哈工大-概率-应用概率论解决生活中的一个实际问题

哈工大-概率-应用概率论解决生活中的一个实际问 应用概率论解决生活中的一个实际问题 XXXX 机电工程学院 机械制造及其自动化专业 10908XXXX 摘要,本文结合生活实际,设计出了一个概率问题,并通过对此问题的讨论,加强在实际生活中应用概率问题的能力,同时也为解决类似问题提供初步的。 关键词, 概率 正态分布 0引言 在本学期第一堂概率课上，老师向同学们列举了大量概率论在日常生活中的应用。老师的讲述使我意识到，生活中许多看似随机的、无规律的事件，都是可以用概率论的知识分析其概率，找出其规律性的。这也促使我去寻求生活中可以利用概率论解释的事件并尝试用学到的知识解决之。很快，我发现了这样一件事例: 每天早晨在正心楼的第一节课前，很多同学有上厕所的习惯。于是厕所就会经常出现人满为患的情况。这时,问题出现了:当一名想要上厕所的同学来到卫生间，发现所有位置已满，那么:他是否应当等待，他能否在预期的时间内等到空位,如果此名同学因为特殊原因必须上厕所，并且已经等了一段时间(比如2分钟)，那么他是应当继续等下去还是去其他卫生间,进一步地可以将问题概括为:在什么时间去厕所才能使等待的时间最少, 以上问题正是本文所要解决的。 1 针对问题的假设 要解决这一问题，必须首先结合实际，给出若干合理的假设，从而才能以这些假设为基础，得到符合实际的结论。事实上，概率论与数理统计中也有类似的假设存在。即所谓的“最大似然估计法”。与此方法类似，本文中的假设基本上是基于日常生活经验，如果要对假设的具体参数进行确认，则还需要进一步的调查研究。尽管如此，本文还是尽量保证假设能够真实反映实际情况。 本文将要使用的假设有: 假设1:每个同学上厕所所需的时间T为一连续型随机变量，并且服从参数为μ=8，σ=1的正态分布。 假设2:等待上厕所的同学等待时间t为一连续型随机变量，并且服从参数为λ=0.2的指数分布。 针对正心楼的具体情况，给出如下补充条件: 补充条件1:在早上7:30时，厕所首次出现满员的情况。并且所有同学是同时进入厕所的。 补充条件2:由于第一节课将在8:00开始，故所有同学将在8:00前离开厕所。 补充条件3:不考虑疾病等特殊原因，同学的等待时间不超过2分钟。即2分钟是同学预期的最长等待时间，超过此时间同学将离开。 补充条件4:有疾病等特殊情况的同学必须在5分钟内找到空位。 补充条件5:每个厕所有5个位置。 2 解决问题 问题1,当一名想要上厕所的同学来到卫生间,发现所有位置已满,那么他是否应当等待,他能否在预期的时间内等到空位, 首先可以肯定的是，此名同学的等待时间和他来到厕所的时间有极大的关系。根据补充条件1，一名在7:31分来到厕所的同学显然要等待很长的时间。那么不妨比较在7:31来到厕所和在7:36来到厕所的两名同学A、B的等待时间。从中即可看出等待时间与到达时间的关系。 当到达时间确定后，等待时间可以通过假设1给定。由假设1及补充条件5，设F(T1，T2，T3，T4，T5)为5维随机变量(T1，T2，T3，T4，T5)的分布函数，由于5个随机变量相互独立，故有:F(T1，T2，T3，T4，T5)= F(T1)F(T2)F(T3)F(T4)F(T5)。而正态分布的分布函数是已知的，即有F(x)=Φ(x-μ/σ)，故一名上厕所的同学所用时间小于x分钟的概率可示为: P(T?x)=F(x)=Φ(x-μ/σ) 现在针对A同学进行分析，他是7:31来到厕所，并且符合补充条件3，他在期望时间内得到空位设为事件A，则有: 5-6A)=1-(1-P(T?3))=1.43×10 P( 而对于B同学，他是7:36分来到厕所，并且符合补充条件3，他在期望时间内得到空位设为事件B，则有: 5 P(B)=1-(1-P(T?8))=0.97 比较两组数据，显而易见，在假设1及补充条件1、3的前提下，在7:38到达厕所会获得最小的等待时间。