一种改进的正弦波频率谱估计方法

一种改进的正弦波频率谱估计方法 一种改进的正弦波频率谱估计方法 第24卷第4期 2004年12月 西安工业学院 JOURNALOFXI'ANINSTITUTEOFTECHNOLOGY Vo1.24No.4 Dec.2004 文章编号:1000—5714(2004)04—0328—04 一 种改进的正弦波频率谱估计方法 何仁贵,黄登山,陈绍炜 西安710072) (西北工业大学电子信息学院, 摘要:当OVSS谱估计方法中构造的奇异矩阵的行数大于信号频率个数加1时,会产生虚假的正弦信号, 在实际应用时容易造成误判.本文通过修正OVSS谱估计式的分母,由原来单一的正交乘积,变为多个正交乘 积的加权求和得到了一种改进算法.改进算法能彻底消除伪峰,且性能稳定,分辨率高.仿真结果表明改进算 法整体上优于0VSS方法. 关键词:正交子空间;信号子空间;谱估计;0VSS 中图号:TN911.7文献标识码:A Amodifiedmethodtoestimatefrequencyofsinewave HERen—gui,HUANGDeng—shan,CHENShao-wei (SchoolofElectronic&Information,No~hwestemPolytechnicalUniversity.Xi'an71 0072,China) Abstract:Whenthenumberofrowsismorethanthenumberofsinewavesignalsadding1-thes pectralestimationmethod0VSS shallproducesomefalsesinewavesignals-whichcanbringerrorinpracticalapplications,By modifyingthedenominatorinthespec— tralestimationformulaof0VSS.changingthesingleorthgonalproductintoweightedsumofs everalorthogonalproducts.amodified algorithmisproposed.Themodifiedalgorithmcaneliminatethefalsepeakscompletely.Ithas steadyperformanceandhighresolu— tionratio.Theemulationresultsshowthatthemodifiedalgorithmisbetterthan0VSSinwhole. KeyWords:Orthogonalsubspace;Signalsubspace;Spectralestimation;OVSS 对于混有白噪声的正弦信号(设有K个复正弦信号)的频率估计和功率谱估计问 题,都是采用将(P+1) 维信号相关阵进行特征值分解(Eigenvaluedecomposition,EVD),得到一组相互正交 的特征矢量,从而形成 一 个向量空间.进一步该向量空间又可分成两个子空间,一个是由K个大特征值所对 应的K个特征矢量 张成的信号子空间,另一个则由(P+1一K)个特征值所对应的(P+1一K)个特征矢 量张成的噪声子空间 或正交子空间.基于信号子空间的频率和功率谱估计方法(如AR[,MV[]法等)具有 较好的统计稳定性; 基于正交子空间的频率和功率谱估计方法(如MUSIC]法等)具有更高的谱分辨率. 文献[4,5]提出了一 种新的正交矢量谱估计方法,称为OVSS法.该方法有很高的分辨率,在相同条件下 优于其他通用方 法J.但它的性能受到参数的影响,当OVSS谱估计方法中构造的奇异矩阵的行数 大于信号频率个数加1 时,会产生虚假的正弦信号,其产生的原因是:OVSS谱估计式的分母多项式的零点 中除了实际的正弦波 频率外,还存在寄生零点,从而形成了伪峰,这对实际应用很不利.为此,本文提出了 一种改进算法,该算法 对参数的变化不敏感,性能稳定,且抗噪能力强. 