作用力和反作用力做功

作用力和反作用力做功 引言 牛顿第三运动定律告诉我们，作用力和反作用力是大小相等，方向相反的，在解决质点组动力学问时，经常要涉及到作用力和反作用力做功问题。根据牛顿第三定律知作用力和反作用力是大小相等、方向相反的，作用力和反作用力所做的功是不是总是大小相等、方向相反,代数和总是为零,作用力和反作用力做功及其代数和与参考系的选取有什么关系呢? 1 作用力与反作用力的做功并不一定是大小相等、方向相反 FF 在质点组内任选两个质点1和2,它们之间的作用力与反作用力为和，二质1221 rr点相对选定的参照系的位置矢量分别为和，如图1所示，二质点分别沿图1中的虚12 FF线轨迹运动，根据功的定义，和做功分别为 2112 WFdr,,WFdr,, 11212212,, F,,F在式中由于，作用力和反作用力作用于不同的质点，二质点沿不同的路径运1221 FF动，所以和所作用的质点的位移是相互独立的，因此尽管每时每刻作用力和反2112 F,,FFWWdr作用力大小相等，方向相反，，但和确不一定等值反号，只要与122112121 Fdr的夹角为锐角，与的夹角也为锐角，这对作用力与反作用力就可以同时做正功;212 同理若都为钝角，则都做负工，同时也会出现一个为零，即一个做功一个不做功的情况。 rdrdr将分解为与水平方向和垂直方向的二分位移和，力F只在平行的分位移dr12 rdrFF上起做功，如图b所示，力在方向上的投影为，于是做功 2r ˆˆ dAFrdrrFdr,,,()rr ˆr为上的单位矢量，由此式进一步表明二质点作用力和反作用力的做功之和决定于r F力和质点间相对距离的改变。元功的正负由和的正负决定，只有当二质点沿dAdrr 力的方向上无相对运动时，作用力和反作用力的和等于0～ 例，开普勒第三运动定律指出，行星绕太阳作椭圆运动，太阳位于椭圆的一个焦点上，若两行星在太空中作大小不等的椭圆运动，当他们分别由各自的远日点向近日点运动时，他们之间的万有引力分别与受力点的位移夹锐角，如图2 所示，所以这对作用力与反作用力同时做正功，当他们分别由近日点向远日点运动时，他们之间的万有引力和受力点的位移夹钝角，这时候作用力和反作用力做负工。 2 作用力与反作用的做功之和与选取的坐标无关 2.1 在 K 系中,作用力、反作用力做功的代数和 ,,,,,,,dA,dA，dA,F,dr，F,dr 12121212 FF,,由于 1221 dAFdrFdrFdrr,,,,,,,() 1211221212 rr,drdrr,,()rrr,,式中的是质点1相对于2的位置矢量，令，则表示质点1相121212对于质点2的元位移，则 dAFdr, 12 2.2 在 K′系中,作用力、反作用力做功的代数和 ''' dA,dA，dA,F,dr，F,dr12121212 FF,,由于 1221 '''''rr,rr, 由图可知，= ,rdAFdrr,,,'()12121212 'dAFdr,所以 由以上分析可知作用力和反作用力做功的代数和与坐标系选取无关。 12