大学高等数学课后习题答案

大学高等课后习答案 总习题六 23???1(求由曲线与纵轴所围图形面积。 y,(4,x) 233/2思路:曲线关于x轴对称，又曲线的一条分支是关于的减函yxx,,,(4),(4)yx,,(4)x 数，见图6-1可知用y型或用对称性求图形面积较为简单。 y 8 x04 ,8 图6-1 2/3解:曲线达为，它和y轴的交点:() x,4,y0,,8 88831282/32/35/3? (4)2(4)2(32S,,ydy,,ydy,,y,,,,80550???2(求介于直线之间、由曲线和所围成的平面图形的面积。 x,0,x,2,y,sinxy,cosx 2,解: S,sinx,cosxdx,0 ,/45,/42, ,(cosx,sinx)dx，(sinx,cosx)dx，(cosx,sinx)dx,42,,,0/45/4,, 22???3(直线将椭圆分成两块，设小块面积为A，大块面积为B，求的y,xx，3y,6yA/B 值。 22思路:由于和的交点为及，，因此面积较小的一y,x(0,0)(3/2 , 3/2)x，3y,6y3/2,1 部分用y型做较简单，见图6-3 y y,x B 3/2 A 1 x 3/23/2 图6-3 ,,0y3/2,解:较小部分区域表达为:: D,A2y,x,6y,3y, xt,3cos yt,，sin1,3/2/693322则， Ayyydytdt,,,,,,,,(63)3cos,,0/2,,834 33233433,,，? ,,，,，,,,AB/,B33434833，,112222???4(求椭圆和公共部分的面积。 x，y,1x，y,133 122思路:由图形的对称性可得所求面积是和及所围在第一象限内区域面积Dy,xx,0yx，,113 的8倍，见图6-4 y 122 y，x,13 y,x D1 x 图6-4 ,03/2,,y ,2解: : D,1yyx,,,1,3, ,2yt,3sin3/2y226? ,,,,,,,,SSydytdt88(1)83cos33D,,10033 33???5(求由曲线所围图形面积。 x,acost,y,asint 思路:图形为星形线，所以由图形的对称性可得所求面积是第一象限内区域面积的4倍 D1 0,x,a,解: :，(设是星形线函数) Dy,y(x),10,y,y(x), 3xat,cosa0232? SSyxdxatttdt,,,，,4()4sin3cos(sin)D,,31,0/2yat,sin 2,/23a22 ,,(sin2cos2sin2)tttdt,02 22,,/2/231cos433ata,22 ,,,,dttdtasin2(sin2),,002248 ???6(圆被心形线,,1，cos,分割成两部分，求这两部分的面积 ,,1 D思路:设分割成的右边图形为，由图形的对称性可得所求面积是极轴上半部分D面积的2倍，见图1 6-6 D r,1，cos, r,11 r 00 1 2 图6-6 解: 和相交于， ,,1，cos,,,1,,,,/2 ,,,,,0,,/2,,/2,,?由、两部分组成，:，:， DABAB,,10,,1，cos0,,,1,,,, ,,15,2?，左边部分的面积 Sd,，，,,S,,22[(1cos)]2,,,D,D/2,4424 ,????7(设，问取何值，右图中阴影部分的面积与之和最小,最大, Syxx,,,sin , 0StS212 y S2 sint S1 x t0 ,/2 图6-7 t,/2解:，， S(t),S，SS,(sint,sinx)dx,S,(sinx,sint)dx1212,,t0 ,,,,,,，得， S(t),(tsint),sint,sint,[(,t)sint],(2t,)cost,0t,422,/2,,,比较， S(0),sinxdx,1,S(),2,1,S(),,1,0422 ? S,1,S,2,1maxmin 22???8(由曲线与x,y轴围成的区域，被曲线分为面积为相等y,1,x(0,x,1)y,ax(a,0) 的两部分，求的值，见图6-8 a y2 yax, 