1OVSS方法 假设信号为K个复正弦波(在信号个数未知时可按照文献[6,7]提供的AIC准则和 MDL准则来估 收稿日期:2004—05—28 作者简介:何仁贵(1979一),男(汉族),西北工业大学硕士研究生 第4期何仁贵等:一种改进的正弦波频率谱估计方法329 计)JJt~复高斯白噪声,理论上信号的P×P维自相关阵为 R= r(0) r(1) r(P一1) r(1一P) r(2一P) r(0) K = ?pkUP(^)H(^)+J=R0+J(1) =1 式中:P为第k个正弦波的功率;为白噪声的方差. 【,P()=[1,e,…,eJ2,~(e-1)fk]丁(2) 式中:【,P()为第k个复正弦信号矢量,为第k个复正弦频率(k=1,2,3,…,K).R的特 征值/特征矢 量分解为: KP R=?(o+)l'll+?llll(3) i=1i=K+1 式中:0为Ro的K个非零特征值;=(o+)为R的主特征值,K+l=K+2:…=P:为噪声特 征值. 文献[5]已经证明 span{lll,H2,?一,HK}=span{Ue(f1),uP(),…,UP(_K)}(4) 而 ll【,P():0(=K+1,…,P;k:1,2,…,K)(5) 所以最大特征值对应的特征矢量ll可以写成信号矢量的线性和 lll=l"ll,"12,'.,"lPJ K = ?blkUP(^)(6)i=1 垒[(1),(2),…,(P)]丁 将它构成L×M阶矩阵 V= (1)(2) (Ks+1)(Ks+2) [(L一1)Ks+1] (M) (M+K5) [M+(L一1)Ks] (7) 式中:min(L,M)>K,1?K5?M,M+(L一1)K5?P,且均为整数,文献[5]证明了V 是一个奇异 矩阵,其秩恒等于信号个数,与信噪比(SNR)无关;V阵的零奇异值对应的右奇异矢 量与M维信号矢量 正交.由此可以用(8)式进行功率谱估计: 1 (厂):万(8)l0D^U^rl一 式中:?M为V阵最小奇异值对应的右奇异矢量;UM(厂)为信号矢量,其定义由(2) 式给出. 2OVSS存在的缺陷 令V阵为一个方阵,即L=M,则当L>K+1时,将有(L—K)个零奇异特征值,且其右奇异特征矢 量有L个元素.用(8)式进行谱估计的实质就是在(0,1)区间上搜索下列多项式的根: L — - 1 1 V(f)=~OM(k)exp(j2nkf)(9) = 0 式中:O)M(k)为O)M的元素;V(厂)为一个(L一1)阶的多项式,根据多项式理论,它应该有(L一1)个实根. 上面提到:V阵的零奇异值对应的右奇异矢量与M维信号矢量正交,所以K个信号频率都是上述多项式 的实根.这样就还有(L—K一1)个与信号频率无关的实根,文献[6]将这类实根称为"寄生零点"(spi.s )2 一;, 一 P r( r 330西安工业学院第24卷 erOs).这时如果用(8)式进行谱估计,将会产生(L—K—1)个虚假的正弦信号(伪峰).因此,当L>K+l 时(8)式不再适用.文献[5]采用多次平均减少或去掉伪峰,但效果不太理想. 3OVSS方法的改进 当L>K+1时,将有(L—K)个零奇异特征值,对应(L—K)个右奇异特征矢量,将它们分别代入 (9)式将产生(L—K)个不同系数的同阶次多项式.由于前面提到的正交关系,这些多项式将有K个相同 的实根,对应K个信号频率,其余(L—K—1)个实根则各不相同. 由于信号矢量和所有零奇异值对应的右奇异矢量都是正交的,那么和它们的线性组合也应该是正交 的,即 L (?a)UL()=0(10) 式中:i=l,2,…,K;为信号频率.那么 LL uLT()(?a?)UL():?aI?uL()I=0(11) 式中:a取正实数.所以 1 P(厂)=————?_——一(12) ?I?UL(厂)I 在厂:处应是无穷大,但由于相关阵是估计出来的,因此P()为有限值,在图形上表现为尖峰.这些 峰值对应的频率就是估计出来的正弦信号频率.而在厂为多余的"寄生零点"处的时候,由于在(12)式的 分母中只有一个求和项为零(即产生该零点的那个多项式为零),而其余项都不为零,所以求和后分母不为 零,伪峰不再存在.