赋Orlicz范数的Musielak—Orlicz函数空间的强端点（可编辑）

赋Orlicz范数的Musielak—Orlicz函数空间的强端点（可编辑） 赋Orlicz范数的Musielak—Orlicz函数空间的强端点 第 卷 第 期 广东石油化工学院学报 . . , . 砧.年 月 赋范数的 ? 函数空间的强端点 唐献秀 ,林尤武 .广东石油化工学院理学院,广东茂名 .广西师范学院师院学院理科教学部,广西南宁 摘要:给出了 // ? // 函数空间中的强端点的充分必要条件。 关键词: / ? / 函数空间; / 范数;强端点 中图分类号: . 文献标识码: 文章编号: ?? ? 众所周知,端点在数学的某些分支中起到极其重要的作用,例如 定理, 积分示 定理,关于弱收敛的定理和 ? 定理都与端点有着密切的关系。凸性是 空间 几何学中的基本概念,具有鲜明的几何意义。在为数众多的各种凸性中,严格凸是其中最基本的一种凸 性 ,而端点却是严格凸性质的点态刻画。 一凸性在逼近论、控制论等数学分支中均有重要的应用。 和何仁义分别引入了 一严格凸和中点局部 一一致凸的概念,并讨论了它在逼近论中的应 用,而 一凸性与端点有着非常密切的关系。 空间的 一凸性, 一端点,强端点, 一强端点均已给 出 。。。本文将给出 ?函数空间中的强端点的充分必要条件。 预备知识 记 为 空间, 为 的对偶空间, 和 分别为 的单位球和单位球面。 定义 ? 称为端点是指若 , ,,蕴涵着 。若 上的每一点 都是端点,则称 是严格凸空间。 定义? ? 称为强端点是指若 : 警 , :,,,?且 : :,蕴 涵一。若 上每一点都是强端点,则称 是中点局部一致凸空间。 定义】设 ,?,/为无原子有限测度空间, , 是 × ,?一 ,? 的二元函数,并满 足:对任意的“? ,? , , 是 的/ 可测函数; 对? , . . , 是 的左连续凸函数; 对? ,口. . ,“, ,? ?,且存在“ ,使 ,?,则,“为 ? 啼 函数。记 为 一。。, ?的 可测函数,关于 的模定义为, 。 定义 :了,使得 ?关于 范数戈? : ?? 和 范数 。 ? 皆为 空间,称为 ? 函数空间,记为 ,。。定义 称 , 满足? 条件简记为 , ? :是指存在 ? 和 ,? ,即?。满足 ,? ? , 。 收稿日期: ? ? ;修回日期: ? ? 作者简介:唐献秀耷一 ,女,广西都安人,硕士研究生,主要从事泛函分析方向的研究。第 期 唐献秀等:赋 范数的 ? 函数空间的强端点记后也。,也 , 其中也。 : ,??, : ,后 ? 。 引理’ 是端点的充要条件是? 三 或对几乎所有的, : ;?对任意的 , 满 足? 且对几乎所有的 ? , ,都有 ;?日 : ? 隹 ,的 测度为零,其中 , ,‘ ?, 为所有定义 在 上,取值于 内的强 可测函数 的集合。 主要结论 定理 ?是强端点的充要条件为 是端点且 , ??:。 证明 必要性:强端点必是端点,故只需证 ,? ?? ,亦即需证当 , 仨?: 时, 。上没 有强端点。 由?。有‰,满足 二 后。“。由于 , ??品,易 知存在,使得 : ? ,。由于 , ‘ 甚? ,由文献 知,对任何实数 列 ????;? ??;存在 上的 可测非负函数列和?中两两不交的集 列 ,使得当,‘ 。时,有。 , ‘ ; , ‰? ,‰。其 中 为自然数列的一个子列,不妨设,取 的一列两两不交可测子集 且 ’ ,? 。 ? ? 一 则 。 , 品??肼。一 。 故 ?‘ 。又, 。 ..,麟?丧 .。 , 五 .『 , ?五 ? ., ,后。?’『 , 也.肘,. ,后‘?. ,? 品云肘,‰ : 品, 五 村 于是 ? ,从而。同理 。 . 。 ’? ?? 品 。但是。 ‰ 一’,’ .肘, ‘,? ?,‘ 。从而 一.? 。 .一 ?瓦 ,,, , ,, 这表明‘不是强端点。故必要性得证。 ,广东石油化工学院学报年 冗分住:议 肘 ,? ? ,‘是 ‘? 上骗点 土取 ,,耳满足 , , ??? ??? 需证姆 一 。 一 。由文献知,只需证 ::?具有等度绝对连续范数 且 依测度收敛于。取两正数列 :, 满足 去 , 击 ?‰ ,由文献 知 弱收敛于 且数集 : , 是有界的。 下证 :,具有等度绝对连续范数。若不然,有,使对每一自然数.『,存在, 以 及 满足 , “? 。因为‘具有绝对连续范数,则存在自然数?,当 且. 时, 有 ? 专。亦即 打一号。特别是,取 . . 时,则 ,当『 , ?时,有二 . 『 十? 五 丧 』 , 五 五 . 五 戈 , ; ? , 。 。 . 令广 。有 , ?? // ? 专。这样就得出矛盾。故 :,具有等 严 度绝对连续范数。 下证。 。事实上?击 后。后。 。 ? 了 , 南 。,, ’ 注意到 埘 一. 一 ,所以 一 ‰七 一 七 一 。于是 五 一 , ’ 一 。同样, 一品 。令 一?,从而由式 得 品?去 。?,即?品?去 后。? 品。 下证 一 依测度收敛于 。若 一 依测度收敛于 不成立,则存在 , 氏 ,/. :‰ 一?? 。对任意的 ? ,有 , ‘?, ? . , ? , ?』, 。其中 : 。故对任意的 ,存在 ,使 鲁。对任意的? ,有 : 一 ?。, ?, ? 鲁,从而有 , ? :一 ?。,‰ ?, 。取‘,,: 丝 ,对某一固定? 令 ‘ . 一 ? 。. ? ? ,则厂 ’