟练掌握基本初等函数的导数公式与导数的四则运算法则、反函数与复合函数、隐函数、由参数方程确定的函数的求导法则，掌握对数求导法与高阶导数的求法;理解微分的定义，明确一个函数可微与可导的关系，即可微一定可导，反之一样;熟练掌握微分的四则运算和复合函数的微分;理解罗尔中值定理与拉格朗日中值定理，了解其几何意义;能熟练运用洛必达法则求极限，必须记住使用洛必达法则的条件，同时应注意以下几个问题:1.如果使用洛必达法则后，问题仍然是未定型极限，且仍满足洛必达法则的条件，则可再次使用洛必达法则，2.如果在“0/0”型或“”型极限中含有非零因子，该非零因子可以,/, 单独求极限，不必参与洛必达法则运算，以达到简化运算的目的，3.如果能进行等价无穷小量代换或恒等变形配合使用洛必达法则，也可以达到简化运算的目的;会利用导数的几何意义求已知曲线的切线方程与法线方程，会利用导数的符号判断函数的增减性，熟练掌握函数 ,的极值与最值的求法即需掌握以下步骤:1.求出函数的定义域，2.求出，并y,f(x)f(x)在函数的定义域内求出导数等于零与导数不存在的点(驻点)3.判定驻点两侧导数的符号，4.如果驻点处函数的二阶导数易求，可再次求导通过在该点的符号来判断极值，5.求最值时，只需求出所有的极值点与端点的值，最大(小)者即为最大(小)值;掌握判断曲线y,f(x)的拐点、凹凸性的一般方法:1.求出该函数的二阶导数，并求出其二阶导数等于零的点，2.同时求出二阶导数不存在的点，3.判定上述各点两侧，该函数的二阶导数是否异号，如果,,,,f(x)在的两侧异号，则()为曲线y,f(x)的拐点，4.在f(x),0的的xx,f(x)x000 ,,取值范围内，曲线是弧是下凹的，在f(x),0的的取值范围内，曲线弧是上凸的.;了解x 渐近线的定义，并会求水平渐近线与铅直渐近线，即，则为曲线limf(x),Cy,Cx,, y,f(x)的水平渐近线，若，则称为曲线y,f(x)的铅直渐近线; limf(x),,x,x0x,x0 2 重要结论 ,1. 如果函数在点的导数存在，则在几何上表明曲线在点y,f(x)y,f(x)xf(x)00 ,)处存在切线，且切线的斜率为，且切线方程为 (x,f(x)f(x)000 ,， y,f(x),f(x)(x,x)000 ,当时，法线方程为 f(x),00 1， y,f(x),,(x,x)00,f(x)0 处可导，那么函数在点处必定连续，反之不一定; 2. 若函数在点f(x)xx003. 函数在点可微的充分必要条件是在点处可导，且有y,f(x)y,f(x)xx ,,; dy,f(x)dx,ydx 4. 罗尔定理:若函数满足以下条件: y,f(x) 1)在闭区间上连续，2)在开区间内可导，3)， [a,b]f(a),f(b)(a,b) ,则在开区间内至少存在一点，使得; f(,),0(a,b), 5. 拉格郎日中值定理:若函数满足以下条件: y,f(x) 1)在闭区间上连续，2)在开区间内可导， [a,b](a,b) 则在开区间内至少存在一点，使得 (a,b), ,。 f(b),f(a),f(,)(b,a) 重要公式 与在点可导，则 1. 设v,v(x)u,u(x)x ,,,uuv,uv,,,,, ， ,(v,0) (uv),uv，uv,,2vv,, 2. 设复合函数y,f(g(x))，若u,g(x)点处可导，y,f(u)在相应的点可导，则复x 合函数y,f(g(x))在点处可导，且有链式法则 x dydydu,, ,,,f(u),g(x)dxdudx 3 ,x,(t),,3. 设是由所确定，其中都为可导函数，且，则 y,f(x),(t),,(t),(t),0,y,,(t), dy ,,dy(t)dt， ,,dx,dx,(t) dt 4. 在求导数时，有时要注意对数求导法的应用 5. 洛必达公式:当满足一定条件时，有 f(x),F(x) ,,f(x)f(x)f(x)f(x)lim,limlim,lim， x,xx,xx,,x,,,,00F(x)F(x)F(x)F(x) 同时应注意可转化为“0/0”型或“”型的极限 ,/, 第三部分 一元函数积分学 复习内容 不定积分的概念与性质，不定积分的基本公式，积分第一换元法与第二换元法，分部积分公式与应用分部积分公式时应注意的一般原则，定积分的基本概念与基本性质，牛顿-莱布尼茨公式，定积分的换元积分法与分部积分法，无穷区间上的广义积分，求平面图形的面积，求旋转体体积。 