如果我们能通过调查明确假设1中μ的取值，那么就可以认为，在7:30每过μ分钟时到达厕所会使等待时间最少。 但是，以上结论隐含着一个前提，即在厕所中的等待者有且只有一人。如果一名在7:38分到达厕所的同学甲恰好赶上出现空位，但此时还有一名在7:37来到厕所的同学乙，那么出于礼貌，后来者必然让位于先来者。但如果同学甲运气不好，此时厕所中有5名在7:37来到厕所的同学乙、丙、丁„„那么即使出现5个空位，同学甲也无法得到，而他在2分中-6内的到空位的概率也迅速下降到10以下。 由此，我们可以看出实际问题的复杂性。然而，上面所说的情况也是小概率事件，我们仍然可以认为“在7:30每过μ分钟时到达厕所会使等待时间最少。”结论成立。那么，针对问题1，可作如下回答:如果此同学是在7:37、7:45、7:52三个时间点到达厕所并且厕所没有其他人或等待者较少，则他可以在预期时间内得到空位。 问题2,如果,一名同学因为特殊原因必须上厕所,并且已经等了一段时间,比如2分钟,,那么他是应当继续等下去还是去其他卫生间, 在问题2的情况下，首先可以肯定的是，如果其他楼层上课的人数少，则应优先考虑去其他卫生间。然而，在一般情况下，每个楼层上课的班级数目大致相同，因而卫生间的人数 大致会保持同一水平，而且去其他楼层还意味着更多的时间损耗，甚至可能违背补充条件2，故不建议采用。 那么，继续等就成了唯一的选择。由补充条件4，此名同学的等待时间不能超过5分钟，否则就会发生悲剧。那么，他发生悲剧的概率有多大, 要回答这个问题，可以考虑两个极限的情况，第一:所有位置都是恰好在此名同学进入厕所时被占据，第二:所有位置都在此名同学进入厕所时空出。为了便于讨论，首先假定每名同学上厕所的时间为8分钟，那么也就是说，从此名同学进入厕所算起，最多经历8分钟出现空位。那么，这段时间服从什么规律呢,本文认为，这段时间服从正态分布规律，然而要确切得出其参数，就可能涉及到大量的调查和统计。抛开数据层面，这个问题可以归结为:能否通过已知的每名同学上厕所所需时间T的分布，求出任意时间段内出现空位的概率值呢,在初始条件未知的情况下，只能简化T的分布情况。现在设T恒等于8分钟，则等待时间t服从μ=4，σ=1的正态分布。则: P(t?5)=Φ(1)=0.84 由此可见，此名同学不发生悲剧的可能性较大。但这一结论也是有条件成立的。如果此名同学是在7:55到达卫生间并且发现厕所没有空位，那么如果补充条件2成立，他在预期时间内获得空位的概率值则为1。尽管这样可能是不被鼓励的行为。 4 结束语 综合以上的讨论，可以看出，看似简单的客观事物往往也蕴含着复杂的道理。一个假设的成立往往需要若干前提的成立。以上讨论围绕上厕所等位子这一生活中很普通的事例，做了一些初步的探索。那么，该如何回答这个看似简单的问题:在什么时间去厕所才能使等待的时间最少,本文认为，任何一种理论都必须经过实践的检验，本文中提出的观点也不例外。如果我们能精确地、大量地统计出每个时间段厕所的空位情况，就有可能给出合理的回答，甚至能发现之前没有注意到的现象与规律。 辩证法始终贯穿于概率论的产生和发展历程中,哲学思想对概率论的发展起着重要作用。“被断定为必然的东西,是由种种纯粹的偶然所构成,而被认为是偶然的东西,则是一种由必然性隐藏在里面的形式”。偶然性与必然性是哲学上的一对矛盾范畴,它们相互依存、相互制约、相互转化,必然性寓于偶然性之中,正如恩格斯所说:“在表面偶然性起作用的地方,这种偶然性始终是受内部隐蔽规律支配的。而我们的问题只是在于发现这些规律”。