1 D D12 2yx,,1 x 1 0 图6-8 1a22,解:两曲线，交于:()， y,1,x(0,x,1)y,ax(a,0)1，a1，a a,0,,y1,,0,,x1，a,, DD:; :1，a,,12y22,,axyx,,,11,,,yx,,a, 1222，a1?Sxaxdx,,,, (1)D,10，a31 aa1，ay22223/23/21，a ,,,,,,,,,Sydyyy(1)((1))D,20a33，331aa0由，计算可得 SS,a,3DD12 2/32/32/3???9(求星形线所围图形绕x轴旋转而成的旋转体体积。 x，y,a(a,0) :旋转体体积 思路:由于星形线关于x、y轴都对称，因此所求旋转体体积是第一象限内星形线及坐标轴围成的图形V绕x轴旋转一周形成的旋转体积的两倍 V1 a233解:根据旋转体积的公式:，利用星形线的参数方程 x,acost,y,asintV,2V,2,ydx1,0 进行变量代换， ,0/22623232可得 V,2,asint，3acostdcost,,6,a(1,cost)costdcost,,,/20323a ,,105 22???10(求由圆绕x轴旋转而成的环体体积。 x，(y,5),16 思路:可以对照y,f(x)绕y轴旋转的旋转体体积求法，见图6-10 x 2 x,16,(y,5) y 5 1 0 图6-10 2解:该体积是曲线及x轴所围图形绕x轴旋转一周所得体积的两倍 x,16,(y,5), (1,y,9) ,,5uy944222? V,22,y16,(y,5)dy,4,(u，5)16,udu,20,16,udu,,,,,144 2 ,160, ???11(证明:由平面图形绕y轴旋转而成的旋转体体积为 0,a,x,b , 0,y,f(x) b V,2,xf(x)dx,a 知识点:元素法的应用 证明:由平面图形绕y轴旋转而成的旋转体体积，可看作绕0,a,x,b , 0,y,f(x)y,f(x) y轴旋转所得的侧面积在范围内叠加而成， dV,2,xf(x)dxa,x,b b?。 V,2,xf(x)dx,a ???12(曲线和x轴围成一平面图形，计算此平面图形绕y轴旋转而成的旋转体体y,(x,1)(2,x) 积。 思路:用绕y轴旋转的旋转体体积求法 y,f(x) 解:平面图形为:曲线，()和x轴围成 y,(x,1)(2,x)1,x,2 2,2(1)(2)? V,xx,,xdx,,,12 2????13(设抛物线过原点，当时，，又已知该抛物线与直线y,0y,ax，bx，c0,x,1x,1 及x轴所围图形的面积为，求a ,b , c，使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积最小。 1/3V 2解:因为抛物线过原点，所以，又当时，，所以该抛物线与y,0y,ax，bx，cc,00,x,1 112ab2()直线及x轴所围图形的面积，得， ,，,，,b,(1,a)x,1Saxbxdx,03233 221aabb22又此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积， (,),(),()Vab,ax，bxdx,，，,0523 2241(1)4(1)2aa,a,a,将代入可得，， (),()b,(1,a)V(a),a，,0Va,，，353275，2727 553得到:，因为只有一个驻点，?可得满足所给条件的。 a,,a,, , b, , c,0442 2y2????14(在由椭圆域绕y轴旋转而成的椭球体上，以y轴为中心轴打一个圆孔，使剩下x，,14 部分的体积恰好等于椭球体体积的一半，求圆孔的直径。 知识点:旋转体体积 思路:打一个以y轴为中心轴的圆孔后，剩下的椭圆部分的体积是由xoy坐标面上，如图所示的平面V图形绕y轴旋转而成立体体积的两倍，见图6-14 D1 D1 D2 y r 2 21,r x 图6-14 2y22r解:设圆孔的半径为则在xoy面上曲线和的交点()， x，,1x,rr , ,21,r4 22,,21,,,21,ryr,2平面图形由减部分组成，:; DD,DDD,,21212y0,,1,x,4, 2222,21,ry,21,r,y,21,r22: ， V,,(1,)dy , V,,r，21,rD,,2122,21,,r4,0,x,r, 2214y8,,23/22(1)?