小波加权残值法在斜板后屈曲上的应用

小波加权残值法在斜板后屈曲上的应用 小波加权残值法在斜板后屈曲上的应用 第25卷第4期 2008年12月 应用力学 CHINESEJOURNALOFAPPLIEDMECHANICS Vo1.25NO.4 Dec.2008 文章编号:1000—4939(2008)04—0673—05 小波加权残值法在斜板后屈曲上的应用 纪冬梅胡毓仁 (上海交通大学200090上海)(上海电力学院200030上海) 摘要:将斜板在大挠度理论下的平衡方程和变形协调方程转化为斜坐标系下的达式,并无量纲 化,对于四边固支斜板,选用尺度小于1的二维bior3.1重构尺度函数与小波作试函数,满足板在 平面外的几何与自然边界条件,利用小波一Galerkin法将板的无量纲平衡控制方程与变形协调方程 转化为两个非线性方程组,从而将后屈曲路径的求解转化为两非线性方程组的求解问.以栽荷 作为迭代步长,采用Newton—Raphson迭代算法求得承受单向压缩四边固支斜板在不同边长比,不 同斜角下的后屈曲平衡路径及四级渐近解. 关键词:小波;加权残值法;斜板;固支;后屈曲 中图分类号:U661.4文献标识码:A 1引言 船体结构除了矩形板之外还有各种杂形板,斜 形板是杂形板中的一种,而且近年来斜板,加肋斜板 已大量应用于桥梁及建筑方面,在复合材料的研究 中,有许多问题也可化成斜板来求解,因此,对斜板 进行弯曲,屈曲及后屈曲分析具有重要的理论和现 实意义,许多学者和专家在这方面做过大量的工作. 由于斜板的非正交性,使得在给定边界条件下利用 解析方法分析斜板比较困难. 目前,对于斜板结构的弯曲和屈曲分析有一定 的研究基础.李国豪于1958年首次提出斜交异性 板的弯曲理论…,林元培,程为和于1980年在李国 豪所提出理论和弯曲拉伸耦合效应的基础上进一步 完善了斜交构造异性斜板的弯曲理论[2].在数值计 算方面,多数的研究往往是对各向同性斜板.这些 研究方法主要有斜坐标下的三角级数解?,能量 法[4],里兹法,差分法和有限元法[~-93等.为了更好 地描述钝角附近的应力情况,也有采用Williams提 出的挠度解作为试函数,然后用最小二乘法求解. 李国豪(1997)(提出各向异性斜板弯曲的平衡微 分方程,并提出了实用的近似解方法.Azhariu 等[1讨论了四边简支斜板和梯形板的屈曲问题. 本文将直角坐标转化为斜坐标,采用Oalerkin 法,以小波作试函数,将斜板的后屈曲问题由解两个 偏微分方程组转化成求非线性方程组的解.通过计 算给出斜板在不同边长比与不同斜角下的后屈曲四 级渐近解. 图1承受双向压缩的斜板 *基金项目:国家自然科学基金(50279020)来稿日期:2008—01—13修回日期:2008 —06—06 第一作者简介:纪冬梅?女,1977年生,博士,上海交通大学(上海电力学院能源与环 境工程学院);研究方向——船舶及海洋结构工程力 学.E-mail:jdm@shiep.edu.Cn 应用力学第25卷 2小波在斜板后屈曲上的应用 由Von—Karman大谠度万崔出发,引入局邵坐 标系,令一z—yctgO,)7一y/sinO,推导出在斜 坐标系下,基于大挠度理论斜板的平衡方程与变形 协调方程为 _4cO+ 州 34 ~ w)+2(1+2cos20)崭+ 一 h n 2c等等糍+等等 (1) 筹.(嵩+崭)+2(1+2c研a4F+ o2吲_F一L32w](2) 其中:",b分别为斜板的长度,宽度;0为斜板的斜角;^ 为斜板的厚度;D为斜板的弯曲刚度;训为斜板的变 形挠度;F为应力函数.对于四边固支双向压缩的斜 板,如图1所示,P,分别为22,Y方向的压缩载荷, 令a—p/,对于单向压缩载荷系数a一0. 对于,7—0和叩一b边:面外边界条件为挠度7.2J — O,斜率一O,即一c0+一O;面内dV竹 边界条件为O2F一0 , J-a矗a2F0妇一一pn,即.芏03d工' _ctg 警+』haa2Fsin0".一g+——一u'jad一一". 