不等式及其解集
1.等式:用“=”连接的表示相等关系的式子叫做等式.
2.一元一次方程:含有_____个未知数,并且未知数的次数是_____的方程叫做一元一次方程. 3. 方程的解:使方程___________________的未知数的值叫做方程的解
知识点一:不等式、一元一次不等式的概念
你能列出下列式子吗,
(1)5小于7;_____________________________ (2)a是正数; _____________________________ (3)m的2倍大于或等于-1; _____________________________ (4)x-3不等于2_____________________________ (5)a不大于1 ; _____________________________ 不等式:像上面的这些式子,用符号“ ”, “ ” ,“ ” “ ”或“ ”表示________________的式子叫做不等式。
一元一次不等式:含有 且未知数的次数是 的不等式,叫做一元一次不等式( (1) x >-1 (2)x?-1
练一练:
1、下列式子中哪些是__________________;一元一次不等式是____________;
(1)a,b=b+a (2),3,,5 (3)x?l (4)x十3?6
(4)x?-1 1(3) x <-1 ,5(5) 2m< n (6)2x-3 (7) x 2、对于下列各式中:
2a?3,2;?x?0;?a,0;?x+2=5;?2x+xy+y;? +1,5;?a+b,0. 不等式有_____________________(只填序号),一元一次不等式有__________. 知识点二:不等式的解、不等式的解集
判断下列哪些数值能使不等式x,3 > 6成立,
,4 ,2. 5 x . . . 0 1 2.5 3 3.2 4.8 8 12 … x+3 判断 想一想: 使不等式x,3 > 6成立的数值还有没有, 有多少个,
不等式的解:使不等式 的 的值叫做不等式的解(不等式的解有 个。 由上
我们可以发现,当x,3时,不等式x,3 > 6总成立;而当x?3时,不等式x,3 > 6总不成立.这就是说,任何一个大于3的数都是不等式x,3 > 6的解,因此x,3表示了能使不等式x,3 > 6成立的x的取值范围,叫做不等式x,3 > 6的解的集合,简称解集 不等式的解集:一个含有未知数的不等式的 _____组成这个不等式的解集。求不等式的解集的过程叫做解不等式。
注意: 解集中包括了每一个解,解集是一个范围。
思考:?不等式x,2,5、x,3,0和x,4,0的解集分别是什么,
在数轴上表示不等式x+2,5的解集:可以表示成x,3. x,3表示x取哪些数, 归纳:小于向左画,大于向右画;无等号画空心圆圈,有等号画实心圆点. (1)根据数轴写出解集:
(2)你能画出数轴并在数轴上表示出下列不等式的解集吗,
?x,3 ?x,2 ?y?-1
(3)将数轴上x的范围用不等式表示:
(1) ; (2); (3) ; (4); (5)
2
:1.用数轴表示不等式的解集的步骤:
画数轴 找点 画点 画方向
2(用数轴表示不等式的解集,应记住下面的规律:
(1)有等号(“? ,?”)画实心点,无等号 (“>,<”) 画空心圆。 (2)大于向右画,小于向左画。
练一练:
1(下列式子?3x,5;?a,2;?3m,1?4;?5x,6y;?a,2?a,2;?,1,2中,不
等式有( )个
A、2 B、3 C、4 D、5 2(下列数值:,2,,1.5,,1,0,1.5,2是不等式x,3,2解的有( )个.
A、2 B、3 C、4 D、5 3(满足不等式x,1,4的正整数有( )
A、1,2,3,4 B、0,1,2,3,4 C、0,1,2,3 D、无穷多个 4. 下列说法正确的是( )
A(不等式2x?3 的解有1个。 B .不等式x + 1< 3的解集是 x<3
1m,1x,3C. 不等式3x?6的解集是x?2 D.若是一元一次不等式,则m = -1. 2
5.下列哪些数值是不等式x+3,6的解,那些不是,
-4, -2.5, 0, 1, 2.5, 3, 3.2, 4.8, 8, 12 . 你还能找出这个不等式的其他解吗,这个不等式有多少个解,
6.用不等式表示.
(1)a与5的和是正数; (2)b与15的和小于27;
(3)x的4倍大于或等于8; (4)d与e的和不大于0.
3
7、直接写出下列不等式的解集,并把解集在数轴上表示出来:
(1)x+2,6; (2)2x,10; (3)x-2?0.5.