，由条件， V,，,dy,V,V,V,(1,r),12,02433 1233可得: 1,r,,r,1,1/4,2r,4,162/32 222222???15(求由柱体与相贯部分的体积。 x，y,ax，z,a 思路:由立体图形的对称性可知所求体积为第一象限内体积的8倍，用垂直于x轴的平行截面截，VV11 可得截面面积，以此计算体积，见图6-15 A(x)V1 z 0 y x x图6-15 2222解:垂直于x轴的平行截面截，得截面为长:;宽:的长方形。 Vy,a,xz,a,x1 a1622223V8V8(ax)dxa?， A(x),a,x,,,,1,03 x16(将曲线绕x轴旋转得一旋转体 y,21，x ??(1)(求此旋转体体积 V, x解:?函数的定义域:， y,x,021，x ，,，,，,x1,2?Vydxdx( ,,,,,,,,222,,002(1x)2(1x)，，0???(2)(记此旋转体介于与之间的体积为，问为何值时有。 V(a)V(a),V/2x,aax,0, aa11,2解:?V,ydx,,,,，要使， V(a),V/2((1),,,a22,02，x，a2(1)10 1,, 只要 (1,),,a,12241，a 2???17(将抛物线在横坐标0与之间的弧段和以及x轴所围图形绕xc(c,a,0)y,x,axx,c P轴旋转，问为何值时，所得旋转体体积等于弦(为抛物线与的交点)绕x轴旋转所得cx,cVOP 锥体体积。 思路:抛物线经过原点，并且开口向上，如图6-17 y P x ca0 图6-17 5423ccacac222解:，经(0，0)和()的弦方程,,(,),,(,，)c , c,acOPVxaxdx,0523 c12232为: ， y,(c,a)x,V,,(c,a)xdx,,c(c,a)锥,03 5aV,V,c, 锥4 2x232????18(计算半立方抛物线被抛物线截得的一段弧的长度。 y,(x,1)y,33 知识点:求平面弧长 思路:作简图确定弧段的范围，代入公式，见图6-18 y 222 y,(x,1)3 x2 y,3 x 0 1 图6-18 2x2x2323322解:和的交点为: y,(x,1)(x,1),,2x,6x，5x,2,0y,3333 将代入方程可知是方程的根，?分解因式可得 x,2 3222，?方程只有一解 2x,6x，5x,2,(x,2)(2x,2x，1),0x,2 262232,交点:(2 , ,)，由图形关于x轴对称?，? y,(x,1)S,21，ydx,133 4(x,1)322,,两边对x求导: 2yy,2(x,1),y,,(x,1)22y 22318523/2,? S,21，ydx,2x,,[(),1],,112292 1dx22L,42a???19(证明双纽线的全长L可表示为。 r,2acos2,,041,x证明:根据双扭线的对称性，，其中是双扭线在第一象限内的一段弧长， L,4LL11 2,/4,/4sin2,2222,442cos22?用极坐标的弧长公式可得: L,r，rd,,a,，ad,,,00cos2, 222,tan,x,,/4/411cos，sin1，1,,x,42,42,42，ad,ad,adx,,,2222000cos2cos,sin1,1，,xx,, 1dx,42a ,041,x ???20(在摆线上，求分摆线第一拱成1:3的点的坐标。 x,a(t,sint) , y,a(1,cost)知识点:平面曲线的弧长 解:摆线第一拱的的范围:()，设在处分摆线成1:3，则根据弧长参数公式，可得: 0 , 2,tt0 ttt00022,,xydtatdttdt21cossin/2，,L111,,,0001 ,,,,,,,2,22,22L3332,,xydtatdttdt21cossin/2，,,,,ttt000?