华附专题四、函数的对称性与周期性

华附专四、函数的对称性与周期性 一 、函数的对称性 （?）函数图象的自对称（同一个函数对称性问题） 所谓函数图象的自对称是指一个函数图象的对称(中心对称或轴对称)图象是其本身. 关于函数图象的自对称,有下列性质: 偶函数关于y轴（即x=0）对称，偶函数有关系式 f(,x),f(x) 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式 f(x)，f(,x),0 那上述关系式是否可以进行拓展？ 探讨：（1）函数x,a关于对称（类比偶函数看结构特征） y,f(x)f(a，x),f(a,x), 也可以写成 或 f(a，x),f(a,x)f(x),f(2a,x)f(,x),f(2a，x)简证：设点(x,y)在上，通过可知，y,f(x),f(2a,x)，所以y,f(x)f(x),f(2a,x)11111(2a,x,y)也在y,f(x)上，而点(x,y)与点(2a,x,y)关于x=a对称。得证。 111111 (a，x)，(b,x)a，b? 一般形式：f(a，x),f(b,x)，函数y,f(x)关于直线 对称 x,,22 （总结特征）；（注：特别地，当a=b=0时，该函数为偶函数。） （2）函数y,f(x)关于点(a,b)对称f(a，x)，f(a,x),2b（类比奇函数看结构特征） , 上述关系也可以写成f(2a，x)，f(,x),2b 或 f(2a,x)，f(x),2b 简证：设点(x,y)y,f(x)在y,f(x)上，即，通过f(2a,x)，f(x),2b可知，1111 f(2a,x)，f(x),2bf(2a,x),2b,f(x),2b,y(2a,x,2b,y)，所以，所以点也在1111111 (2a,x,2b,y)(x,y)y,f(x)上，而点与关于(a,b)对称。得证。 1111 a，bc一般形式： f(a，x)，f(b,x),cy,f(x)，函数关于点(,) 对称。（总结特征） 22（注：特别地，当a=b=c=0时，函数为奇函数。） （3）那是否有函数y,f(x)关于点y,b对称呢？（不可能有） 假设函数关于xy,b对称，即关于任一个值，都有两个y值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函 数自身不可能关于y,by,b对称。但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于对称，比如圆 22c(x,y),x，y,4,0它会关于y=0对称。 () 所谓函数图象的互对称是指两个函数图象的上的点一一对应，且对应点相互对称（中心对称或轴对称）。 关于函数图象的互对称,有下列性质: 1、函数，，，，y,fxy,2b,fx与函数的图象关于直线 对称。 1 ，，，，2、函数与函数的图象关于直线 对称。 y,fa，xy,fb,x 3、函数，，，，与函数的图象关于点 对称。（类似（?）中易得出结果） y,fxy,2k,f2h,x 二、对称性和周期性之间的联系 周期性与对称性是相互联系、紧密相关的。 ?若,（x）的图象有两条对称轴x=a 和x=b(a?b)，则,（x）必为周期函数，其一个周期是对称轴之间距 离的两倍，即2|b-a|； 证明：?得 faxfax()()，,,fxfax()(2),, 得 fbxfbx()()，,,fxfbx()(2),, ? faxfbx(2)(2),,, ? ?函数是周期函数，且是一个周期。 fxfbax()(22),,，yfx,()22ba,?若,（x）的图象有两个对称中心(a,0)和(b,0)(a?b)，则,（x）必为周期函数，其一个周期是2|b-a|； 证明：类似 ?若,（x）的图象有一条对称轴x=a和一个对称中心(b,0)(a?b)，则,（x）必为周期函数，其一个周期是4|b-a|； 证明：类似 ??若函数的图象同时具备两种对称性，即两条对称轴，或两个对称中心，或一条对称轴一个对称中心， 则函数必定为周期函数，反之亦然。 例1、?(2006年山东卷）已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)= －f(x),则,f(6)的值为 (B) (A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2 【考点分析】本题考查函数的周期性和奇偶性。 