[笔记]“定区间动轴法”求区间最值

[笔记]“定区间动轴法”求区间最值 “定区间动轴法”求区间最值 所谓“定区间动轴法”，就是将自变量所在区间(或)标在数轴上，无论[,]ab(,)ab该区间是动的还是静的，根据运动的相对性，都将其看作“静止”的，然后分对称轴、xa,0 b??、三种情况进行讨论，特别地，如果二次函数图象开口向上求区间最大xxb,a00 ab，ab，值或二次函数图象开口向下求区间最小值时，只需分x,和?两种情况进行x0022讨论.这样让区间标在数轴上不动，而让二次函数图象的对称轴移动，分类方法非常明确、思路清晰、条理性强，这样可做到不重不漏，并且简捷易行. 1(条件中给出区间，直接采用“定区间动轴法”求区间最值 2例1已知，函数、示函数在区间上gt()ht()fx()[,1]tt，fxxxxR()43,,，，, 的最小值，最大值，求、表达式. gt()ht() :此属于区间最值问题，结合图形，将区间在数轴上相对固定，让对称[,1]tt，x,,2,,2tt，1,,，21t,2轴的区间内外移动，即分成;??;三种情况进[,1]tt，t ,2行讨论，结合图形便可轻松求出函数在区间上的最小值.而只需分?fx()[,1]tt， tt，，(1)tt，，(1),,2与两种情况讨论便可求出在区间上的最大值.fx()[,1]tt，22 22x,,2解:由，知图象关于对称，结合图象知，fxxxx()43(2)1,，，,，, 2,,2tt,,2当，即时，; gtfttt()()43,,，， t，1,3,2,2而当??，即??时，; gtf()(2)1,,,,tt ? ? xt，1 t2t，,,12t,,3当，即时，. gtfttt()(1)68,，,，， 2,ttt，，,,,,68,(,3) ,?. gtt()1, [3,2],,,,,, ,2ttt，，,,，,43,(2,), tt，，(1)52,2,当?，即?时，; htfttt()(1)68,，,，，t22 tt，，(1)52t,,,,2当，即时，. htfttt()()43,,，，22 ? ? ? 21t， x t，1t2 5,2ttt，，,,，,68,[,),,2?. ht(),,52,ttt，，,,,,43,(,),,2 ,,2tt，1,,，21t评注:本题采用了“定区间动轴法”， 分;??;三种情,2t tt，，(1)tt，，(1)况和?;两种情况进行讨论，使本来因分类讨论带来的繁琐、,2,,222 思维混乱，变得脉络清晰、思维流畅、条理性强，降低了分类讨论中因分类不清带来的难度.此法是解决区间最值的一种非常有效的方法.该法是数形结合是重要体现，是研究数学的一个重要手段，是解题的一个有效途径，用数形结合法解题，直观、便于发现问题，启发思考，有助于培养我们综合运用数学知识解决问题的能力.应用分类讨论思想的前提是:审题准确、切入方向正确、分类严谨.引起分类讨论的原因主要有:字母的符号、字母的大小、函数图象对称轴的位置等.有时分类讨论思想应用的很隐蔽，需要我们仔细发掘.在讨论时，要做到尽量简捷、不重不漏.当然，有时也可采用转化思想避开分类讨论，这需要有较强的转化能力与转化意识. 例2已知二次函数的定义域为R，且在处(R)取得最值，yfx,()f(1)2,xt,t, 2若为一次函数，且 ygx,()fxgxxx()()23，,，, (1)求的解析式 yfx,() ,1(2)若时，?恒成立，求的取值范围 x,,[1,2]fx()t ,1分析:(2)若时，?恒成立，条件的实质即为:当时x,,[1,2]fx()x,,[1,2]fx() ,1的最小值在于或等于，从而将问题归结为区间最值问题.作出函数的大致图象，借助函数图象的直观性让区间定，对称轴动，分三种情况进行讨论. 2a,1gx解:(1)设，?为一次函数，? fxaxtb()(),,，，， 22btt,,，，21又，?，?， f(1)2,(1)2,，,tb 2fxxtxt,,，，221? ，， ,1fx()(2)即? min 3t,,124，t,1,f(1),[()]fx,?当时，=?，得? tmin4 2,1,1213,13，,，，tt21[()]()fxft,?当??时，=?，得??ttmin t,23,1ft2421,,，[()]fx,?当时，?，得? t，，min 313,由?，?，?得:??. t 评注:给定自变量区间求解最值问题时，最重要的策略就是结合二次函数图象，利用对 称轴与区间的位置关系，可直观显示相应的最值. 2(通过化归转化将问题归结为区间最值问题，再采用“定区间动轴法”求解 2例3设函数. fxxx()45=-- k>2当时，求证:在区间上，的图像位于函数图像的上方.