新浪数学题选答8 - 爱问知识人

新浪数学题选答8 - 爱问知识人 新浪数学题选答8 1. Q D'C' A'PB' FEDC AB解:设AP交BD’于E,AQ交A’C于F,A’C与BD’交于O.根据轴对 称的性质，AE=EP,AE?BD’.因正方体ABCD-A’B’C’D’的棱长为1，故AD’=?2，AD’?AB. ?BE/ED’=AB^2/AD’^2=1/2,?BE=BD’/3,BO=BD’/2,?OE=BD’/6=BO/3.同理OF=OA’/3, 于是EF=BA’/3,PQ=2EF=(2?2)/3.选C. 2.已知直线l经过P0(-3,3),且倾斜角α=5π/6，向量e=(cos5π/6,sin5π/6). (1)P是直线l上任一点，向量PP0=t向量e,以t为参数，写出直线l的参数方程; (2)设直线l与曲线C:x=2cosθ,y=4sinθ(θ为参数)相交于两点A,B,求|P0A|*|P0B|; (3)设A,B的中点为M,求|P0M|. 解:(1)设P(x,y),由向量PP0=t向量e得(-3-x,3-y)=(tcos5π/6,tsin5π/6), ?-3-x= tcos5π/6,3-y=tsin5π/6, ?x=-3-tcos5π/6=-3+(?3)t/2,y=3-tsin5π/6=3-t/2.(1) (2)消去参数θ，曲线C的方程为4x^2+y^2=16 (2) 把(1)代入(2)得4[9-3?3t+3t^2/4]+9-3t+t^2/4=16， 144-48?3t+12t^2+36-12t+t^2=64, 13t^2-(12+48?3)t+116=0. 设它的两根为t1,t2,则t1+t2=(12+48?3)/13，t1t2=116/13. 由直线参数方程t的几何意义知|P0A|*|P0B|=|t1t2|=116/13. (3) 由直线参数方程t的几何意义知|P0M|=|(t1+t2)/2|=(6+24?3)/13. 注:t的几何意义:t的正负对应于动点P在P0的下、上方，|t|=|PP0|. 3.直三棱柱ABC-A1B1C1中，角ABC=90度，AB=a,BC=b,BB1=c,M,N分别是B1C1和AC的中点。 (1)求异面直线AB1和BC1所成角的余弦值。(2)求MN与底面ABC所成角的余弦值。 B1A1MC1 DBANPC解:(1)延长CB至D,使BD=BC,连AD,B1D. ?直三棱柱ABC-A1B1C1，?B1C1?=BD,?B1D?C1B,??AB1D是异面直线AB1和BC1所成角。 ??ABC=90?，AB=a,BC=b,?AD^2=a^2+b^2.类似地，AB1=?(a^2+c^2),B1D=?(b^2+c^2).由余弦定理， cos?AB1D=(AB1^2+B1D^2-AD^2)/(2AB1*B1D)=c^2/?[(a^2+c^2)(b^2+c^2)],为所求。 (2)取BC中点P,连MP,NP.?M,N分别是B1C1和AC的中点，?NP?=AB/2=a/2,MP?B1B, ?MP?底面ABC,??MNP是MN与底面ABC所成的角。MP=c,?MPN=90?，?MN=?(c^2+a^2/4), ?cos?MNP=NP/MN=a/?(4c^2+a^2),为所求。 4. 过抛物线的焦点F的直线与抛物线交与M、N两点。若M、N在抛物线的准线上的射影分别为M1、N1.求?M1FN1的大小 解:设抛物线方程为y^2=2px(p>0),则它的焦点F为(p/2,0)。 设直线MN的方程为x=my+p/2,代入上式化简得 y^2-2mpy-p^2=0, 设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=2mp,y1y2=-p^2. M、N在抛物线的准线x=-p/2上的射影分别为M1(-p/2,y1)、N1(-p/2,y2), ?M1N1^2=(y1-y2)^2，M1F^2=p^2+y1^2,N1F^2=p^2+y2^2, ?M1N1^2-(M1F^2+N1F^2)=-2p^2-2y1y2=0, ??M1FN1=90?。 5. (x/2+3/2)^8=a0+a1x+a2x^2+...