对于一0,和一a边:面外边界条件为挠度训 一0,斜率—3w+一in0一o0 ZdV _O,即筹--cos0-~啊0.面内边界条件为3x3y一 .,筹d一--ctg0警+一., 3ZF一 2ctg0aZF+等一一. 为了将平衡方程,变形协调方程及边界条件无 量纲化,假设 ,{一+L,一b+L,一_a00,n?' 一 南,一哪b2P.r,一E辫h 其中:It,L.]是后面所选取试函数的支撑区间,L 是支撑区间的长度,对于bior3.1小波来说,其支撑 区间为[O,3],区间的长度为3.式(1),式(2)及边界 条件可以无量纲化为 挚--4cos0(瞎+崭)+2(1+2cod0)? 崭+04W一sin20(誓雾一 z 器鋈+孥等警--4cos0(p蔫+十十 崭)十2(1+2co)y研04F+筹一 sin.)2_等等](4) 对于一L和r,/一Lz有 一0,一c咖器+卢c)W—o, -ctg 雾+蔫一.,』L警d享一一 (5a) 对于季一L和季一L.有 .,筹一口鬻_O'_ctg警+ 簇_o, 警一2g荔+雾一一 (5b) 假设挠度与应力函数的表达式为 ,. 叫一ajq~i(,)(6a) . N 一 軎(c+c罩.)+?(;,)(6b) 其中:n,,6J,c,c为待定系数;仍(;,i)为选取的试 函数,由小波函数构造;N…为试函数的个数.对于 试函数的构造,先从一维尺度函数与小波函数讲起, 一 维尺度函数与小波函数是由母尺度函数与母小波 函数通过在支撑区间内伸缩,平移得到.对于尺度小 于1的尺度函数或小波函数,也就是压缩小波,其支 撑区间为母小波支撑区间的2倍(2是该压缩小波 的尺度,值小于1).而现在所采用的试函数是在母 小波支撑区间的2倍以外的区间均用该压缩小波 平移一定的步长来定义,以尺度为2的bior3.1小 波为例说明如下 9(2.z)一(2.)+(2一3)+(2X一6)+ (2.,9)(7) 式中与小波函数.而式(6a),式(6b)中的二维试函 数由一维试函数构造得到 9(x,)一?9(2x)9(2Jy)(8)i.J=0 该试函数满足斜板在平面外的几何边界条件. 为了便于表达,在以后的叙述中,用,F叩 第4期纪冬梅,等:小波加权残值法在斜板后屈曲上的应用675 代替,,j,.将式(6b)代人式(5a),式(5b)的最 后一项,得 :一 警biA~+N一篓c, — sin0p. ~ 一— cod0 f(9a)L.… 一 1 . 2biD一(9b) 其中 A,一L2 , 讲1,Lg d,一I『.ldr/,LgBjL1A,一}讲d,一J.}l 一 j仍]8=LI,Ladr],D,一jly=LI,L2d 下标中的逗号表示偏导数,比如()一a()/aS等. 由式(9a),式(9b)可以得到系数C—C各自与b的 关系.将式(6)代人式(3),式(4),式(5)的前三项, 利用Galerkin法,求出式(3)的残差和试函数的积 在板内积分,式(5a)式(5b)的前三项残差和试函数 的积在边界上积分,并令两者之和为0,同样地,令 式(4)的残差和试函数的积在板内积分为0,其中利 用式(9a),式(9b)将C,C分别用b,来表示 R1+R一0(10a) R2一0(10b) 其中 一一 4,4..a;DJ__1JJ 2J臼2(1十2cos),2+.]1dA一 薹--co泖sz0A+11h;i,:… 舭一 铷舭cdA+ 铷A)一 ),sin0E?",.(仍.,一2仍却+111,21, J2,28-- i 小27D如)dA+ 蒌,c一sj,N , 尺一?n.(仍+m—pcos0~川)I.2dr/+ ,g+L'd十 (一cosz+1,L2 jL1(L2一ctgze+)r/=L,La R一?6Jll[仍一4osa一4J93cosajD8+ 2(14-2cos.0)pj, 2牡+]dA— N?^um^ sin0??(c』".I】(仍却一访.2舻2)dAJ11iz1 令 E1(,)一[I[仍,40s印口—4/7cos~J.107+ 2(1+2cos)仍.2牡+仍]dA, E.