[1,5]-ykxk=+3fx() 分析:通过转化思想，将文字语言的图像位于函数图像的上方，转ykxk=+3fx() 2化为符号语言，当时恒成立.而当x?[1,5]gxkxxx()(3)(45)0=+--++> 2时，恒成立只需，所以，[()]0gx,x?[1,5]gxkxxx()(3)(45)0=+--++>min 本题的实质为区间最值问题. 2解:当时，. x?[1,5]fxxx()45=-++ 2 gxkxxx()(3)(45)=+--++ 2 =+-+-xkxk(4)(35) 22骣42036--+kkk?ç， =--x?ç?ç桫24 4-k-15,x，?<1. 又， ？k>22 4-k4-k26< kx=-?11? 当，即时，取， 22 2kk-+203612轾gx()=-=---k1064. ()min犏臌44 22?， ？16(10)64,?则. min 4-kk>6x=-120k><-1gx()?当，即时，取， ,. min2 k>2由 ?、?可知，当时，gx()0>，x?[1,5]. 因此，在区间[1,5]-上，ykx=+(3)的图像位于函数fx()图像的上方. k>2评注:因为条件的限制，降低了问题的难度，使讨论的情况减少.很多问题通过转 化思想都可以达到化生为熟、化未知为已知、化繁杂为简单的目的，体现了转化思想的重要 性.本题就是转化思想应用的一个典型，通过转化将本来抽象的问题归结到区间最值的求解， 让我们有一种豁然开朗的感觉. 2例4设为实数，记函数的最大值为( aga()fxaxxx()111,,，，，, (?)设，求的取值范围，并把表示为的函数，求txx,，，,11fx()mt()mt()tt和表达式及的取值范围( t (?)求. ga() 分析:本题看似与区间最值无关，但通过换元、转化思想，可将问题化归为区间最值. ？txx,，，,11解:(I)， 10，x?1,x?0,11??x?要使有意义，必须且，即( t 22？txt,，,,221240，，?，? ,, ，，22，?的取值范围是( t，， 122由?得， 11,,,xt2 11,,22，，t,22，?，( mtattatta,,，,，,1，，,,，，22,, 12，，t,22，gamtatta,，,(II)由题意知即为函数，的最大值(，，，，，，2 112ta,,,(0)mtatta,，,注意到直线是抛物线的对称轴，分以下几种情况讨，，a2论( ，，a,0t,22，ymt,(1)当时，函数，的图像是开口向上的抛物线的一段，由，，，， 1，，t,,,022，mtgama,,，22知在上单调递增，?( ，，，，，，，，a ，，a,0t,22，mtt,ga,2(2)当时，，，?( ，，，，，， ，，a,0t,22，ymt,(3)当时，函数，的图像是 ，，，， 开口向下的抛物线的一段( 12gam,,22t,,,(0,2)若，即a,,，则( ，，，，a2 12111,,若，即，则( t,,,[2,2]a,,,[,]gama,,,,,，，,,a22aa2,, 11,,若，即，则( gama,,，22t,,,，,2，a,,，0，，，，，，,,a2,, 1,aa，,,,20，，,2, 121,综上有 gaaa,,,,,，??，，，,222a, ,22.，a,,,2, 评注:此题也给我们启发:遇陌生或比较棘手的问题时，可采用化归、转化思想，将其转化为熟知的问题、简单的问题，从“数”方面难以入手时，可考虑借助形来说理. 2例5求函数的最值. yxpxq,，，sinsin 分析:由已知条件的形式特点，可采用配方法，从而将问题转化为二次函数区间最值问 sinx,11题，但要注意??的条件限制，在此条件限制下，其实质即为区间最值问题，采用“定”区间“动”轴法，结合图形便可求出函数在区间上的最值. fx()[1,1], 2pqp4,22解: yxpxqx,，，,，，sinsin(sin)24 2p4qp,p,1,2sinx,,12(1)若??，即?p?，则当时，y,;最大值在min224sin1x,sin1x,,或时取得. psin1x,,sin1x,,,,1(2)若，即，则当时，ypq,,，1;当时，p,2min2 ypq,，，1. max psin1x,sin1x,,,,1ypq,，，1(3)若，即，则当时，;当时，p,,2min2 ypq,,，1. max 如图所示: yyy ,1 1 1 O OO xxx 1 ,1,1 (1) (2) (3) 评注:数形结合是研究数学的一个重要手段，是解题的一个有效途径，用数形结合法解 题，直观、便于发现问题，启发思考，有助于培养我们综合运用数学知识解决问题的能力.