圆重难点突破--内心外心

圆重难点突破--内心外心 武汉中考 圆重、难点突破 前言: 元月调考圆的知识占据较大比重，这里抓出一些常考的重点、难点题型做专项训练。 第1个问题 内心、外心知多少 【2013元调 第10题】 C如图，点I和O分别是?ABC的内心和外心，则?AIB和?AOB的关系为( ) B、 A、，,，AIBAOB，,，AIBAOBIO11C、 D、 2180，,，,AIBAOB2180，,，,AOBAIB22AB分析: 外心:圆在三角形外，经过三角形3个顶点 三角形外接圆的圆心，圆心到3个顶点的距离相等，它是三边的垂直平分线的交点。 内心:圆在三角形内，与三边都相切 三角形内切圆的圆心，圆心到三边的距离相等，它是三个内角平分线的交点。 ?AIB和?AOB 都与 ?C 有关系，?AOB=2?C， 111,,,?AIB=180?(?IAB+?IBA)=180?(?A+?B)=180?(180?-?C)=90?+?C 222 C C IO ABABA E外心和内心的考查很频繁 O外心考查重点:?圆周角与圆心角的转换，如2013中考第22题 CBD 如图，?ABC为等腰三角形，AB=AC，则?BEC=?BOD ?直角三角形的外心是斜边的中点，反之说明是直角三角形(2013中考第25题) A内心的考查更灵活:常考角度、面积 D111(1) ，,，，，,，，，,，，BOCABOACAOCB90,90,90F222 O1，a、b、c为三边长，r是内切圆的半径 (2)Sabcr,，，()ABC2BEC abc，,r,，,BAC90当时，四边形ADOF为正方形， 2 第 1 页 共 8 页 武汉中考 圆重、难点突破 【例题1】如图，AB是?O的直径，点P为半圆上一点(不与A、B重合)，点I为?ABP的内心，连接PI交?O于点M，IN?BP于N，下列结论: ??APM=45?;?AB=IM;??BIM=?BAP; 2 PIN，OB2? =;其中正确的个数有________________ N2PM45 IA、1个 B、2个 C、3个 D、4个 xx分析: AB45?题目中给出直径、圆上的点这样的字眼 想到:直径所对圆周角等于180度，则?ABP是直角三角形 ?I为内心，内心与三角形顶点的连线即为内角平分线 M 则PI平分，所以?APM=45?。 ，APB 圆中题目涉及角平分线的，除了满足角平分线本身的性质与定理外，还要注意 弧、弦、角、距四组量，有角等，其余皆成立。这里，则AM=BM ，,，APMBPMP N 则?AMB为等腰直角三角形，AM=BM，AB=AM 2 I x?欲证AB=IM，则证IM=AM 或 IM=BM 即可。令，则 ，,，,IABIAPx2xAB45 (内心性质、外角等于不相邻2内角之和) ，,，，,，IAMxAIMx45,45 ?对于?BIM=?BAP这个结论，最好的办法是取极端位置迅速判别， MAB若P在中点处，显然?BIM=?BAP不成立 2?式子看起来很复杂，看见联系等腰直角三角形。本题的主线是 P N 内角平分线，新观察上有针对训练，这里不多复述。过点M作AP、BP ID2 边的垂线，易证PCMD为正方形。AB=2OB，则IM=AM=AB， A2BO 22而AB=2OB，所以IM=OB，又PI=IN，所以 C 2PM=(IN+OB)，证毕 M【例题2】(2013黄冈一模)如图，?ABC中，下面说法正确的个数是( )个 ?若O是?ABC的外心，?A=50?，则?BOC=100?; ?若O是?ABC的，?A=50?，则?BOC=115?; ?若BC=6，AB+AC=10，则?ABC的面积的最大值是12; ??ABC的面积是12，周长是16，则其内切圆的半径是1; 第 2 页 共 8 页 武汉中考 圆重、难点突破 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 A分析: ?第1和第2个结论是正确，第4个结论是错误的，不解释; ?第3个结论，有一定难度 O 方法1:勾股定理 BCDE由图知:底边BC一定，则AE最大时，?ABC的面积的最大 ,,令AB=a，BE=b，则AC=10a，CE=6b 31622222222abab-(10-)-(6-),ab,，，则，解得 由于ABBEACCE,,,55 23161616916，2222因为abbb-()(b3),，,,,,，， 不用具体算出来，当b=3时，有最大值 25525255 22ADab,,即取最大，此时?ABC为等腰三角形，易知AB=5，BD=3，AE=4 abc，，SPpapbpcp,,,,,()()(),方法2:海伦,秦九韶，如果你记得住的话: 2 , 