概率论是一门研究随机现象的统计规律的科学,我们学习概率论，不应仅仅纸上谈兵，而应注重结合实际，勤于发现问题，解决问题。可以说，问题是否得到了满意的解答是次要的，重要的是思考的过程及方法。 参考文献 [1] 哈尔滨工业大学数学系. 概率论与数理统计.[M]高等教育出版社. [2] 徐传胜,杨 军. 概率哲学思想的几次进化 [ J ]. 临沂师范学院数学系, 2008, 24 (5) :81. • • • • • • • • • • • • • • • • • • 【唯美句子】 走累的时候，我就到升国旗哪里的一角台阶坐下，双手抚膝，再闭眼，让心灵受到阳光的洗涤。懒洋洋的幸福。 顶 3 收藏 2 • 【唯美句子】 一个人踮着脚尖，在窄窄的跑道白线上走，走到很远的地方又走回来。阳光很好，温暖，柔和。漫天的安静。 顶 7 收藏 7 • 【唯美句子】 清风飘然，秋水缓淌。一丝云起，一片叶落，剔透生命的空灵。轻轻用手触摸，就点碎了河面的脸。落叶舞步婀娜不肯去，是眷恋，是装点,瞬间回眸，点亮了生命精彩。 顶 11 收藏 9 【唯美句子】 几只从南方归来的燕子，轻盈的飞来飞去，“几处早莺争暖树，谁家新• 燕啄春泥，”其乐融融的山林气息，与世无争的世外桃源，让人心旷神怡。 顶 0 收藏 2 • 【唯美句子】 流年清浅，岁月轮转，或许是冬天太过漫长，当一夜春风吹开万里柳时，心情也似乎开朗了许多，在一个风轻云淡的早晨，踏着初春的阳光，漫步在碧柳垂青的小河边，看小河的流水因为解开了冰冻而欢快的流淌， 清澈见底的的河水，可以数得清河底的鹅软石，偶尔掠过水面的水鸟，让小河荡起一层层的涟漪。河岸换上绿色的新装，刚刚睡醒的各种各样的花花草草，悄悄的露出了嫩芽，这儿一丛，那儿一簇，好像是交头接耳的议论着些什么，又好象是在偷偷地说着悄悄话。 顶 3 收藏 4 • 【唯美句子】 喜欢海子写的面朝大海春暖花开，不仅仅是因为我喜欢看海，还喜欢诗人笔下的意境，每当夜深人静时，放一曲纯音乐，品一盏茶，在脑海中搜寻诗中的恬淡闲适。在春暖花开时，身着一身素衣，站在清风拂柳，蝶舞翩跹的百花丛中，轻吹一叶竖笛，放眼碧波万里，海鸥，沙滩，还有扬帆在落日下的古船，在心旷神怡中，做一帘红尘的幽梦。 顶 0 收藏 2 • 【唯美句子】 繁华如三千东流水，你只在乎闲云野鹤般的采菊东篱、身心自由，置身置灵魂于旷野，高声吟唱着属于自己的歌，悠悠然永远地成为一个真真正正的淡泊名利、鄙弃功名利禄的隐者。 顶 1 收藏 3 • 【唯美句子】 世俗名利和青山绿水之间，你选择了淡泊明志，持竿垂钓碧泉绿潭;权力富贵和草舍茅庐之间，你选择了宁静致远，晓梦翩跹姹紫嫣红。 顶 2 收藏 3 • 【唯美句子】 那是一株清香的无名花，我看到了它在春风夏雨中风姿绰约的模样，可 突如其来的秋雨，无情的打落了它美丽的花瓣，看着它在空谷中独自凋零，我莫名其妙的心痛，像针椎一样的痛。秋雨，你为何如此残忍，为何不懂得怜香惜玉，我伸出颤抖的双手，将散落在泥土里的花瓣捧在手心。 顶 4 收藏 5 • 【唯美句子】 滴答滴答，疏疏落落的秋雨，赶着时间的脚步，哗啦啦的下起来。听着雨水轻轻地敲击着微薄的玻璃窗，不知不觉，我像是被催眠了一样，渐渐的进入了梦乡。 顶 3 收藏 5 • 【唯美句子】 在这极致的悲伤里，我看到了世间最美的爱，可谁又能明白，此刻的我是悲伤还是欢喜，也许只有那拨动我心弦的秋季，才知道潜藏在我心中的眼泪。 顶 4 收藏 3 • 【唯美句子】 看着此情此景，我细细地聆听。像是听到了落叶的呢喃，秋风的柔软，在这极短的瞬间，他们一起诉说着最美的爱恋，演绎着永恒的痴缠。当落叶安详的躺在大地，露出幸福的模样，你看，它多像一个进入梦乡的孩子。