， t/2,[0 , ,] t0sin/2tdt1,cos/2t,11223,,a00? ,,,,,,( , ),((,) , )txya000,231，cos/233322t0sin/2tdt,t0 2????21(求曲线，该曲线上两点(0，1)及之间的弧长为。 s,y,1y,y(x)(x , y) x22,解:由条件:曲线上两点(0，1)及之间的弧长， (x , y)L,1，ydx,y,1,0 ,yy22,, 等式两边对x求导:，根据第十二章的微分方程求解得到: 1，y,,y,,y,12y,1 dydy22,x,,dx,,,x，c,lny，y,1,,x，c,y，y,1,ce,22y,1y,1 x21e，c1y?经过(0，0)，?代入求得 y,y(x),,,x2e 2???22(设有一半径为R的平面圆板，其密度为，为圆板上的点到圆板中心的距离，,,,4,，3,求该圆板的质量M。 知识点:元素法在物理上的应用 只和该点到圆板中心的距离有关，设平面圆板的方程为，则在圆环 思路:由于任一点的密度,,R, 2至上的每一处都近似有。 ,,r,,r，dr,(r),4r，3r 2解:至的圆环质量微元:， ,,r,,r，drdM,(4r，3r)，2,rdr R323 ,M,2,(4r，3r)dr,2,R(R，1),0 3??23(一物体按规律作直线运动，媒质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由移至x,ctx,0 时，克服媒质所做的功。 x,a 知识点:元素法在物理上的应用 33x,ctaa/c222436,,解: F,kV , V,x,F,kx,9kct,W,Fdx,27kctdt,,00 272/37/3 ? W,kca7 ????24(用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力和铁钉进入木板的深度成正比，铁钉在第一次捶 击时将铁钉击入1cm，若每次捶击所作的功相等，问第n次捶击时又将铁钉击入多少, 知识点:元素法在物理上的应用 1kFkxWkxdx解:设木板对铁钉的阻力为;铁钉进入木板的深度为，则， F,,,,x1,02 xkkn2222则由每次捶击所作的功相等的条件可得， W,kxdx,(x,x),,x,x,1nnn,nn,11,x,1n22 22?，?设，则由 x,2 , x,3 ,x,kx,1，x,1，k,x,k，1x,123kk，1kk，11 ?由归纳法得证:(cm) x,n,x,x,n,n,1nnn,1 25(以每秒的流量往半径为的半球形水池内注水。 Ra ???(1)(求在池中水深时水面上升的速度 h(0,h,R) 知识点:相关变化率 222解:设当时间时，池中水深，半球形水池可看作xoy面上曲线绕y轴旋转一周tx，(y,R),Rh 而成，则由时间时注入水量等于水深为的球冠体积可得: th hh222，该等式两边对求导 t,(R,(y,R))dy,,(2Ry,y)dy,at,,00 a2,,,,(2Rh,h)h,a,h, 2,(2Rh,h) ???(2)(若再将满池水全部抽出，至少需作功多少, 知识点:元素法在物理上的应用 22解:重设xoy面上的方程:，则将球形水池中至体积的水抽出水面做功x,R,yyy，dy 4R,g,R222() ,,,,dW,,g,yxdxWgRxxdx,,,04 (其中是水的密度，是重力加速度) ,g ???26(以等腰梯形闸门，梯形的上下底分别为50m和30m，高为20m，若闸门顶部高出水面4m，求闸门一侧所受的水的静压力。 知识点:微元法在物理上的应用 1，思路:以上底中心为坐标原点，垂直向下建立x轴，见图6-26，等腰梯形腰的方程则为:y,,x，252 x因此在 至的闸门条带上，所受的静压力为 dP,,，2(,，25)，(x,4)dxxx，dx2 50m y0 4m x 20m x，dx1 y,,x，252 30m x 图6-26 x解:?， dP,,，2(,，25)，(x,4)dx2 4x,,t201623?