求导法则

求导法则 第三节 求导法则 只有非常简单的函数的导数可以由定义直接求出，本节将给出求导的一些方法以求出更 复杂函数的导数。 一、和函数的导数 f(x),u(x)，v(x)u(x)v(x)f(x) 定理5.2 设，、在点处都可导，则在点处可xx导(且 ,,,，，u(x)，v(x),u(x)，v(x)( 证 f(t),f(x)u(t)，v(t),u(x)，v(x)，，,f(x),lim,limt,xt,xt,xt,x u(t),u(x)v(t),v(x),lim，lim t,xt,xt,xt,x ,,,u(x)，v(x) 类似可以证明 ,,,，，u(x),v(x),u(x),v(x)( 二、倒函数的导数 ,,,,1u(x)1,,u(x)定理5.3 设在点有导数且不取零值，则在可导，且( ,,xx2,,u(x)u(x)u(x),, 11,,,,,11u(t)u(x)u(x)u(t)u(x),,,,limlim 证 ( ,,,,,2,,t,xt,xu(x)txu(x)u(t)tx,,u(x),, ,1cosxsinx，，,,，，于是 secx,(),,,,secx,tanx( 22cosxcosx，，cosx ,，，cscx,,cscx,cotx类似可以求得( 三、乘积的导数 u(x)v(x)f(x),u(x)v(x)定理5.4 设、在点处都可导，则在点处可导，且 xx ,,,，，u(x)v(x),u(x)v(x)，u(x)v(x) 证 u(t)v(t),u(x)v(x),u(x)v(x),lim，，t,xt,x ，，，，u(t),u(x)vtu(x)(v(t),v(x)),lim，lim t,xt,xt,xt,x ,,,u(x)v(x)，u(x)v(x) ,,,xxxxx于是 ( ，，，，，，esinx,esinx，esinx,esinx，ecosx ,,，，v(x),ccu(x),cu(x)特别地，当时，有(即求导数时，常数与函数乘积的导数， 等于常数与函数导数的乘积( 四、商的导数 ux，，u(x)v(x)、在点处都可导，则f，，x,在点处可导;且 定理5.5 设xx，，vx ,,,,,u(x)ux)v(x),u(x)v(x),, ,2,,v(x)v(x),, 证 ,,,,,,u(x)1,,,,,u(x),,,,v(x)v(x),,,, ,,,11,,,,u(x)，u(x),, v(x)v(x),, ,1v(x),,u(x),u(x)2v(x)v(x) ,,u(x)v(x),u(x)v(x),2v(x) 于是我们有 ,,,sinxsinxcosx,sinxcosx，，，，,,,tanx,,，，,,2cosxcosx,, 22cosx，sinx12,,,secx22cosxcosx ,2，，cotx,,cscx类似可以求得( 五、反函数的导数 'y,f(x)定理5.6 设在处的某个邻域中单调可导，，其反函数为xf(x),0 1,x,,(y)x,,(y)(y),,，则在点可导并且不为零，且有( y,f(x) ,y,y,f(x),x,0fx,证 我们知道，由于单调可导，故连续，当时有()lim,x,0,x ,y,0(所以 1,fx,， ()lim,y,0,x ,y ,x,f(x)由于存在，所以上式右边的极限一定存在，即存在且不为零，即lim,y,0,y 1,,,(y),0且f(x),( ,,(y) 1,,x,,(y)f(x)类似地，如果在点可导，且不为零，则存在，且(y),( ,y,f(x) 1,,cosy,y,arcsinxx,siny因此，对于，有，，此时(故 y,[,,]2221,x 111,arcsinx,,,( ，，2,cosy1,x，，siny 同样我们可以得到 1,，，arccosx,, ( 21,x y,arctanx,x,tany对于，则 1111,arctanx,,,,( ，，222,secy1，tany1，x，，tany 同理， 1,arccotx,,( ，，21，x 六、复合函数的导数 u,g(x)y,f(u)定理5.7 设函数在可导，函数在可导，则复x,xu,u,g(x)000 y,f(g(x))合函数在可导，并且 x,x0 ',,,,( [f(g(x))],f(u),g(x),f(g(x)),g(x)0000x,x0 即 dydydu ,,dxdudxx,xu,ux,x000 y,f(u)u,g(x)证 因为函数在可导，在可导，我们有 u,u,g(x)x,x000 ,y,u'' lim,f(u), lim,f(x)00,u,,u,00,u,x,y,u''(当,u,0时，定义;当,x,0时，定义令,,,f(u), ,,,f(x),,010201,u,x lim,,0,lim,,0)，显然有。