利用几何方法研究开普勒第二定律

利用几何方法研究开普勒第二定律 第 2 期 N A TU RA L SC IEN C E S JOU RN A L O F HA RB IN N O RM A L U N IV ER S IT Y 利用几何方法研究开普勒第二定律 吴树鹏 ( )黑龙江大学信息与电子科学系 【摘要】 利用几何方法及计算机模拟研究开普勒第二定律, 运算结果面积 - 13 速度近似为常量, 本文中精度为 10. 关键词: 开普勒第二定律; 面积速度; 模拟 中图分类号: 314O 在行星问中, 如果把坐标原点取在太阳上, 那么, 如果不考虑其他行星的干扰, 则从太阳到行 星画出的直线段, 在相等的时间内扫过相同的面积, 即面积速度为常量, 这就是开普勒第二定律.对于开普勒第二定律的验证, 在实验室中很难实现, 下面利用几何方法及计算机进行模拟运 算. () () () 行星受有心力 太阳的作用, 在时刻 及 + , 其位置为 , 和 ′, ′, 行星的速度为t t? tA x y B x y , 则 = , 由于在有心力作用下, 行星在一个平面上运动, 设行星运行所在的平面为 . 太v A B v ? tX O Y 阳位于坐标原点 上, ′为 的面积, 为 的面积, 为梯形 的面积, 为 O S ?OA B S 1 ?O CB S 2 A B CDS 3 的面积 ?OD A 则: ′= 1 + 2 - 3 S S S S () () (() () ) = 123 x ′y ′+ 123 y ′+ y x - x ′- 12x y/// )() (/2′- ′ 1= x y x y 而 = ′- , = ′- ; v x ? tx x v y ? ty y )() (所以, 面积速度 = 12- /S x v y y v x 开普勒第二定律说明, 只要物体在有心力作用下, 其面积速度即。 为一定量, 以人造地球卫星为例, 设 GM = 1, 地球半径 R = 40 m. 3 = - ,//则v x = dx d t, /dv x d tx r v y = dy d t, / 3 /= - /,dv y d ty r 收稿日期: 1999- 12- 20 ( ) ( ) 作者简介: 吴树鹏 1946 年, 男 满族, 黑龙江大学信息与电子科学系, 副教授 2 2x + y r= 。 。 。 。 53 10= 1. 59m 如果 t= 0 时, x = 50 m , y = 0, v x = 0, v y = 0. 18 m s, 其中s= 3. 18 s, m / 利用如下程序运行: 定义步长变量 - , 并赋初值 - = 0. 1; m D T m D T () ;U p da teD a ta T RU E = _ ;N EW D T m D T () ! = if N EW D T D T { = ;D T N EW D T T = 0; X 0= 50; Y 0= 0; V X = 0; V Y = 0; V Y = 0. 18; T T = 22; C S= 100; () = 03 3 2;- 0/SX V Y Y V X _ 1= ; _ 1= 0; _ 1= 0; _ 1= ; = 0; = 0; m T T m X X m Y Y m A V SX X Y Y = 1;D a taN um b e r }{e lse + + ;D a taN um b e r }; _ = ;m N um b e rD a taN um b e r () ; _ 2= ; _ 2= ; _ 2= ; _ 2= ; C a lcu la te m T T m X Xm Y Ym A V S计算数值, 并显示出来. // ? ? () ; _ 22= ; ca lcu la te m T T m _ X 22= X; m _ Y 22= Y; m _ A V 22= S; () 函数的表达式为:ca lcu la te ;in t j ( ) = 0; < ; + + {fo r jjC Sj = ; = ; 1 = 3 ;XX XY Y YK D T V X ( ( (( (( () ) ) ) L 1 = - 3 /3 3 3 3 3 3 + + D T X sq r t XX XX Y Y Y Y sq r t XX XX Y Y Y Y sq r t XX ) ) ) 3 3 + ; XX Y Y Y Y 1 = 3 ; M D T V Y ( (( (( () ) ) ) 3 3 3 3 3 3 3 /+ + N 1 = - D T sq r t XX sq r t XX sq r t XXY XX Y Y Y Y XX Y Y Y Y ) ) ) 3 3 + ; XX Y Y Y Y /2; /2; = + 1Y Y = Y + M 1 XX X K () 2 = 3 + 1 2; /K D T V X L ( ( (( (( () ) ) ) 3 3 3 3 3 3 3 + + /L 2 = - D T X sq r t XX XX Y Y Y Y sq r t XX XX Y Y Y Y sq r t XX ) ) ) 3 3 + ; XX Y Y Y Y () 2 = 3 + 1 /2; M D T V Y N ( ( ) ) (( (( () ) 3 N 2 = - 3 /3 3 3 3 3 + + Y Y D T Y sq r t XX XX Y Y Y Y sq r t XX XX Y Y sq r t XX ) ) ) 3 3 + ; XX Y Y Y Y () = + 2 /2; = + 2 /2; 3 = 3 + 2 /2; XX X K Y Y Y M K D T V X L ) ) ( ( (( () ) ( (3 3 3 3 3 3 3 + + /Y Y L 3 = - D T X sq r t XX XX Y Y Y Y sq r t XX XX Y Y sq r t XX ) ) ) ; 3 3 + Y Y XX Y Y () 3 + 2 2; 3 = /M D T V Y N ) ) ( ( (( () ) ( (3 3 /3 3 3 3 3 + + Y Y N 3 = - D T Y sq r t XX XX Y Y Y Y sq r t XX XX Y Y sq r t XX ) ) ) ; 3 + 3 Y Y XX Y Y () = + 3 /2; = + 3 /2; 4 = 3 + 3 ; XX X K Y Y Y M K D T V X L ( (( ( (( () ) ) ) 3 3 3 3 3 3 3 + + /L 4 = - sq r t XXD T X sq r t XX XX Y Y Y Y sq r t XX XX Y Y Y Y ) ) ) 3 3 + ; XX Y Y Y Y () ; 4 = 3 + 3 M D T V Y N ( ( (( (( () ) ) ) N 4 = - 3 /3 3 3 3 3 + + 3 D T Y sq r t XX XX Y Y Y Y sq r t XX XX Y Y sq r t XXY Y ) ) ) ; 3 3 + Y Y XX Y Y (() ) = 1 + 2 3 2 + 3 + 4 6; /K K K K K K (3 () ) = 1 + 22 +3 + 4/6; L L L L L L (() ) = 1 + 2 3 2 + /6; 3 + 4 M M M M M M ) ) ((3 + 4 /6;= 1 + 2 3 2 +N N N N N N X = X + K K; V X = V X + L L ; Y = Y + M M ; V Y = V Y + N N ; T = T + D T ; () = 3 3 2;- /SV V Y Y V X } 结论 面积速度为常量. 参 考 文 献 山内, 森口, 一松. 电子计算机的数值计算法, 培风馆, 1978 1 周衍柏. 理论力学教程. 北京: 人民教育出版社, 1979 2 STU D Y ON T H E SECON DL Y K E PL ER ’S L AW U S IN G A GEOM E T R IC M E T HOD W u Sh up en g (). H e ilo ng jiang U n ive r sity D ep to f Info rm a t io n and E lec t ro n ic Sc ience A BSTRACT U sin g a geom e t r ic m e tho d an d com p u te r sim u la t io n , th e seco n d K ep le r’ s L aw is stu d ied. T h e ca lcu la ted re su lt show s th a t th e a rea l ve lo c ity is app ro x im a te ly co n stan t w ith an accu racy o f - 13 10. : ; ; Keyword sSeco n d K ep le r’ s L aw A rea l ve lo c ityS im u la t io n