复习要求 理解原函数与不定积分定义，了解不定积分的几何意义与隐函数存在定理;熟练掌握不定积分的性质与不定积分的基本公式，理解积分第一换元法，即设具有原函数f(u) 存在连续导函数，则有换元公式 F(u),u,,(x) , f[,(x)],(x)dx,f(u)du,F(u)，C,F(,(x))，C.,,u,,(x) 了解积分第二换元法;掌握分部积分公式，同时应注意在使用时应遵循的一般原则;理解定积分的定义与定积分的几何意义;熟练掌握定积分的性质与牛顿-莱布尼茨公式;熟练运用定积分的换元积分法与分部积分法;了解无穷区间上的广义积分的求法;会用定积分的性质求平面图形的面积与旋转体的体积。 重要结论 1. 若F(x)为f(x)在某区间上的一个原函数，则F(x)，C为f(x)的所有原函 f(x)dx数，称为f(x)的不定积分，记为; , 2. 定积分表示一个数值，它只取决于函数f(x)与积分区间，与积分变量无关， bb即; f(x)dx,f(t)dt,,aa 4 b3. 如果函数在区间上连续，则定积分必定存在; f(x)[a,b]f(x)dx,a b4. 以及轴所围成的曲边梯形的面积等于; y,f(x),x,a,x,bOXf(x)dx,a5. 如果在区间上连续，则在上至少存在一点，使得 f(x)[a,b][a,b], b; f(x)dx,f(,)(b,a),a x6. 如果在区间上连续，则积分上限函数在区间f(x)[a,b],(x),f(t)dt,a 内可导，且 (a,b) x,,; ,(x),[f(t)dt],f(x),a 若是区间上的连续函数，则 7.f(x)[,a,a](a,0) 0,f(x)为奇函数,a,,f(x)dx。 a,,,a2f(x)dx，f(x)为偶函数,,0, 重要公式 1. 先积分后求导，作用抵消，即 ,(f(x)dx),f(x), , 先求导后积分，相差一个常数，即 ,f(x)dx,f(x)，C , 2. 分部积分公式: ,,uvdx,uv,uvdx ,, 3. 牛顿-莱布尼茨公式:1)如果在区间上连续，2)为在f(x)[a,b]F(x)f(x)(a,b) 内的一个原函数，则 bb。 f(x)dx,F(x),F(b),F(a),aa 4. 定积分的换元公式:设f(x)在区间[a,b]上连续，函数x,,(t)满足以下条件: 1),(,),a,,(,),b; 2),(t)在[,,,]上为单值、有连续导数的函数，则有 b,,。 f(x)dxf(,(t)),(t)dt,,,a, 第四部分 空间解析几何 复习内容 5 平面方程的基本概念、直线方程的基本概念，简单的二次曲面。 复习要求 了解平面的点法式方程与一般式方程、了解特殊的平面方程、两个平面之间的关系:垂直、平行、重合，会通过已知条件建立平面方程，掌握直线的式方程与一般方程，了解直线之间的关系以及直线与平面之间的关系，会根据已知条件建立直线方程，了解常见的二次曲面，即柱面方程、球面方程、椭球面方程、锥面方程、旋转抛物面方程. 重要结论 1. 设有平面 ,:Ax，By，Cz，D,0,11111 ,:Ax，By，Cz，D,0,22222 平面与相互垂直的充分必要条件是， ,,AA，BB，CC,021212121 平面与平行的充分必要条件是， ,,A/A,B/B,C/C21212121 平面与重合的充分必要条件是， ,,A/A,B/B,C/C,D/D212121121 2. 建立平面方程常用平面点法式: 1) 过点作平行于的平面方程，取M(x,y,z),:Ax，By，Cz，D,0000011111 及即可， n,(A,B,C)M(x,y,z)1110000 2) 过点作垂直于向量的平面方程，只需取平面法线向量(A,B,C)M(x,y,z)0000 及点即可， n,(A,B,C)M(x,y,z)0000 3) 过点，，作平面方程，利用平面的一M(x,y,z)M(x,y,z)M(x,y,z)111122223333 般式方程，设所求的平面为，将已给的三点的坐标代入平面Ax，By，Cz，D,0 方程，可以得到一个以为未知量的方程组，求出即可， A,B,C,DA,B,C,D 3. 