于是 ,,0122,u,,x,00 '' ,y,f(u),u，,,u, ,u,g(x),x，,,x0102 '' ,y,[f(u)，,][g(x)，,],x0102 因此 ,y'' ,[f(u)，,][g(x)，,]0102,x lim,u,0u,g(x)由于函数在可导，所以，于是 x,x0,x,0 dy,y'''' ,lim,[f(u)，lim,][g(x)，lim,],f(u)g(x)010200,x,,u,,x,000dx,xx,x0 复合函数的求导法则可以写成 dydydu ,dxdudx 于是，我们称此法则为链式法则。 ,例5.10 求幂函数的导数( y,x(x,0) ,xu,,,,ln,,1,解 (x),(e),，，e|,u(x),,xux,ln, y,ln|x|例5.11 求的导数( 1,,x,0ln|x|,lnx,解 当时， ，，，，x 11,,,x,0xuux当时，( ，，，，ln||,ln|,(),|,(,1),u,,xu,,xux 1,于是ln|x|, ，，x y,lnsinx例5.12 求的导数( 1cosx,,,解 ( ，，，，lnsinx,lnu|,u(x),|,cosx,,cotxu,sinxu,sinxusinx 1sin1，xy,e例5.13 求的导数( 11u,sin,v,解 令，则 1，x1，x ,,111,1,,,,,1sin,sinv,cos,，，( ,,,,v,2，x11，x1，x1，x，，1，x,,,,所以 ,,1sin,,,1,,u1，x,,,,,,sinyee，，,,,,11，x,,u,sin,,1，x 1sin1,11，x,e,cos,( 21，x，，1，x 1sin111，x,,cose21，x，，1，x v(x)u(x)v(x)(a,b)u(x),0例5.14 设函数和是上的可导函数，，则函数y,u(x) ,y也可导(并求( v(x)解 ，两边取对数，得到 y,u(x) lny,v(x)lnu(x)， lnu(x)lnyv(x)(a,b)由于、都是上的可导函数，所以也可导( 1,,,，，lny,v(x)lnu(x)，v(x)u(x)( u(x) 即 11,,,y,v(x)lnu(x)，v(x)u(x)( yu(x) 所以 ,,1,,,,,,()ln()，()()yyvxuxvxux,,()ux,, ,,1v(x),,,,,()()ln()，()()uxvxuxvxux,,()ux,, sinx例5.15 求的导数( ，，y,1，2x lny,sinxln(1，2x)解 ( 两边对求导，得到 x , y2sinx,cosx,ln(1，2x)， y1，2x 2sinx，，sinx,(12)cosln(12)( y,，xx，x，,,12，x，，这种方法叫做对数求导法( ,,这里可以证明，对于任何的实数，时， y,x ,,,1,,( y,(x),,x ,y,lny,,lnx事实上，，即有，所以 ,yx ,,,,,1,( y,y,,x,,xxx 注意到上述方法得到的结果和我们在例5.10 中得到的结果是一样的。我们相应地可以 把例1所用方法称为指数求导法。 y,f(u(v(x)))复合函数的导数也可以记为 dfdfdudv,,,( dxdudvdx 111342，，y,1，2x(5x，2)(6x,1)作为简单的应用，函数的导数计算如下: 111 ln|y|,ln|1，2x|，ln|5x,2|，ln|6x,1|234 两边对求导，得到 x ,y111111,,,,(1，2x)，(5x，2)，(6x,1)y21，2x35x，246x,1 15131,，，1，2x35x，226x,1 所以 11115131,,34,2yxxx( ，，,1，2(5，2)(6,1)，，,,xxx1，235，226,1,,七、导数公式 下面我们列出基本初等函数的导数公式 '1) (c为常数); (c),0, ,',,12) ; (x),,x '3) ; (sinx),cosx '4) ; (cosx),,sinx '25) ; (tanx),secx '26) ; (cotx),,cscx '7) (secx),tanxsecx; '8) (cscx),,cotxcscx; 1'(arcsinx),9) ; 21,x 1'(arccosx),,10) ; 21,x 1'(arctanx),11) ; 21，x 1'(arccotx),,12) ; 21，x x'xx'x13) (a),alna，(a,0,a,1)(e),e特别，; 11''(ln|x|)14) ， (log|x|),,(a,0,a,1),a特别，; xxlna '15) (shx),chx '16) (chx),shx '217) (thx),sechx '218) (cthx),,cschx 11',(shx),19) 21，x 11',(chx),20) 2x,1 11'1',,(thx),(cthx),21) 21,x 八、函数的高阶导数 y,f(x)n一个函数的导数仍然是一个函数。于是，我们还可以对其求导，我们记的 nndfdyn()(n)y(x),,f(x)阶导数为(或) nndxdx 1(n)(n)(n)(n)n,N例5.16 设，求( ，，，，sinx,cosx,，，(),ln(1，x)1，x 解 (,) ,,，，sinx,cosx,sin(x，)2, ,,(sinx),,sinx,sin(x，,2)2, ,,,(sinx),,cosx,sin(x，,3) 2,(4)(sinx),sinx,sin(x，,4)2 ...........,..................... ,(n)，，sinx,sin(x，,n)2(,) ,,,,,(cosx),(sin(x，)),sin(x，，)222 ,,,(n)(n)，，cosx,(sin(x，)),sin(x，,n，)222 (,) 11,(),,21，x(1，x) 12,,(),31，x(1，x) , ,,12,2,3,,,,,(),,34,,1，x(1，x)(1，x),, 1(n,1)～()nn(),(,1)n1，x(1，x)(,) 1,ln(1，x),， ，，1，x 1(n,2)!(n)(n,1)n,1(ln(1，x)),(),(,1)( n,11，x(1，x)九、乘积函数的高阶导数 (n)u(x),v(x)设都有阶导数，求( ，，nu(x)v(x) ,,,，，u(x)v(x),u(x)v(x)，u(x)v(x)则 ， ,,,,,,,，，u(x)v(x),u(x)v(x)，2u(x)v(x)，u(x)v(x)， 用归纳法可以证明 (n)12(n)(n,1)(n,2)(n),,,，，u(x)v(x),u(x)v(x)，Cu(x)v(x)，Cu(x)v(x)，......，u(x)v(x)nn 这个公式叫做Leibniz公式( 2xxe100例5.17 求函数的阶导数( (n)xx，，e,e解 因为，，所以 ，，n,N ,,(100)(100)(99)(98)122xx2x2x2xe,ex，Cex，Cex，，，，，，，，，，，，100100 100,992xxx,xe，200xe，2e 2!2x,(x，200x，9900)e 十、多元函数的偏导数 类似一元函数，多元函数也有一阶偏导数和高阶偏导数。 22xy例5.18 求函数的一阶偏导数。 z,x，xy，ye ,z,z3xy2xy解 ,2x，y，ye, ,x，(2y，xy)e,x,y ,f(x,y),,f(x,y),,z,f(x,y)函数的偏导数关于，的偏导数分别为和xy,,,x,x,x,, 22,f(x,y),f(x,y),,f(x,y),,,,,,(分别记为和，或者记为和，后f(x,y)f(x,y),,2xy2x,x,y,y,x,x,, ,,,,,,f(x,y),,f(x,y)z,f(x,y),,,,者称为的混合偏导数(同样可以定义和，记为,,,,,y,y,x,y,,,, ,,,,,,f(x,y)z,f(x,y)f(x,y)和(这些都称为的二阶偏导数(也称为的f(x,y)f(x,y)2yxyxy 混合偏导数( 我们还可以进一步定义阶偏导数，例如 n nn,1nn,1nn,1,,,,,,(,)(,)(,)(,)(,)(,),fxy,,fxy,fxy,,fxy,fxy,,fxy,,,,,,, , , ,,,nn,1nn,1kn,kkn,k,1,,,,,,,,,xyy,x,x,y,y,x,y,x,y,,,,,, 类似地，对元函数我们也可以定义各阶偏导数。 