令AB=，则AC=10，由题知P=8，则 xx 82,，,xx (也可以用配方法) Sxxxx,,,,,,，,，,8(86)(8)(2)4(8)(2)4122 【训练题】 1、如图，O是?ABC的，过点O作EF?AB，与AC、BC分别交E、F，则( ) A、EF,AE+BF B、EF,AE+BF C、EF=AE+BF D、EF?AE+BF 2、已知，如图，点E是?ABC的内心，延长AE交?ABC 的外接圆于点D，连接BD、DC、EC，则图 中与BD相等的线段分别是____________________ A E BC D 第 3 页 共 8 页 武汉中考 圆重、难点突破 3、如图，?ABC中，AB=AC，?A=40?，延长AC到D，使CD=BC，点P是?ABD的内心， A则?BPC=___________ P BC D4、如图，在矩形ABCD中，连接AC，如果O为?ABC的内心，过O作OE?AD于E，作OF?CD于 F，则矩形OFDE的面积与矩形ABCD的面积的比值为__________ AE D F O CB 5、如图，Rt?ABC中，?ACB=90?，点O、I分别为?ABC的外心和内心，AC=6，BC=8，则OI的值为_______________ C I BOA 第 4 页 共 8 页 武汉中考 圆重、难点突破 6、如图，?ABC内接于?O，I是其内心，且AI?OI。若AC=9，BC=7，则AB=_______ A IO CB AB7、如图，半径为2cm，圆心角为90?的扇形OAB的上有一运动的点P，从点P向半径OA引垂线 ABPH交OA于点H，设?OPH的内心为I，那么当点P在上从点A运动到点B时，I所经过的路径 B长为_______________ P I AO H 8、如图，等腰?ABC 中，AB=AC，以AB为直径作?O，分别交AC、BC于D、E两点，过B点的切 DEBE,线交OE的延长线于点F，连结FD，则下列结论: ?;?FD是?O的切线;??C=?DFB; ?E为?BDF的内心。 其中一定成立的个数有_______________。 CA 、??? B、??? C、??? D、?? F提示:角的转换要灵活 D E A BO 第 5 页 共 8 页 武汉中考 圆重、难点突破 9、如图，BC是?O的直径，半径为R，A为半圆上一点，I为?ABC的内心，延长AI交BC于D点，交?0于点E，作IF?BC，连接AO，BI。下列结论:?AB+AC=BC+2IF;?4?AIB-?BOA=360?; IFR，?EB=EI;?为定值，其中正确的结论有( ) AE A、??? B、??? C、???? D、??? 提示:参考例1解法 B E F DI AO C 10、如图，?O是?ABC的外接圆，BC是直径，I为?ABC的内心，AD、BE、CF都经过I点分别交?O ABACBCAI，,,2于点D、E、F， IM?BC于M。则下列结论:?EF?AD;?; 1?ADIMBC,，2()，其中正确的是__________ 2 FA提示:?是对的 EI BCOM D 第 6 页 共 8 页 武汉中考 圆重、难点突破 11、下列列说法: AB?如图1，扇形OAB的圆心角?AOB=90?，OA=6，点C是上异于A、B的动点，过点C作CD?OA 1AB于D，作CE?OB于E，连接DE，点G在线段DE上，且DG,DE，连接CG。当点C在上运3 DG中，长度不变的是DG; 动时，在CD、CG、 ?如图2，正方形纸片ABCD的边长为8，?O的半径为2，圆心O在正方形的中心上，将纸片按图示方 19式折叠，折叠后点A于点H重合，且EH切?O于点H，延长FH交CD边于点G，则HG的长为; 3 5?已知Rt?ABC中，?C=90?，AC=3cm，BC=4cm，则其内心和外心之间的距离是cm; 其中正确的有___________(请写序号，少选，错选均不得分) AED F H G BC图2 C BA 第 7 页 共 8 页 武汉中考 圆重、难点突破 O12、已知，如图:在平面直角坐标系中，点D是直线上一点，过O、D两点的圆?分别交 yx,,1 轴、轴于点A和B。 yx O(1)当A(-12，0)，B(0，-5)时，求的坐标; 1 O(2)在(1)的条件下，过点A作?的切线与BD的延长线相交于点C，求点C的坐标; 1 7O(3)若点D的横坐标为,，点I为?ABO的内心，IE?AB于E，当过O、D两点的?的大小发生 12 变化时，其结论:的值是否发生变化,若不变，请求出其值;若变化，请求出变化范围; AEBE, y=-xy D AO x O1 B C y D AO x O1 y=-xB y D AO x I O1 E B 第 8 页 共 8 页