设有直线 x,xy,yz,z111 l:,,1mnp111 x,xy,yz,z222 l:,,2mnp222 mnp111 直线与平行的充分必要条件为， ll,,21mnp222 6 直线与垂直的充分必要条件为， llmm，nn，pp,021212121 4. 设直线与平面的方程为 ,l xxyyzz,,,000l :,,mnp ,:Ax，By，Cz，D,0 1) 直线与平面垂直的充分必要条件是 A/m,B/n,Cp,l 2) 直线与平面平行的充分必要条件是 Am，Bn，Cp,0,l ，，,0AmBnCp,3) 直线落在平面上的充分必要条件是 ,l,Ax，By，Cz，D,0000, 5. 建立直线方程，常用直线的标准式方程，只需确定直线上的一点及M(x,y,z)0000 直线的方向向量，即 s,{m,n,p} 1) 作过点，且垂直与平面的直线方程，取,:Ax，By，Cz，D,0M(x,y,z)0000 s,A,B,C)及方向向量即可， M(x,y,z)0000 2) 作过点，的直线方程，取= M(x,y,z)M(x,y,z)M(x,y,z)111122220000 及方向向量即可 M(x,y,z)s,{x,x,y,y,z,z}1111212121 第五部分 多元函数微积分学 复习内容 二元函数的概念及几何意义，多元函数的概念，二元函数的极限与连续性以及连续性的基本性质，偏导数的定义，全微分的概念与基本性质，二阶偏导数，复合函数微分法、隐函数微分法，二元函数的极值与条件极值，二重积分的概念与基本性质，直角坐标系下二重积分的计算、极坐标系下二重积分的计算，二重积分的应用。 复习要求 了解二元函数的定义，会求二元函数的定义域，掌握二元函数的连续性与连续的基本性质;理解二元函数偏导数的定义及几何意义;掌握全微分的定义极其存在的基本性质，会求二元函数的二阶偏导数与复合函数的链式法则。理解隐函数微分法;熟练掌握二元函数极值的求法，了解二元函数的条件极值;理解二重积分的概念，掌握二重积分的基本性质，熟练掌握在直角坐标系与极坐标系下二重积分的计算问题;了解二重积分的应用 重要结论 1. 有界闭区域上的连续函数，在区域上必能取得最大值与最小值， 2. 有界闭区域上的连续函数，在区域上必能取得介于最大值与最小值之间的任何值， 7 ,z,z3. 如果在点处的偏导数,为连续函数则在点z,f(x,y)P(x,y)z,f(x,y),x,y 处可微分，且 P(x,y) ,z,z， dz,dx，dy,x,y4. 设函数在点的某个邻域内具有连续的一阶和二阶偏导数，又 z,f(x,y)(x,y)00 ,, f(x,y),0,f(x,y),0x00y00 ,,,,,,记，则 f(x,y),A,f(x,y),B,f(x,y),Cxx00xy00yy00 2(1)当时，在点处取得极值，且当时，取得极大值，(x,y)B,AC,0A,0A,000 时取得极小值; 2(2)当时，不是极值点; (x,y)B,AC,000 2(3)当，点是否为极值点需进一步判定。 (x,y)B,AC,000 5. 在D上若，且D的面积为，则有， f(x,y),1,1d,,d,,,,,,,DD 重要公式 1. 链式法则:设，在一定条件下，有 z,f(u,v),u,u(x,y),v,v(x,y) ,z,z,u,z,v,z,z,u,z,v,，,，， ,y,u,y,v,y,x,u,x,v,x ,F,02. 一元隐函数求导:设对存在连续偏导数，且，则由F(x,y),0F(x,y),0x,y,y 确定的函数对的导数为 y,y(x)x ,F dy,x， ,,,Fdx ,y z3. 二元隐函数求导:设F(x,y,z),0，其中为的二元函数，F(x,y,z)对存x,yx,y,z ,F在连续偏导数，且，则 ,0,z 8 ,F,F dzdz,y,x， ,,,,,F,Fdxdy ,z,z 4. 