f(x,x,？,x)n12n xyz,e例5.19 求 的二阶偏导数( 解:先求一阶偏导数: ,f(x,y),f(x,y)xyxy,xe;( ,ye,y,x 再求二阶偏导数: 2,f(x,y),xyxy2xy,(ye),y,ye,ye; 2,x,x 2,f(x,y),xyxyxy,(ye),e，xye; ,x,y,y 2,f(x,y),xyxy2xy; ,(xe),x,xe,xe2,y,y 2,f(x,y),xyxyxy,(xe),e，xye( ,y,x,x 22,f(x,y),f(x,y),从这个例子可以看出，，这是不是一种巧合呢,事实上，在一,y,x,x,y 定的条件下，这两个混合偏导数是相等的(对此有下面的定理( z,f(x,y)定理5.8 如果区域D上的函数的两个混合偏导数都是连续的，则它们相 等( 证明见下章定理 6.8的证明。 x例5.20 设的二阶偏导数。 z,sin(e，xy) 解 ,z,xxxx; ,cos(e，xy)(e，xy),，，，，e，ycose，xy,x,x ,z,xxx，，，，，，,cose，xye，xy,xcose，xy; ,y,y 2,z,,xxxx,e，y,cose，xy，e，ycose，xy，，，，，，，，2 ,x,x,x2xxxx，，，，，，,ecose，xy,e，ysine，xy 2,z2x; ，，,,xsine，xy2,y 2,z,xx，，,cos(e，xy)，xcose，xy ,x,y,x xxx; ,cos，，，，，，e，xy,xe，ysine，xy十一、隐函数的求导 y,f(x)我们知道，一般表示的函数，这是很显然的(通常我们称这样的函数y是x 22为显函数(但是对于这样的方程所确定的是的函数(或是的函数)是xyyxx，y,1 F(x,y),0不明显的(一般称有形如的方程所确定的函数，称为隐函数(你可以认为是xy F(x,y,t,s,z),0的函数，也可以认为是的函数(对于多元函数也是如此(如方程，yx x,y,t,s可以认为是的四元函数( z 下面我们对这样的一类函数求导数( y2,y例5.21 方程，求( xe，xy，1,0 y,y(x)解 这里假定是的函数，即从方程中解出，即 yx y(x)2， xe，xy(x)，1,0方程两边对求导，得到 x ,,,y(x)2， ，，，，，，xe，xy(x)，1,0 y(x)y(x)2,,， e，xye，2xy，xy,0解得 yxy，e2,y,,( 2yx，xe y,y(x)在此例子中，我们实际上不必要知道到底是怎样的表达式，在计算的过程中， y,y(x)y,y(x)实际上也没有用到它，因此有时为了写起来方便，不用写，直接用代替y就可以了( 234u例5.22 已知，求( u,u,u,u,ux，y，s，xyse，u,0xysxyxx (x,y,s,u)u,u(x,y,s)解:假设在的邻域中可以解出，则有 234u(x,y,s)( x，y，s，xyse，u(x,y,s),0两边对求偏导(注意把看成常数)，得 xy,s uu (5,,) 2x，yse，xyseu，u,0xx即 u2x，yse( u,,xu1，xyse 同理，可得 u23y，xse; u,,yu1，xyse u34s，xye( u,,su1，xyse 对方程(5,,)两边对求偏导数，得 x 2uuuu2，yseu，yseu，xyseuu，xyseu，u,0( xxxxxxxx 2uu2yseu，2，xyseuuxxx( u,xxu1，xyseux u2x，yse将代入上式，可以得到结果( u,,xu1，xyse (5,,)式两边对求偏导数，得 y uuuuuse，yseu，xseu，xyseuu，xyseu，u,0， yxxyxyxy uuuuse，yseu，xseu，xyseuuyxxyu,,， xyu1，xyseux uu22x，yse3y，xse，代入上面的式子，就可以得到所要的偏导数( 将u,,u,,xyuu1，xyse1，xyse F(x,y),0F(x,y,z,u),0对于一般的和的求导或偏导数，以后会进一步的给出其计 算方法( 十二、参数方程的导数 y,f(x)在平面上函数表示一条曲线，但是曲线也可以有另外一种表现形式，即参数 ,,xcos,22方程。 