定积分的计算
五,定积分的换元积分法定积分的计算还可以使用换元法:定理3 若函数在上连续,在上连续可微,且满
足,则有.这就是定积分的换元积分公式.应用...
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?8.4 定积分的计算
一、按照定义计算定积分
定积分的定义其实已经给出了计算定积分的方法,即求积分和的极限:
nbf(x)dx,f(,),xkk,lima,lTk(),0,1 但在定义中,分法T是任意的,ξk的取法也是任意的,这给我们的计算带来了困难。因此,一般我们都
是对已知是可积的函数才用定义求它的定积分。这时,我们可以选用特殊的分割T(比如用等分)和特殊的点ξk(比如取每个小区间的右端点、或左端点、或中点等等)来计算。
2例1 求由抛物线y,x,,及所围平面图形的面积。 x,[0,1]y,0
12解 根据定积分的几何意义,就是要计算定积分xdx .显然,这个定积分是存在的。 ,0
k,1取分割T为,n等份,并取,。则所求面积为: k,1,2,?,n,kn
nn1k,111222Sxdx,,,lim(k,1)lim(),,,nn03,,,,kkn1nn,,1 =
(n,1)n(2n,1)1 =。 lim,3n,,36n
二、积分上限函数
从上面的例子看到,用定积分的定义计算定积分是相当麻烦的。下面我们探讨计算定积分的简便方法。为
此,先引入积分上限函数的概念。
设函数f(x)[a,b],x,[a,b]f(x)[a,x]在区间上可积,,函数在区间上可积。于是,由
x,(x),f(t)dt, x,[a,b] ,a
x定义了一个以积分上限为自变量的函数,称为积分上限函数。
x定理1(原函数存在定理) 若函数,(x),f(t)dtf(x)在[a,b]上连续,则在[a,b]上处处可导,且,a
xd,x,[a,b],(x),f(t)dt,f(x),。 ,adx
此定理沟通了导数与定积分之间的关系,也就沟通了不定积分(原函数)与定积分的关系。同时也证明了
x连续函数必有原函数这一结论,并以积分的形式给出了,(x),f(t)dtf(x)的一个原函数。 ,a三、微积分的基本公式
有了上述的定理1以后,就很容易证明下列的定理:
定理2(微积分基本定理) 若函数f(x)[a,b]F(x)f(x)[a,b]在上连续,且存在原函数,则在上
可积,且
bf(x)dx,F(b),F(a) ,a
这称为微积分基本公式,也称为牛顿—莱布尼茨公式。
bF(b),F(a)F(x)常记为,于是牛顿—莱布尼茨公式也可写为: a
bb f(x)dx,F(x),F(b),F(a),aa
有了牛顿—莱布尼茨公式后,计算定积分关键就是找的一个原函数。这就转化为不定积分的问f(x)F(x)题了。
例如,前面讲过的例1,用牛顿—莱布尼茨公式计算就很方便了。 12求 xdx,0
1123322解:先求函数的一个原函数。因为,取的一个原函数,则 xxdx,x,Cxx,33
111123 xdx,x,,0330
再看其它的例子。
1dx例3.求 2,01,x
dx解:已知 ,arctanx,C2,1,x
1,dx1? ,arctanx,arctan1,arctan0,2,0041,x
可以看到,计算定积分与计算不定积分差不多,只不过就多写了积分的上下限。所以,熟练以后,上面的
步骤可不用分两步写,只写第二步即可,前面第一步可省略。
edx例4.求 ,1x
解:(略)
四、定积分的分部积分法
与不定积分的计算一样,定积分的计算也可以用分部积分法:
bbbbbb,,u(x)v(x)dx,u(x)dv(x),u(x)v(x),v(x)du(x),u(x)v(x),u(x)v(x)dx ,,,,aaaaaa
此式称为定积分的分部积分法。
2,x例5.求xedx ,0
解:(略)
12例6.求arcsinxdx ,0
解:(略)
,2n例7.求I,sinxdx n,0
解:(略)
五、定积分的换元积分法
定积分的计算还可以使用换元法:
定理3 若函数f(x)[a,b],(x)[,,,]在上连续,在上连续可微,且满足
,(,),a,(,),ba,,(t),bt,[,,,],,,,
b,,,。 f(x)dx,f(,(t)),(t)dt,f(,(t))d,(t),,,a,,这就是定积分的换元积分公式。
则有 应用定积分的换元积分公式计算定积分时,要注意积分上、下限的变化。
a22例8.求 a,xdx,0
122例9.求 x1,xdx,0
ln2x例10.求 e,1dx,0
上面几个例子都是被积函数带有根号的定积分,解题的思路是通过变量替换把根号去掉。注意换元后积分
上、下限的变化。
例11.设函数在上连续,证明: f(x)[,a,a]
aa若是奇函数,则 f(x)f(x)dx,2f(x)dx,,,a0
a若f(x)是偶函数,则f(x)dx,0 ,,a
例12.证明:若函数f(x)是以T为周期的连续函数,则
a,TTf(x)dx,f(x)dx ,,0a
讲解时注意讲清解题的思路、方法和技巧。 例12说明:以T为周期的连续周期函数,在任意一个长度为T的区间上的积分总是相等的。
掌握了定积分的计算后,有时可以利用定积分的定义计算某些和的极限。这时这个和应能够看作某一函数
的积分和,那么根据定积分的定义,就可以把这个和的极限转化为某个函数的积分和的极限,从而转化为
定积分。
nk例13.求极限 ,3lim2n,,k,1n
nk22例14.求极限n,k ,lim3nnk,,,1