十字相乘法

十字相乘法 1.使学生掌握运用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式分解因式； 2.进一步培养学生的观察力和思维和敏捷性. 重点：正确地运用十字相乘法把某些二次项系数不是1的二次三项式分解因式； 难点：灵活运用十字相乘法分解因式. 一、导入新课 把下列各式多分解因式： 1.x2 2+6x－72； 2.(x+y)－8(x+y)+48； 4222 3.x－7x+18； 4.x－10xy－56y. 答： 1.(x+12)(x－6)； 2.(x+y－12)(x+y+4)； 2 3.(x+3)(x－3)(x+2)； 4.(x－14y)(x+4y). 2我们已经学习了把形如x+px+q的某些二次三项式分解因式，也学习了通过设辅助元的方法 2把能转化为形如x+px+q型的某些多项式分解因式. 对于二次项系数不是非曲直的二次三项式如何分解因式呢?这节课就来讨论这个问题,即把 2某些形如ax+bx+c的二次三项式分解因式. 二、新课 2 例1 把2x－7x+3分解因式. 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下解，再分解常数项，分 别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数. 分解二次项系数(只取正因数)： 2＝1×2＝2×1； 分解常数项： 3=1×3=1×3==(－3)×(－1)=(－1)×(－3). 用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 1 1 2 3 1×3+2×1 =5 1 3 2 1 1×1+2×3 =7 1 －1 2 －3 1×(－3)+2×(－1) =－5 1 －3 2 －1 1×(－1)+2×(－3) =－7 2经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7. －7x+3=(x－3)(2x－1). 2 解 2x 一般地，对于二次三项式ax+bx+c(a?0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=aa，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=cc，把a，a，c，c，排列如下： 12121212 a c 11 a c 22 aa+ac 12212按斜线交叉相乘，再相加，得到aa+ac，若它正好等于二次三项式ax+bx+c的一次项系1221 数b，即ac+ac=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式ax+c与ax+c之积，即 122111222 ax+bx+c=(ax+c)(ax+c). 1122 像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常 叫做十字相乘法. 2 例2 把6x－7x－5分解因式. 分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项－5，把它们分别排列，可有8种 不同的排列方法，其中的一种 2 1 3 －5 2×(－5)+3×1=－7 是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式. 解 6x2－7x－5=(2x+1)(3x－5). 指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式. 对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何 2把常数项分解因数.例如把x+2x－15分解因式，十字相乘法是 1 －3 1 5 1×5+1×(－3)=2 2 所以x+2x-15=(x－3)(x+5). 22 例3 把5x+6xy－8y分解因式. 2 分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把－8y看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与－8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组， 即 1 2 5 －4 1×(－4)+5×2=6 解 5x22+6xy－8y=(x+2y)(5x－4y). 指出：原式分解为两个关于x，y的一次式. 例4 把(x－y)(2x－2y－3)－2分解因式. 分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法 运算，把变形后的多项式再因式分解. 问：两上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便? 答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x－y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x－y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x－y)的二次三项 式，就可以用十字相乘法分解因式了. 2 解 (x－y)(2x－2y－3)－2 －3(x－y)－2 =(x－y)[2(x－y)－3]－2 =[(x－y)－2][2(x－y)+1] =2(x－y) =(x－y－2)(2x－2y+1). 1 －2 2 +1 1×1+2×(－2)=－3 指出：把(x－y)看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法. 三、课堂练习 1.用十字相乘法分解因式： (1)2x22－5x－12； (2)3x－5x－2； 22 (3)6x－13x+5； (4)7x－19x－6； 22 (5)12x－13x+3； (6)4x+24x+27. 2.把下列各式分解因式： 2222 (1)6x－13xy+6y； (2)8xy+6xy－35； 22 2 2 (3)18x－21xy+5y； (4)2(a+b)+(a+b)(a－b)－6(a－b). 答案： 1.(1)(x－4)(2x+3)； (2)(x－2)(3x+1)； (3)(2x－1)(3x－5)； (4)(x－3)(7x+2)； (5)(3x－1)(4x－3)； (6)(2x+3)(2x+9). 2.(1)(2x－3y)(3x－2y)； (2)(2xy+5)(4xy－7)； (3)(3x－y)(6x－5y)； (4)(3a－b)(5b－a). 四、小结 1.用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式分解因式时，应注意以下问题： (1)正确的十字相乘必须满足以下条件： a c 11 在式子 中，竖向的两个数必须满足关系a1a2=a，c1c2=c；在上式中，斜向的 a c 22 两个数必须满足关系ac+ac=b. 1221 (2)由十字相乘的图中的四个数写出分解后的两个一次因式时，图的上一行两个数中， a是第一个因式中的一次项系数，c是常数项；在下一行的两个数中，a2是第二个因式中的11 一次项的系数，c是常数项. 2 (3)二次项系数a一般都把它看作是正数(如果是负数，则应提出负号，利用恒等变形把 2+px+q的某些二次三项式也可以用十字相乘法分解因式. 2 3.凡是可用代换的方法转化为二次三项式ax+bx+c的多项式，有些也可以用十字相乘它转化为正数，)只需把它分解成两个正的因数. 法分解因式，如例4. 2.形如x 五、作业 1.用十字相乘法分解因式： 22 (1)2x+3x+1； (2)2y+y－6； 22 (3)6x－13x+6； (4)3a－7a－6； 2222 (5)6x－11xy+3y； (6)4m+8mn+3n； 2222 (7)10x－21xy+2y； (8)8m－22mn+15n. 2．把下列各式分解因式： 22 (1)4n+4n－15； (2)6a+a－35； 22 (3)5x－8x－13； (4)4x+15x+9 22 (5)15x+x－2； (6)6y+19y+10； 2 2 2 (7)20－9y－20y； (8)7(x－1)+4(x－1)(y+2)－20(y+2). 答案： 1.(1)(2x+1)(x+1)； (2)(y+2)(2y－3)； (3)(2x－3)(3x－2); (4)(a－3)(3a+2); (5)(2x－3y)(3x－y); (6)(2m+n)(2m+3n); (7)(x－2y)(10x－y); (8)(2m－3n)(4m－5n). 2.(1)(2n－3)(2n+5); (2)(2a+5)(3a－7); (3)(x+1)(5x-13); (4)(x+3)(4x+3); (5)(3x－1)(5x+2); (6)(2y+5)(3y+2); (7)－(4y+5)(5y－4); (8)(x+2y+3)(7x－10y－27). 1.为了使学生切实掌握运用十字相乘法把某些二次三项式分解因式的思路和方法，在教 学设计中，先通过例1，较祥尽地讲解借助画十字交叉线分解系数的具体方法，在此基础上 再进一步概括如何运用十字相乘法把二次三项式ax2+bx+c进行因式分解的一般思路和方法.只有使学生掌握了十字相乘法的一向法规，才能进一步指导解决各种具体的问题，这种从特 殊到一般，再从一般到特殊的认识问题的过程，是符合学生的认识问题的过程. 2.对于借助画十字，用观察的方法，选择和确定适合的数组，把二次三项式运用十字相乘法 分解因式，学生最初是有一定的困难的.所以在教学中应循序渐进，首先讲解例1时，要求学生把分解二次项系数和常数项的各种情况都画十字交叉线表示，运用观察的方法，从中选 取合适的数组，然后归纳为一般情况，总结出一般的方法，再通过例2加以巩固. 当学生熟悉了这种方法，摸索出规律后，就不要求学生把各种情况一一列出了.