+.a8x^8,其中a0,a1,a2...a8都是常数，则a1+2a2+3a3+4a4+....+8a8=? 解:设g(x)= (x/2+3/2)^8=a0+a1x+a2x^2+....+a8x^8, 则g’(x)=4(x/2+3/2)^7= a1+2a2*x+3a3*x^2+4a4*x^3+....+8a8*x^7, ?a1+2a2+3a3+4a4+....+8a8=g’(1)=4*2^7=512. 解2: a1+2a2+3a3+4a4+....+8a8=?i*c(8,i)*3^(8-i)/(2^8)|i:1?8 =8?c(7,i-1)*3^(8-i)/(2^8)|i:1?8 =(1+3)^7/(2^5)=2^9=512. 6. 解:(1)在AB上截取AF=AE,连DF.易知?ADF??ADE(SAS),??ADF=?ADE=90?，DF=DE,??ADF+?ADE=180?，?F,D,E三点共线，??BDF=?CDE,??BDF??CDE(SAS),?BF=CE,?CE+AE=BF+AF=AB. (2)当?BAC=90?时BD=DC=AD=5.作DG?AB于G,?AB=8,?AG=BG=4,?cosDAG=4/5?AF=AD/cosDAG=25/4,?CE=AB-AF=7/4. 7.在R上定义运算@:p@q=-1/3(p-c)(q-b)+4bc(b、c为实常数)。记f1(x)=x^2-2c,f2(x)=x-2b,x属于R，令f(x)=f1(x)@f2(x)。记g(x)=|f'(x)|(-1?x?1)的最大值为M，若M?k对任意的b、c恒成立，试求k的最大值。 解:f(x)=f1(x)@f2(x)=(-1/3)(x^2-2c-c)(x-2b-b)+4bc=(-1/3)(x^2-3c)(x-3b)+4bc =(-1/3)x^3+bx^2+cx+bc f‘(x)=x^2+2bx+c=-(x-b)^2+b^2+c， 对固定的b、c?R，|f‘(x)|在x?[-1,1]上的最大值M是抛物线弧y=f‘(x)(x?[-1,1])上的点与x轴距离的最大值，|f‘(-1)|+|f‘(1)|+2|f‘(b)|?|-f‘(-1)-f‘(1)+2f‘(b)|=|2+2b^2|?2,由抽屉原理，|f‘(-1)|、|f‘(1)|、|f‘(b)|三者中至少有一不小于1/2，?M?1/2. 当x轴穿过抛物线弧y=f‘(x)(x?[-1,1]),f‘(-1)=f‘(1)且f‘(1)+f‘(b)=0， 即-1-2b+c=-1+2b+c,且-1+2b+c+b^2+c=0时b=0,c=1/2，M=1/2。 所以所求k的最大值为1/2。 8.正三角形ABC的边长为三厘米，边长为一厘米的正三角形RPQ的顶点R与点A重合，点P,Q分别在AC,AB上，将三角形RPQ沿着边AB,BC,CA顺时针连续翻转，直至点P第一次回到原来的位置，则点P运动路径的长为多少厘米【结果保留3.141592653]请在一分种内回答，并附上图画加以说明。 C(R2) Q2P2 P(P3)Q1 B(R1)QA(R3)P1解:点P绕Q转120?至AB上的P1,待R1与B重合后绕BC上的Q1转120?至P2,仿上，绕Q2转120?至P3,就与P重合。?点P运动路径的长为2×3.141592653=6.2831530 6厘米. 9.已知P(x,y)是椭圆(x^2)/25+(y^2)/16=1上的点，求x+y以及(y-6)/(x-6)的范围 解:x=5cost,y=4sint,x+y=5cost+4sint=(?41)sin(t+a),它的取值范围是[-?41，?41]。 设(y-6)/(x-6)=k,则y=k(x-6)+6,代入椭圆方程化简得 (16+25k^2)x^2-300k(k-1)x+900(k-1)^2-400=0, 这个关于x的方程有实根，??/400=225k^2*(k-1)^2-(16+25k^2)[9(k-1)^2-4]=-4(11k^2-72k+20)?0, ?[36-?269]/11?k?[36+?269]/11，为所求。 10.