直角坐标系下二重积分的计算:1)若，则 D:a,x,b,c,y,d bddb，， f(x,y)dxdy,dxf(x,y)dyf(x,y)dxdy,dyf(x,y)dx,,,,,,,,accaDD 2)若，则 D:a,x,b,,(x),y,,(x)12 b,(x)2 f(x,y)dxdy,dxf(x,y)dy,,,,a(x),1D 3) 若，则 D:,(y),x,,(y),c,y,d12 d,(y)2， f(x,y)dxdy,dyf(x,y)dx,,,,c(y),1D 5. 极坐标系下二重积分的计算:1)若，则 D:,,,,,，r(,),r,r(,)12 ,r(,)2=。 f(x,y)dxdyf(rcos,rcos)rdrd,df(rcos,rcos)rdr,,,,,,,,,,,,,,r(),,1DDD 2) 若极点O在区域D的边界上，积分区域可表为，则 D:,,,,,，0,r,r(,) ,r(,)。 f(rcos,rcos)rdrd,df(rcos,rcos)rdr,,,,,,,,,,,,0,DD 3) 若极点O在区域D的内部，积分区域可表为，则二重积分D:0,,,2,，0,r,r(,)可化为 2,r(,) f(rcos,rcos)rdrd,df(rcos,rcos)rdr,,,,,,,,,,00D 第六部分 无穷级数 复习内容 数项级数的概念，级数的收敛与发散，级数的基本性质，级数收敛的必要条件，正项级数收敛性的判别法与任意项级数收敛性的判别法;幂级数的概念与基本性质。 复习要求 理解级数收敛、发散的概念，掌握级数收敛的必要条件，了解级数的基本性质，会熟练使用比较判别法与比值判别法判别正项级数的收敛性，掌握几何级数、调和级数、与级p数的收敛性，了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用莱布尼茨判别法。了解幂级数的 9 概念及在其收敛区间内的基本性质，会求幂级数的收敛半径、收敛区间，会利用常见函数的麦克劳林公式，将一些简单的初等函数展开为幂级数。 重要结论 1. 在一个级数的前面去掉或添加有限项，不改变级数的收敛性， , 若收敛，则必有，但反之不一定， 2.ulimu,0,nnn,1n,, ,n3. 幂级数在收敛区间内可以逐项积分(求导)，且积分(求ax(,R,，R),nn,1 导)后所得到的幂级数的收敛半径不变 重要公式 1,，|r|1,1,,,n1. 三个常用的标准级数:1)，2)发散(调和级数)，r,1r,,,,nn1,1,n,发散,|r|1,, ,,发散，0p1,1,3)级数, p,,pn1,n收敛，p,1, u,,n，12. 比值判别法:设u为正项级数，且，则1)当时，u收,,1lim,,,,nnn,1n,1n,,un ,,敛，2)当时，u发散，3)当时，u收敛性需进一步判定， ,,1,,1,,nnn,1n,1 a,nn，13. 收敛半径的求法:设幂级数ax的系数有，则1)当时，0,,,，,lim,,,nn,1n,,an 1有，2)当时，定义R,，,，3)当，定义， ,,0R,,,，,R,0, 第七部分 常微分方程 复习内容 微分方程的定义，初始条件，特解，可分离变量的方程，一阶线性方程;二阶线性微分方程解的结构，二阶常系数齐次线性微分方程，二阶常系数非齐次线性微分方程。 复习要求 理解微分方程的定义与微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解，掌握可分离变量方程的解法，掌握一阶线性方程的解法;了解二阶线性微分方程解的结构，掌握二阶常系数齐次线性微分方程与二阶常系数非齐次线性微分方程。 重要结论 1. 对可分离变量的微分方程求解，只需将含与的项移到两边，再分别积分即yx 可， ,,,2. 二阶线性常系数齐次方程的通解求解步骤为: y，py，py,012 10 21)求解其特征方程 ， r，pr，p,012 2)设为其两个特征根，则 r,r12 rxrx12?若，则其通解为， r,ry,Ce，Ce1212 rx1?若，则其通解为， r,ry,(C，Cx)e1212 ax?若，则其通解为。 r,a，bi,r,a,biy,e(Ccosbx，Csinbx)1212 重要公式 ,1. 一阶线性微分方程求解:若微分方程为，其解为 y，p(x)y,q(x) ,p(x)dxp(x)dx，，,,,，。 yeq(x)edxC,,,，， 11