例如曲线，可以写为参数形式( x，y,1,,ysin,, 设曲线的参数方程为 x,x(t),, ,,t,,,y,y(t),, x(t),y(t)x(t)x'(t),0其中，都是的可导函数，严格单调且。 t x,x(t) 由反函数存在定理及求导法则，我们知道函数的反函数t=t(x)存在，且有 1'(t(x)), 'x(t) 于是，由复合函数求导法则得到 ,dydydty(t)'',,y(t)(t(x)),( ,dxdtdxx(t) 其两阶导数为 2dyddy1,,,,,,2dxdtdxdx,, dt ,,,,,,,,,dy(t)1xy,xy,,,,,(3,,,,dtx(t)x(t),，，x,, 2x,tsint,dydy例5.23 已知，求和( ,2y,costdxdx, 解 ,dyysint,,,， ,dxxsint，tcost 2dysintcost,t( ,23dx(sint，tcost) 习题5.3 1(求下列函数的导数 1x(1); (2); f(x),lnx，4sinx,xf(x),，cosx，ex x3f(x),xlnx,x(3); (4) ; f(x),e(2，x，4x) 111f(x),x，f(x),,(5) ; (6) ; x1，x1,x xsecxf(x),f(x),(7) ; (8) ; cosx1，secx cosx，sinxxf(x),(9); (10); f(x),esinxcosxcosx,sinx 2f(x),xchxarcsinx(11); (12) f(x),(1，x，logx)arctanx42. 求下列函数的导数 13200f(x),(1); (2); f(x),(x,1)32x，x,7 1345f(x),arcsin(3); (4); f(x),(x,x，1)(2x，1)x 2sinx22f(x)f(x),ln(x，a，x)(5); (6) ; ,sin2x 1x2f(x)xsin(7) ; (8) f(x),e,2x x，1,1,x2f(x),ln(9) ; (10) f(x),arctan(tanx) x，1，1,x f(x),sin(cos(tanx))(11); 12(12); f(x),,ln(1,2xcosa，x)(0,a,2,)2 2xa2222(13) ; f(x),x，a，ln|x，x，a|(a,0)22 ,12(14) f(x),xsh(x/3),9，x 3.用对数求导法求下列函数的导数 xsinx(1) ; (2) y,xy,x xex(3) ; (4) y,xy,(lnx) 243/42sinxtanxxx，1y,y,(5); (6) 522(3x，2)(x，1) n4(求下列函数的阶导数 ny nx1y,y,(1); (2); 21,x1,x 12y,y,ln1,x(3); (4) 2x,5x，6 xn,11/x(5); (6) y,esinxy,xe 344(7); (8) y,sinxy,sinx，cosx arcsinxy, 5(设 21,x 2'n (1)求证; (2)求。 (1,x)y,xy,1y(0) 6。求下列函数的偏导数 22(1)，求; f(1,1),f(1,1)f(x,y),7,2x,3yxy f(x,y,z),x/(y，z) (2) ,求; f(3,2,1)z 432(3) ,求; f,yf(x,y),3xy，xyzxyyyy f(x,y,z),cos(4x，3y，2z)(4) ,求; f,yxyzyzz 3,ur,u,esin,(5)，求; 2,r,, 33,,x,,,(6)，求。 ,,2y，2z,z,y,x,x,y 7(求隐函数的导数及偏导数 2y2'(1)，求; xy，e,cos(x，y)y yx'(2)，求; x,yy y''(3)，求; xy，e,1y(0) ''2ysinx，xlny,0(4)，求; y ,z222(5)，求; x，y，z,3xyz,x ,zx,z,arctan(yz)(6)，求; ,x 2,z222(7)，求 x，y，z,4z,x,y 2dy8(求参数形式的函数的二阶导数 2dx 223t,t(1); (2) x,4，t,y,t，tx,t,e,y,t，ex,2sint,y,3cost,0,t,2,x,sinat,y,cosbt(3); (4) dx19。由反函数的求导公式，证明 ,'dyy 2''3''21'''dx3(y),yydxy,,,(1); (2) 2'33'5dy(y)dy(y)