知识点三:不等式的性质
1、我们学习了等式,并掌握了等式的基本性质,大家还记得等式的基本性质吗, 等式的基本性质一:在等式的两边都 或( )同一个 ,等式仍然成立。
a,bb,ca,c 可用符号表示为: 若,则
等式的基本性质二:在等式的两边都 同一个 或( )同一个 ,aba,bb,cc,0等式仍然成立。可用符号表示为: 若,则 , () a,ccc2、不等式与等式只有一字之差,那么它们的性质是否也有相似之处呢, (一)不等式基本性质的推导
1、自主学习:填空:
2 , 3 2 , 3 2 , 3
1111 3+5 2× 3× 2? 3? 2+522222+8 3+8 2×(-1) 3×(-1) 2?(-1) 3?(-1)
不等式的基本性质一:
不等式的两边都 或( )同一个 ,不等号的方向不变。
a,cbb,c可用符号表示为: 若,,则 a
不等式的基本性质二:
不等式的两边都 或( )同一个 ,不等号的方向 。
abbb,c可用符号表示为: 若,,,0,则 ,或 a,caccc
不等式的基本性质三:不等式的两边都 或( )同一个 ,不等号的方向 。
abbb,c可 用符号表示为: 若,,,0,则a,c ,或 accc不等式性质的运用
1. 已知a>b,用不等号填空:
(1)a+2 b+2; (2)a,2 b,2; (3)2a 2b; (4),2a ,2b;
(5),a ,b;(6)3+2a 3+2b;(7)3a,1 3b,1;(8)1,2a 1,2b(
(9)1,a 1,b;(10)1+a 1+b; (11)a,1 b,1;(12)1,a 1,b( 2. 将下列各式化成x > a或 x < a的形式,并说明理由
(1)x – 2 < – 5. 解:两边同加2,得x < – 3(不等式两边都加上同一个数,不等号的方向
4
不变).
111,,26x(2). (3) (4) x,,1,,x224
111,,35x(5) (6) (7) x,,2x,,,424
111x,,,1(8) (9) ,,x244
练一练:
1、判断下列式子的正误.
(1)如果a,b,那么a+c,b+c; ( ) (2)如果a,b,那么a,c,b,c; ( )
ab(3)如果a,b,那么ac,bc; ( ) (4)如果a,b,且c?0,那么,.( ) cc2、将下列不等式化成“,”或“,”的形式: xaxa
51(1),1,2 (2),, (3)?3 xxx62
1、将下列不等式化成“,a”或“,a”的形式. xx
x(1)3x,1,27 (2),,5 (3)5x,4x-6 3
yx2、已知,,下列不等式一定成立吗,
yyyxxx(1),6,,6; (2)3,3; (3),2,,2.
ba3、设,,用“,”或“,”号填空.
5
bb(1)+1 +1; (2),3 b,3; (3)3 3; aaa
ababb(4) ; (5), ,; (6), ,. a4477
4、设,b.用“,”或“,”号填空. a
abb(1),3 ,3; (2) ; a22
bb(3),4 ,4; (4)5 5; aa
bbbb(5)当,0, 0时,,0; (6)当,0, 0时,,0; aaaa
bbbb(7)当,0, 0时,,0; (8)当,0, 0时,,0. aaaa综合练习:
1、当x = 3时,下列不等式成立的是 ( ) A、x,3,5 B、x,3,6 C、x,3,7 D、x,3,8 2、下列不等式一定成立的是 ( )
2A、2x,6 B、,x,0 C、x+1,0 D、|x|,0 3、下列解集中,不包括,4的是 ( ) A、x?,3 B、x?,4 C、x?,5 D、x?,6 4、下列说法中,正确的有 ( )
?4是不等式x,3,6的解 ?x,3,6的解是x,2
?3是不等式x,3?6的解 ?x,4是不等式x,3?6的解的一部分
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
5、x的3倍减去2的差不大于0,列出不等式是 ( ) 、3x,2?0 B、3x,2?0 C、3x,2,0 D、3x,2,0 A
6、图中表示的是不等式的解集,其中错误的是 ( ) A、x?,2 B、x,1 010-2-1
C、x?0 D、x,0 00
7、,3x?6的解集是 ( ) A、 B、 C、 D、 0-2-1-2-11020102
8、下列数学表达式中,不等式有( )
?-3,0; ?4x+3y,0; ?x=3; ?x?2; ?x+2,y+3 (A) 1个. (B)2个. (C)3个. (D)4个. 9、当x=-3时,下列不等式成立的是( )
(A)x-5,-8. (B)2x+2,0. (C)3+x,0. (D)2(1-x),7.
6