参数估计问题分为点估计和区间估计

参数估计问题分为点估计和区间估计 参数估计问题分为点估计和区间估计. ˆˆˆ设θ是总体X的待估计参数.用统计量,,,=（X，X，…，X）来估计θ称是θ的估12n计量，点估计只给出未知参数θ的单一估计. 本章介绍了两种点估计的：矩估计法和极大似然估计法. 矩法的做法：设总体X~F（X；θ，θ,…,θ)其中θ(1?k?l)为未知参数. 12lk 1 k（1） 求总体X的k(1?k?l)阶矩E（x）； （2） 求方程组 ,,,,(,,,)(),,,EXA,1121l, ,l,lll12(,,,)().,,,,,,EXA, ˆˆˆˆˆ的一组解,,…, ，那么= (X,X,…,X)(1?k?l)为k的矩估计量. ,,,,,12n12lkk ˆ（x，x,…,x）为θ的矩估计值. ,12nkk 极大似然估计法的思想是若已观察到样本值为（x，x,…,x），而取到这一样本值的概12n率为P=P(θ,θ,…,θ),我们就取θ(1?k?l)的估计值使概率P达到最大，其一般做法如下： 12lk （1） 写出似然函数L=L（θ,θ,…,θ） 12l 当总体X是离散型随机变量时, n L=Px(;,,,),,,, il,12i1, 当总体X是连续型随机变量时 nL=fx(;,,,),,,, il,12i1, (2) 对L取对数 nlnL=ln(;,,,)fx,,,, il,12i1, (3) 求出方程组 ,lnL=0, k=1,2,…,l. ,,k ˆˆˆ的一组解= (x,…,x) (1?k?l)即k为未知参数θ的极大似然估计值，=(X,X,…,X),,,1n12nkkk为θ的极大似然估计量.在统计问题中往往先使用极大似然估计法，在此法使用不方便时，k 再用矩估计法进行未知参数的点估计. 对于一个未知参数可以提出不同的估计量，那么就需要给出评定估计量好坏的标准.本 章介绍了三个标准：无偏性、有效性、一致性.重点是无偏性. 点估计不能反映估计的精度，我们就引人区间估计. 设θ是总体X的未知参数，ˆˆ,均是样本X，X，…，X的统计量，若对给定值α(0<,,12n12 ˆˆˆˆα<1)满足P（<θ<）=1-α,称1-α为置信度或置信概率，（，）为θ的置信度为,,,,12121-α的置信区间. 22参数的区间估计中一个典型、重要的问题是正态总体X（X~N（μ,σ））中μ或σ的 区间估计，其置信区间如表7-3所示. 7-3 1-α 2 待估参其他参数 统计量 置信区间 数 2μ σ已知 ,,,,,XZ= ~N(0,1) ,XZ,,,2/n,n,, 2μ σ未知 ,,S,,XT= ~t(n-1) ,,Xtn(1),,,2Sn/n,,2σ μ未知 (1)n,22222,,~X(n-1) ,,,,S(1)(1)nSnS2,, ,,22,,XnXn(1)(1),,,,,1,,22 区间估计给出了估计的精度与可靠度（1-α），其精度与可靠度是相互制约的即精度越 高（置信区间长度越小），可靠度越低；反之亦然.在实际中，应先固定可靠度，再估计精度. 矩估计量 极大似然估计量 估计量的评选标准：无偏性、有效性、一致性， 参数θ的置信度为（1-α）的置信区间, 单个正态总体均值、方差的置信区间. 3 4