解析：由，，，，，，，，，，fx，2,,fx,fx，4,,fx，2,fx 由，，，，，，，，，，，，fxf0,0f6,f4，2,f2,,f0,0是定义在R上的奇函数得，?，故选择B。 ?（《38套》第16套 题12）设定义在R上的函数f(x)f(x)f(x，2),2f(3),2满足，若，则f(2009),____________。 2?，，，，，，fx,,x，1y,fxx,,2,2是定义在R上的偶函数，其图象关于直线对称，且当时，，x,2 则当，，，，x,,6,,2fx时，= 。 3?（《38套》第24套 题8）已知定义在R上的函数f(x)(,,0)的图像关于点对称，且满足4 3f(,1),1,f(0),,2f(1)，f(2)，？，f(2009),f(x),,f(x，)，，则_______________。 2 小结：关于函数的周期性的结论： 2 ?对于非零常数A，若函数满足，则函数必有一个周期为2A。 f(x),,f(x，A)yfx,()yfx,()证明： ?函数的一个周期为2A。 f(x),,f(x，A),,[,f(x，A，A)],f(x，2A)yfx,()（方法：多次迭代，一通到底） 11思考：若将关系式改为或f(x),,f(x，A)f(x，A),或f(x，A),,f(x)f(x) A1，f(x)A1,f(x)或（或等式右边加负号）呢？结果如何？（没变），推导方法f(x，),f(x，),21,f(x)21，f(x) 也一样。【小结结构特征、推导方法、相应结论】 区别：若,（x+a）=,（x+b）或,（x+T）=,（x），则,（x）具有周期性； 若,（a+x）=,（b-x），则,（x）具有对称性；“内同表示周期性，内反表示对称性”； 例2、数列{a}中，a＝a，a＝b，且a＝a－a(n?N) ?求a； ?求S. ＋＋＋n12n2n1n100100 解：由已知a＝a，a＝b， 12 所以a＝b－a，a＝－a，a＝－b，a＝a－b，a＝a，a＝b，…… 345678 由此可知，{a}是以6为周期的周期数列， n 于是a＝a＝a＝－a ＋1006×1644 又注意到a＋a＋a＋a＋a＋a＝0 123456 S＝a＋a＋a＋……＋a＋a＋a＋a＋a＝0＋a＋a＋a＋a 10012396979899100979899100 ＝a＋a＋a＋a ＝a＋b＋(b－a)＋(－a)＝2b－a 1234 例3、（05广东卷）设函数fx()(,),,，,在上满足，，且在闭区间 fxfx(2)(2),,，fxfx(7)(7),,， ［0，7］上，只有ff(1)(3)0,,． （?）试判断函数yfx,()的奇偶性； （?）试求方程fx()=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论． 解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数y,f(x)的对称轴为, x,2和x,7从而知函数y,f(x)不是奇函数, f(2,x),f(2，x)f(x),f(4,x),,由 ,,f(4,x),f(14,x),,f(7,x),f(7，x)f(x),f(14,x),, ,f(x),f(x，10)y,f(x),从而知函数的周期为 T,10 又f(3),f(0),0,而f(7),0y,f(x),故函数是非奇非偶函数; f(2,x),f(2，x)f(x),f(4,x),,(II)由 ,,f(4,x),f(14,x),,f(7,x),f(7，x)f(x),f(14,x),, ,f(x),f(x，10) (II) 又f(3),f(0),0,f(11),f(13),f(,7),f(,9),0 故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数y,f(x)在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解,所以函数y,f(x)在[-2005,2005]上有802个解. 3 1fx，,21、（2006年安徽卷理）函数对于任意实数x满足条件，若则fxf15,,,，，，，，，fx，， __________。【考点分析】本题考查函数的周期性与求函数值，中档题。 