因此用(12)式代替(8)式进行功率谱估计,其他步骤不变,将适合L>K+l这一更为 普遍的情况,且抗噪声能力和稳定性要优于OVSS法. 4仿真结果 以两个复正弦波加自噪声进行计算机仿真,设信号模型为: (n)=-+nf2+w(n),(n:0,l,…,N—1) 式中:fl,f2是两个数字归一化正弦波频率;W(n)为均值为零,方差为的复高斯噪声;决定信噪比 (SNR)的大小,N为取样数据长度.所有模拟结果,功率谱轴采用归一化功率谱密度(P(. 厂)),用分贝 (dB)表示.并令:K=2,L=M,Ks:2,N=25,fl=0.2,厂2=0.23.为方便计,当L=M=时,我们称 OVSS法为OVSS(/T/)法,称改进型OVSS法(ModifiedOVSS)为MOVSS(/T/)法,且口^均取1. 归一化频率/厂 图1高阶OVSS方法(SNR=oo) Fig.1High—ranksOVSSmethod(SNR=oo) 归一化频率/厂 图25阶OVSS方法与MOVSS(SNR=10dB) Fig.25一ranksOVSSandMOVSSmethod(SNR=10dB) 第4期何仁贵等:一种改进的正弦波频率谱估计方法331 号0 - 10 稍-20 差 艇-30 . 40 00.20.40.60.81.0 归一化频率/厂 图310次平均(SNR=OdB) Fig.3Theaverageof10times(SNR=0dB) 归一化频率/厂 图410次平均后谱峰附近的放大图 Fig.4Magnifiedfigureof10timesroundthe spectralpeaksoftheaverage 图1是在无噪声情况下,OVSS法当L分别为3,4,5时所作的谱估计曲线.从图中不难看出,伪峰的 个数随着L的增大而增加.且伪峰的水平很高,无法准确判断真实的正弦波频率.伪峰个数为L—K一1. 图2是在SNR:10dB情况下所作的两种方法的比较图,L为5.从图中可以看出,MOVSS(5)有着非 常平坦的旁瓣,伪峰被消除.而oVSS(5)中存在伪峰,且电平相当高. 图3是在SNR=0dB情况下所作的10次试验的平均,M为6(阶数选为6是为了提高抗噪能力).从 中可看出,MoVSS(6)法的谱估计曲线的谱峰位置准确,且没有伪峰,旁瓣几乎是一条直线.而OVSS(6) 法的谱曲线在谱峰附近有很多尖峰. 图4为放大后谱峰附近的情形.这就给判断真实信号的频率带来了困难,且旁瓣起伏非常剧烈.这是 因为由于噪声的影响,每个单次试验产生的伪峰位置不一,且主瓣谱峰也因噪声的影响而产生或左或右的 偏移,从而在取平均后就产生了上述现象.这就说明改进后的算法有更好的统计稳定性和抗噪声能力. 5结论 本文从理论上证明了OVSS方法在估计正弦波信号频率时,在L>K+1这一更为普遍的情况下.不 可避免的会产生高强度的虚假信号频率(伪峰).并OVSS针对方法所存在的缺陷,提出了改进算法,仿真 结果表明改进型OVSS法有更好的抗噪能力和统计稳定性,是一种更为理想的现代功率谱估计方法. 参考文献: [1]刘军,戴宪华.改进的AR模型谱估计法提取载波频率[J].汕头大学(自然科学版),2002,17(3):53 [2]董臻,朱国富,梁甸农,等.一种修正极小方差谱估计算法[J].系统与电子技术,2002,24(1):89 l3JSchmidtR0.Multipleemitterkx~ationandsignalparameterestimation[J].IEEETrans.A ntennasPropag.1986,34(March):276 [4]黄登山,保铮.系数矩阵正交矢量谱估计[J].电子科学学刊,1988,10(4):289 [5]黄登山,王顶.一种新的正弦波频率估计方法研究[J].电子与信息,2002,24(12):1857 [6]胡广书.数字信号处理——理论,算法与实现[M].北京:清华大学出版社.1997 [7][美]s.M.凯依着,黄建国译.现代谱估计原理与应用[M].北京:科学出版社,1994 (责任编辑,校对魏明明)