(,(_,,1)N…+):仍.,.dA十 A一一ch~oidA+ 铷A, 易(,l一1)Nls唧+J2)一『l(.2聊.,2一2.1日枷+ 1,272e一 手2D)p;dA, E(,j-)一lI[..27一(acos一sin)m]dA, E5(i,j.)=:=l,.(+仍.e—flcos0~M)lL.L.d+ l,(一cos+M)J一L.L.d, (,):J_:(,ctg+8)l.dr/+ 一 ct卿+Iq~L1,L2 E(,(一1)N+.)一?(钾一 1mj2,2r/)似dA 将方程组转换成矩阵的表达形式,如下所示 (E1+E5)A+E6B一),sinO(E2+E3)C+ EA—o(11a) E1B—sinOED一0(11b) 其中 A::=[铂,,…,"],B=[6,62,…,], C== [61"1,bl(22,…,blaN…,…,bNal,bNa2,…, bu… ‰b], D:= La1"l'口l盘z,…,以1aN'…,(ANs啪 口1(AN sum 2,…, a,N … aN … ] N为所选取的试函数的个数.至此将斜板后屈曲的 求解转化成解非线性方程式(1la)和式(1lb),首先求 h '6.?? 676应用力学第25卷 得斜板的临界屈曲载荷P;然后将B通过式(11b)由 A来表示,c,D均用A来表示,这样方程式(1la)中的 待定系数为A和P,;接着初始化系数A,将无量纲载 荷P分为多个载荷水平.沈惠申在文献[12]提到,在 后屈曲载荷小于3倍屈曲载荷的后屈曲范围内,薄板 屈曲模态保持不变.所以在迭代过程取无量纲载荷范 围为,,3p一].当p?p?1.1时载荷步取得 稍密,增量步为o.01p;当1.1p<P<3时载 荷步取得较疏,增量步为0.1p.在每个载荷水平上, 利用Newton—Raphson迭代算法,基于最小二乘法得 到方程式(9a)待定系数A的近似解,将近似解代人 式(6a)得到矩形板的最大挠度,从而得到P与最大 挠度之间的关系.以上计算过程利用Mat|ab来计算, Matlab优点之一在于矩阵运算,用A来表示曰,c,D通 过矩阵运算很容易实现. 表1受单向压缩四边固支斜板的后屈曲平衡方程 0口后屈曲平衡方程 1.o 1.5 1.75 90.2.o 2.25 2.5 声/P=1.0005+0.1734(/h"一0.0026(/h) /:0.9930+0.2095(zt4n/h).+0.0408(w,,,/h) p/一0.9865+0.2485(t/h)+o.0101(/h) /=0.9883+0.2338(w.:/h).+o.oo26(/h) p/=0.9959+0.1942(wm/h)+0.O023(w,Jh) 声/,=0.9989+0.1663(w.,/^)+0.0006(/10 1.0 1.25 1.5 1.75 75.2.0 2.25 2.5 2.75 声/P-一1.O2+0.1647(t/h)一o.0037(/h) p/=1.0209+0.2051(/h)一0.0158(w.,/h) p/加一1.0108+0.1534(~.1h)+0.0370(w,n/h) /:1.0069+0.1859(w~/t2).+0.0151(/h) /P一1.0084+0.2o64(ze~/h).+o.oo05(w~/h) /一1.0209+0.1796(/h)一0.0001(/h) /=1.0301+0.1582(wm/h).一0.0012(w,./h) p/一1.0365+0.1322(~=/h)一0.O007(zv,./h) 1_O 1.25 1.5 1.75 60.2.0 2.25 2.5 2.75 声/=1.0566+0.12(m,./h).一0.O016(w~/h) 户/=1.055+0.1805(//2).一0.0065(/h) 声/:1.0457+0.1797(./h).,0.0246(/h) /=1.0334+0.1461(/矗).一0.O009(w~/h) /P=1.0464+0.1421(/h).