ff5,，，，， 111解析：由fx，,2fxfx，,,4()得，所以，则。 ff(5)(1)5,,,f(f(5)),,，，，，fxfx，25，，，， 2、（1996全国，15）设，，，，，，，，是,,,，,上的奇函数，fx，2,,fx，当0?x?1时，fx,x，fx，， 则f（7.5）等于（ B ） A.0.5 B.－0.5 C.1.5 D.－1.5 3、（《38套》第5套 题7）已知定义在R上的奇函数的图像关于直线对称，，则f(x)f(,1),1x,1 _______________。 f(1)，f(2)，？，f(2009), 14、（2005天津卷）设f(x)是定义在R上的奇函数，且，，y,fx的图象关于直线对称，则f (1)+ f (2)+ x,2f (3)+ f (4)+ f (5)=______________. 1解析：ff,,,00f00,fn,0得，假设，因为点（,n，0）和点（）关于对称，x,n，1,0，，，，，，，，2所以fnfnfn，,,,,,10fn,0因此，对一切正整数n都有：， ，，，，，，，， 从而：fffff123450，，，，,。 ，，，，，，，，，， 5、（2005福建卷）是定义在R上的以3为周期的偶函数，且，则方程=0在区间 f(x)f(2),0f(x)（0，6）内解的个数的最小值是 （ B ） A．5 B．4 C．3 D．2 解析：由，，，，，，，，的周期性知，f(2),f5,f,1,,f1,,f4,0，即至少有根1，2，4，5。 f(x) x,，2b6、已知定义域为fx(),的函数是奇函数。（?）求ab,的值；（?）若对任意的，不等式RtR,x，12，a 22fttftk(2)(2)0,，,,恒成立，求的取值范围； k xb,,112解：（?）因为,,,？,01()bfxfx()是奇函数，所以fx()=0，即 又由f（1）= -fx，1aa，，22 11,x1211,12,2（-1）知fx(),,,，,,,,a2.；（?）解法一：由（?）知，易知fx()，1xx22221，，aa，，41 22fttftk(2)(2)0,，,,在(,),,，,上为减函数。又因fx()是奇函数，从而不等式： 等价于22222fttftkfkt(2)(2)(2),,,,,,fx()，因为减函数，由上式推得：ttkt,,,22．即对一切tR, 12有：，从而判别式,,，,,,,4120.kk 320ttk,,,3 22tttk,,22x1212,,12,解法二：由（?）知22,,0fx(),．又由题设条件得： ， 即：xtttk,，,，2121，12222，，22， 222222212212tktttttk,，,,，,32ttk,,，即320ttk,,,上(22)(12)(22)(12)0，,，，,,21,,因底数2>1,故: 1式对一切,,，,,,,4120.kk均成立，从而判别式 tR,3 7 已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x，都有f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)，若f(0)＝2004，求f(2004) 4 解：因为f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1) 所以f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2) 两式相加得0＝f(x－1)＋f(x＋2) 即：f(x＋3)＝－f(x) ? f(x＋6)＝f(x) f(x)是以6为周期的周期函数 2004＝6×334? f(2004)＝f(0)＝2004 8 已知对于任意a，b?R，有f(a＋b)＋f(a－b)＝2f(a)f(b)，且f(x)?0 ?求证：f(x)是偶函数； ?若存在正整数m使得f(m)＝0，求满足f(x＋T)＝f(x)的一个T值(T?0) ?证明：令a＝b＝0得，f(0)＝1(f(0)＝0舍去) 又令a＝0，得f(b)＝f(－b)，即f(x)＝f(－x) 所以，f(x)为偶函数 ?令a＝x＋m，b＝m 得f(x＋2m)＋f(x)＝2f(x＋m)f(m)＝0 所以f(x＋2m)＝－f(x)于是f(x＋4m)＝f[(x＋2m)＋2m] ＝－f(x＋2m) ＝f(x) 即T＝4m(周期函数) 5