(kg) P,,(,x，50)(x,4)dx,,(46t,t)dt,4.522，10,,,40 ???27(设有一半径为，中心角为的圆弧形细棒，其线密度为常数，在圆心处有一质量为的R,,m 质点M，试求该细棒对质点M的引力。 知识点:微元法在物理上的应用 解:设弧棒的方程为极坐标系下:，见图6-27， r,R , ,,(,,/2 , ,/2) ,,,/2 ,,，d , r 0 R ,,,,/2 图6-27 则 至段的细棒对质点M在x轴(也为极轴)正向上的的引力为: ,,，d, ,/2kmRdkm2km,,,,,dFcosFcosdsin?， ,，,,,,,,xx,2,/2,RR2R ?根据弧棒关于x轴的对称性可知 F,0y P????28(设有半径为面密度为的均匀圆板，质量为的质点位于通过圆板中心且垂直于圆a,mO 板的直线上，，求圆板对质点的引力。 PO,b 知识点:微元法在物理上的应用 解:设半径为面密度为的均匀圆板区域为:，见图6-28， 0,,,aa, F P O 图6-28 对于和所夹环带区域，由于对称性，只有在垂直于圆板的方向才有引力: ,,r ，dr,,r akm，rdrbkmbrdrb,,,,22dF,，,F,,km,? 2,,(1)22223/2,02222r，br，b()()r，ba，b 课外习题 ????1(求曲线以及轴所围成图形的面积 y,x,x，y,1Ox思路:可以根据第四章的判断函数单调性和作图等知识求出曲线的单调区间或画出曲线的x，y,1 图形，再确定的变化范围，见图6-(1) x,y y y,x x，y,1 x 0 图6-(1) 解:由曲线方程可知:， x，y,10,x,1 1,y,1,x,y,1，x,2x,y,1,且? ， x?当时有:单调降， y,1，x,2x0,x,1 ,y,x7,353,5又两曲线的交点为:，舍去的解可得在 ,x,,y,x,1,22y,1，x,2x, 7,353,5范围内的交点是x,,y,，，而是一个单调增函数， y,x0,x,122 ,3,5,0,y,?该图形区域可表达为:， ,22,y,x,1，y,2y, 35,1135,22(12)?所求 Syyydy,，,,,,012 2222????2(求曲线所围成图形的面积 (x，y),2axy 22思路:该曲线的参数式为，它是伯努利双纽线(见后附录?)，可用对称性求该图形,,asin2, 的面积 解:所求面积，是该曲线在第一象限内围成的区域面积， S,2SS11 ,,,,10,,,222所占区域可表达为:，? SS,2S,2asin2,d,,a2,11,02,0rasin2,,,, x????3(设，试求曲线与轴所包围的面积 f(x)Oxf(x),(1,t)dt,(x,,1),,1 思路:首先需要确定的大致图形，然后才能确定的变化范围 f(x)x,y x,,解:驻点(舍)得唯一驻点 x,,1x,,1x,1f(x),((1,t)dt),1,x,,,1 1当时，单调增，当时，单调降，又;f(x)f(x)x,1x,1f(1),(1,t)dt,1,f(,1),0,,1 2x01x， f(x),(1，t)dt，(1,t)dt,，x,(x,1),,,1022?，舍去，得和轴所围图形在内， f(x)f(x),0,x,1,2x,1,2Ox0,x,1，2 2，121542x，()?所求面积 Sxdx,，,,,0226 ,x????4(如图6-(4)，在曲线上面作一个台阶曲线，台阶的宽度为1，试求图中无y,e,(x,0)穷多个阴影部分的面积之和 ,x ye, y 1 3 x2 1 0 图6-(4) ,k解:台阶曲线可表示为:，设第个阴影部分的面积为， S(k)y,e(k,x,k，1),k,0,1,2？k k，1,k,x,k,(k，1),k,(k，1)， S(k，1),(e,e)dx,e，e,e,e,k 1,1,2,kS,S(0)，S(1)，S(2)，，S(k)，,e，e，e，,所求(等比级数) ？？？？e,1????5(设是区间[0，1]上的任一非负连续函数。(1)试证存在，使得在区间y,f(x)x,(0,1)0 上以为高的矩形面积，等于在区间上以为高的曲边梯形的面积。