已知l:y=2x-2与双曲线C:x^2-y^2=1相交于点A,B,若双曲线上有且仅有三点P1,P2,P3使得 S三角形P1AB = S三角形P2AB = S三角形P3AB = S,则S的值有几个, 解:因三个三角形面积相等，故P1,P2,P3与AB的距离相等，而平行于AB的直线与双曲线至多有两个交点，所以这三点分居AB的两侧。 把y=2x土m代入x^2-y^2=1得3x^2土4mx+m^2+1=0, 这两个方程恰有三个不同的实根，因每个方程的两根都是同号，故不可能。本题无解。 11..已知直线y=kx+2和双曲线x^2-y^2=1,若直线和双曲线的左支交于不同的两点，求K的取值范围。 解:把y=kx+2代入x^2-y^2=1化简得 (k^2-1)x^2+4kx+5=0 (1) 因直线和双曲线的左支交于不同的两点，故方程(1)有相异负根， ?必须且只需下列三个条件同时成立: ?=16k^2-20(k^2-1)=20-4k^2>0,-?50,-11. x1*x2=5/(k^2-1)>0,k<-1或k>1. 求三者的交集得10,b>0)的焦点为F1(-c,0),F2(c,0),c>0，e为离心率，点P是左支上一点，d为点P到左准线的距离。 (1)当d,|PF1|,|PF2|成等比数列时，求e的范围。 (2)当d，|PF1|，|PF2|成等差数列时，求e的范围。 解:设P(x,y),(x?-a),则|PF1|=-ex-a=de,|PF2|=-ex+a. (1)d,|PF1|,|PF2|成等比数列时,-ex+a=e(-ex-a),即e(e-1)x=-a(e+1),x=-a(e+1)/[e(e-1)]?-a, 注意到e>1,有e^2-e?e+1，e^2-2e-1?0,解得11。求证:PA/(PA+kPD)+PB/(PB+kPE)+PC/(PC+kPF)?6/(2+k) 证:分别延长AP,BP,CP交BC,CA,AB于D1,E1,F1.设PD1/AD1=x,PE1/BE1=y,PF1/CF1=z,m=k-1,易知m> 0,x+y+z=1,PD?PD1,PE?PE1,PF?PF1, PA/(PA+kPD)?PA/(PA+kPD1)=(1-x)/(1+mx),余者类推.?要原式成立,只需 (1-x)/(1+mx)+(1-y)/(1+my)+(1-z)/(1+mz)?6/(3+m), 只需(3+m)[(1-x)(1+my)(1+mz)+(1-y)(1+mx)(1+mz)+(1-z)(1+mx)(1+my)]?6(1+mx)(1+my)(1+mz), (3+m)?(1+my+mz-x+m^2*yz-mxy-mxz-m^2*xyz)?6[1+m+m^2?xy+m^3*xyz], (3+m)[2+2m+(m^2-2m)?xy-3m^2*xyz]?6+6m+6m^2?xy+6m^3xyz 化简得2+2m+(m^2-5m-6)(xy+yz+zx)-(9m^2+9m)*xyz?0. (1) 易知xy+yz+zx?(1/3)(x+y+z)^2=1/3,xyz?[(x+y+z)/3]^3=1/27, ?m<6时m^2-5m-6<0,(1)左?2+2m+(1/3)(m^2-5m-6)-(1/27)(9m^2+9m)=0, m?6时m^2-5m-6?0，xy+yz+zx?3(xyz)^(2/3)?9xyz, (1)左?2+2m+[9(m^2-5m-6)-(9m^2+9m)]xyz?2+2m+(1/27)(-54-54m)=0. 综上,(1)式成立，原式成立。 18设数列{an},{bn}满足a1=1,b1=0,且a(n+1)=2an+3bn,b(n+1)=an+2bn。 求数列an,bn的前n项和Sn,Sn",求极限(Sn/Sn")的大小。 解:这是双通项问题。a=2a+3b=2a+3(an+2bn)=2a+3an+6bn, 而3bn=a-2an,?a=2a+3an+2(a-2an)=4a-an, ?a-4a-2an]=[(?3)/6]*[x1^(n-1)-x2^(n-1)], ?Sn”=[(?3)/6]* [(1-x1^n)/(1-x1)-(1-x2^n)/(1-x2)]. ?n??时Sn/Sn”??3.