一个半径为1的小球在一个内壁棱长为 的正四面体容器内可向各个方向自由运动,则该小球永远不可能接触到的容.doc

一个半径为1的小球在一个内壁棱长为 的正四面体容器内可向各个方向自由运动,则该小球永远不可能接触到的容.doc 1一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是( [解] 如答12图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为，作平面//平面 ，与小球相切于点，则小球球心为正四面体 的中心，，垂足为的中心( 因 ， 故，从而( 记此时小球与面的切点为，连接，则 ( 考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为)相切时的情况，易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为，如答12图2(记正四面体 的棱长为，过作于( 因，有，故小三角形的边长( 小球与面不能接触到的部分的面积为(如答12图2中阴影部分) ( 又，，所以 ( 由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为(