一0.O012(wJh) 声/Po-=1.0557+0.1372(Hk/^)一0.O016(w,,,/h) /P一1.0609+0.1423(v-~/h),0.0034(w../h) /一I.0682+0.1461(/h).一o.0049(w~/h) 1.0 1.25 1.5 1.75 45.2.0 2.25 2.5 2.75 户/=1.0566+0.12(戡k/^).一0.O016(w~Ih) p一1.0728+0.1294(v_~,/h)一0.0014(w,./h) P/P.=1.1016+0.3529(w~/h).一0.0495(w../h) 声/=1.0374+0.1316(Wm/h).+0.O017(~./h) = 1.0476+0.1384(w~/h)一0.O006(w.,/h) /P一1.0542+0.143l(/h)一o,0025(t‰/^) p/一l'0730+0.1537(v4./h)一0.0031(/h) p/一1.0623+0.1645(w~/h)2—0.O052(w~/h) 其中:w为斜板后屈曲过程中最大的挠度. 3计算结果 根据前述的算法,本文用小波bior3.1作试函 数计算四边固支单向压缩斜板的后屈曲行为,即a 一0时四边固支斜板的后屈曲行为.图2,表1给出 四边固支斜板在斜角为9O.,75.,6O.,45.时的后屈 曲路径及四级渐近解.到目前为止,国内外关于斜 板后屈曲的文献极少,经过检索,只找到2篇斜板热 后屈曲方面的文献. 2 18 16 14 b 12 08 o6 一口=1o.a=o .. l5ce=o.. 卢=i75,0 ,f7毒225,a=o . /3=25,a=o--尸=1】0599I' biol3.I参?i《.. O —.-—. , 卜.巳曩函 , 聋f辨, 24 2,2 2 I8 6 I4 12 1 08 O6 w}h 图2(c) 第4期纪冬梅,等:小波加权残值法在斜板后屈曲上的应用677 O 0 一肛l0, . +I25.乜=0. — 0=15口:0 — I75.=o.. 哥0=20.删 —0=225.crY)一 斗0=25.? … ? '- 斗.0=275.cFO一 . 撩}工..0=45n.尸=3I66.. bior31 . ..Fr—巨茑—二裔__?T一 W|h 2(d) 图2受单向压缩固支斜板的后屈曲平衡路径 4结论 本文从Von—Kdrman大挠度方程出发,以小波 作试函数,利用小波一Galerkin法研究了四边固支斜 板的后屈曲性能,经过计算给出不同边长比,不同斜 角下的后屈曲平衡路径及四级渐近解.从而表明小 波在斜板的力学行为研究上有一定的应用价值. 参考文献 E1]李国豪.斜交各向异性板弯曲理论及其对于斜桥的应用EJ].力 学,1958,2(1):77—88. [2]林元培,程为和.斜交构造异性板的弯曲理论及其在斜桥上的 应用[J].上海力学,1980,2(1):1-16. [33钱博.斜形板的解析方法[J].应用力学,1984,1(2):63— 75. E4]MuhammadT,SinghAV.Ap-typesolutionforthebending ofrectangular,circular,ellipticandskewplates[J].Interna— tionalJournalofSolidsandStructures,2004,41:3977-3997. [5]王荣辉,等.斜形板结构计算的平行四边形板块有限单元法 [J].华中理工大学.1999,27(9):7-9. [6]王荣辉,等.斜交板梁桥的有限单元算法[J].力学与实践, 2001,23(5):28-31. [7]王荣辉.杆,板,壳结构计算理论及应用[M].北京:中国铁道出 版社,1999.166-176. [83张充满,等.连续铰接斜板桥的解析方法[J].工程力学:增刊, 1995,9:1634—1638. [9]王磊.平行四边形板弯曲问题的康托洛维奇法[J].湖南大学学 报,1983,10(4):36—47. 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