突然发现，秋风并非是想象中的刽子手，原来它只是在叶子生命的最后一刻，让它体会到爱的缠绵，飞翔的滋味。 顶 1 收藏 1 • 【唯美句子】 很感谢那些耐心回答我的人，公交上那个姐姐，还有那位大叔，我不知道他们是不是本地人，但我们遇到的一个交警协管，一位头发花白的大姐，她是上海本地人，很和善，并不像有些人说的上海人很排外。事实上，什么都不是绝对的。 顶 2 收藏 0 • 【唯美句子】 我嗅到浓郁的香奈尔，却也被那种陌生呛了一鼻。也许，我却不知道，那时的感受了。那里没有那么美好，没有安全感，归属感。我想要的自由呢，不完全地体验到了。 顶 2 收藏 1 【唯美句子】 那些繁华的都市，车水马龙，灯红酒绿，流光溢彩，却充斥着一种悲哀，• 浮夸。我看到各种奢华，却也看到各种卑微，我看到友善亲和，也看到暴躁粗鲁，我看到金光熠 • 【优美语句】 踏过一片海，用博识的学问激起片片微澜;采过一丛花，正在聪慧的碰碰外送来缕缕清喷鼻;无过一个梦，决定从那里启程。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 人生如一本书，应该多一些精彩的细节，少一些乏味的字眼;人生如一支歌，应该多一些昂扬的旋律，少一些忧伤的音符;人生如一幅画，应该多一些亮丽的色彩，少一些灰暗的色调。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 母爱是一滴甘露，亲吻干涸的泥土，它用细雨的温情，用钻石的坚毅，期待着闪着碎光的泥土的肥沃;母爱不是人生中的一个凝固点，而是一条流动的河，这条河造就了我们生命中美丽的情感之景。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 生活如海，宽容作舟，泛舟于海，方知海之宽阔;生活如山，宽容为径，循径登山，方知山之高大;生活如歌，宽容是曲，和曲而歌，方知歌之动听。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 母爱就是一幅山水画，洗去铅华雕饰，留下清新自然;母爱就象一首深情的歌，婉转悠扬，轻吟浅唱;母爱就是一阵和煦的风，吹去朔雪纷飞，带来春光无限。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 努力奋斗，天空依旧美丽，梦想仍然纯真，放飞自我，勇敢地飞翔于梦 想的天空，相信自己一定做得更好。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 品味生活，完善人性。存在就是机会，思考才能提高。人需要不断打碎自己，更应该重新组装自己。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 母爱是一缕阳光，让你的心灵即使在寒冷的冬天也能感到温暖如春;母爱是一泓清泉，让你的情感即使蒙上岁月的风尘依然纯洁明净。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 母爱是温暖心灵的太阳;母爱是滋润心灵的雨露;母爱是灌溉心灵的沃土;母爱是美化心灵的彩虹。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 一轮金色的光圈印在海面，夕阳将最后的辉煌撒向了大海，海平面波光潋滟，金光闪闪，夕阳下的海水让最后一丝蓝也带着感动。温和的海水轻轻地拍打着我的脚踝，我张开双臂拥抱最温馨的时刻„„我爱大海宽广的胸怀，无论多大的风浪，她都可以揽入怀中;无论多少风雨，都无法将她击垮;无论多少河流，她都可以容纳;我愿做一只填海的燕，填平她的波涛翻滚，填平她的汹涌愤怒，只留下平静、柔和的海面。