(2)[x,1]y,f(x)[0,x]f(x)000 2f(x),f(x),,又设在区间内可导，且，证明(1)中的是唯一的 f(x)x(0,1)0x 1证(1):即要证存在，使得 x,(0,1)f(x)dx,xf(x)000,x0 1设函数，?在[0，1]上用罗尔定理可得: F(x)F(x),xf(x)dx,F(0),F(1),0,x 11,，使得 ，x,(0,1)F(x),f(x)dx,xf(x),0,f(x)dx,xf(x)000000,,xx00 12f(x),,,f(x),,(2)设，? G(x),f(x)dx,xf(x),G(x),,2f(x),xf(x),xx ,?单调降，?(1)中的是唯一的 G(x),0,G(x)x0 ????6((1)对曲线y,f(x)，试在横坐标和之间找一点，使在这点两边有阴影部分的,aa，h x面积相等(如图6-(6)) (2)在(1)中设曲线，记。其余的如(1)所述，试,,a，,hy,e 求并计算 lim,,?,h,0 y y,f(x) x a ,0 a，h 图6-(6) 处两边有阴影部分的面积相等，即要: 解(1):要使x,, ah,， (f(x),f(a))dx,(f(a，h),f(x))dx,,,a, ,aa，h f(x)dx,f(a)(,,a),(a，h,,)f(a，h),f(x)dx,f(x)dx,,,,aa, a，h af(a),(a，h)f(a，h)，f(x)dx,f(a),,f(a，h),,,a a，haf(a),(a，h)f(a，h)，f(x)dx,a, ,f(a),f(a，h) a，haa，hxhae,(a，h)e，edx(h,1)e，1,ax,,,,a，h,,,(2)若，则 y,eaa，hhe,eh(e,1) hh(h,1)e，1(h,1)e，1(等价无穷小代换) ,lim,lim,lim2h,,,000hhhh(e,1)h hhe(h1)e1，,limlim ,,,,0,0hh2h2 ????7(证明:将极坐标下的面积:绕极轴旋转所成的体积是 0,,,,,,,,,0,r,r(,) ,,23 V,r(,)sin,d,,,3 证明:用微元法，取小片面积,,,,,，,,,0,r,r(,)，见图6-(7) ,,, ,,，d r,r(,) , ,,, r0 R 图6-(7) 该面积绕极轴旋转所成的体积近似于面积:绕极轴旋转所成的体积，先,,,,,，,,,r,r(,),V 求区域绕极轴旋转所成的体积:0,,,,,r,r(,) r122223 V,,(rsin,)rcos,，,(r,x)dx,,r(1,cos,)1,,cosr33 2233则，得到体积微元 ,V,dV,,rsin,dV,,r(,)sin,133 ,,23? V,r(,)sin,d,,,32xxtsin????8(设曲线方程为，当时，对应曲线上的点为。求过点的切线与AAfx,dtx,1(),xt 轴、直线所围成的图形绕轴旋转所得立体体积 Oxx,2Ox 32322xxtxxxxsinsinsin2sin,sin,,fxdtx解:显然，点A的坐标为(1，0)，(),(),2,,,2xtxxx则过A的切线:，当时，，所以该切线与轴、直线所围成的y,sin1(x,1)y,0x,1Oxx,2 2,222图形在范围内，?所求立体体积 V,sin1(x,1)dx,sin11,x,2,,13????9(有一立体的底是半径为R的圆，以一组垂直于底面的平行平面截这立体所得的截面为为抛物线 H拱形，每次截得的拱形高都不变，求此立体的体积 222解:设底圆的方程为，过作垂直于x轴的平面，截得的截面边界为关于z轴对(x,0,0)x，y,R0 2称的抛物线，所以方程设为， z,ay，b H222H又拱形高为，且过(x,R,x,0)，?，截面面积 z,,y，H0022R,x0 22R,x4H0222()2() Ax,,y，Hdy,HR,x00,2203R,x0 422过的截面面积为A(x),HR,x， (x,0,0)3 R22所求体积为 V2A(x)dxHR,,,,03