简谐运动及其振幅周期频率典型例题

简谐运动及其振幅周期频率典型例题 “简谐运动及其振幅、周期、频率”典型例题 例1 一弹簧振子作简谐运动，下列说法中正确的有 [ ] A(若位移为负值，则速度一定为正值，加速度也一定为正值 B(振子通过平衡位置时，速度为零，加速度最大 C(振子每次通过平衡位置时，加速度相同，速度也一定相同 D(振子每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但加速度一定相同 分析 如图所示，因为弹簧振子的位移是以平衡位置O为起点的，设向右为正，则当振子在OB段时，位移为正，在OA段时位移为负。可见当振子由O向A运动时其位移为负值，速度也是负值，故A错。 振子在平衡位置时，回复力为零，加速度a为零，但速度最大，故B错。 振子在平衡位置O时，速度方向可以是不同的(可正、可负)，故C错。 由a=-kx/m知， x同a反向，但振子在该点的速度方向可以向左，也可以向右，故D正确。 可见，分析简谐运动各量变化关系时，要和实际弹簧振子运动联系起来，画出草图来分析。 答 D。 例2 如图所示，在光滑水平面上，用两根劲度系数分别为k1、k2的轻弹簧系住一个质量为m的小球。开始时，两弹簧均处于原长，后使小球向左偏离x后放手，可以看到小球将在水平面上作往复振动。试问小球是否作简谐运动, 分析 为了判断小球的运动性质，需要根据小球的受力情况，找出回复力，确定它能否写成F=-kx的形式。 解答 以小球为研究对象，竖直方向处于力平衡状态，水平方向受到两根弹簧的弹力作用，设小球位于平衡位置O左方某处时，偏离平衡位置的位移为x，则 左方弹簧受压，对小球的弹力大小为: f1=k1x，方向向右 右方弹簧被拉伸，对小球的弹力大小为: f2=k2x，方向向右 小球所受的回复力等于两个弹力的合力，其大小为: F=f1+f2=(k1，k2)x，方向向右 令k=kl+k2，上式可写成: F=kx 由于小球所受回复力的方向与位移x的方向相反，考虑方向后，上式可示为: F=-kx 所以，小球将在两根弹簧的作用下，沿水平面作简谐运动。 说明 由本题可归纳出判断物体是否作简谐运动的一般步骤:确定研究对象(整个物体或某一部分)—?分析受力情况—?找出回复力—?表示成F=-kx的形式(可以先确定F的大小与x的关系，再定性判断方向)。 例3 如图所示，质量为m的物体A放置在质量为M的物体B上，B与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上作简谐运动，振动过程中A、B之间无相对运动，设弹簧的劲度系数为k。当物体离开平衡位置的位移为x时，A、B间摩擦力的大小等于 [ ] 分析 由于两物体一起振动，任何时候它们的加速度相同。则对(A，B)的整体，当离开平衡位置的位移为x时，所受回复力大小为kx，加速度大小为 对物体A，这个加速度是由A、B间的静摩擦力所产生，这个静摩擦力的大小为 D( 说明 必须注意，振动过程中任何位置上物体所受的回复力，一定同时满足F,kx(指大小)和F,ma的关系。 题中物体A是依靠B对它的静摩擦力作为回复力的，对应于不同位移x，静摩擦力有不同的值。由于静摩擦有一限值fmax，因此保持两者一起振动的振幅也有一限值。 例4 一平台沿竖直方向作简谐运动，一物体置于振动平台上随台一起运动，当振动平台处于什么位置时，物体对台面的正压力最大, [ ] A(当振动平台运动到最高点时 B(当振动平台向下运动过振动中心点时 C(当振动平台运动到最低点时 D(当振动平台向上运动过振动中心点时 分析 物体随平台在竖直方向振动过程中，仅受两个力作用;重力、台面支持力，由这两个力的合力作为振动的回复力、并产生始终指向平衡位置的加速度。 物体在最高点C和最低点d时，所受回复力和加速度最大，设物体在这两个位置时，台面的支持力分别为Nc和Nd，加速度大小均为a0,方向如图所示。 根据牛顿第二定律得 最高点 mg-Nc=ma Nc=mg-ma 00 最低点 Nd-mg=ma Nd=mg+ma 00 ?Nd>Nc 即振动台运动到最低点时，平台对物体的支持力最大。根据牛顿第三定律，物体对平台的压力也最大。 答 C 说明 物体随平台在平衡位置O点以下部分振动时，加速度方向始终向上，相当于超重，台面支持力 N=mg+ma 同理，物体在平衡位置O点以上部分振动时，加速度方向始终向下，相当于失重，台面支持力 N′=mg-ma 由于简谐运动是一种变加速运动，所以振动过程中的不同时刻(或不同位置)物体的加速度不同，但任何时刻(或任何位置)都遵循牛顿第二定律。 例5 如图1所示，弹簧上端与一木板相连结，质量为m的物体放在木板上，与木板一起在竖直方向上做简谐运动。当振幅为A时，物体对木板的最大压力是物体重量的1.5倍，则物体对木板的最小压力是多大,要使物体在振动中不离开木板，振幅不能超过多大, 分析 物体做简谐运动时，所需的回复力由木板的支持力及物体所受重力的合力提供。当物体运动到最低点时，木板向上的加速度最大，物体对木板的压力也最大。当物体运动到最高点时，木板向下的加速度最大，因此物体对木板的压力最小。如果木板向下的加速度等于或大于g，则物体对木板的压力就等于零，物体与木板就要分离了。 解:当物体运动到最低点时，设木板的支持力为N下，则所受回复力为 F=N下-mg 如图2所示。因为这时物体振动的位移大小等于振幅A，设弹簧的劲度 系数为k，则这时的回复力又可表示为 F=kA 由以上两式可得 kA=N下-mg=1.5mg-mg=mg/2 ? k=mg/2A ? 当物体运动到最高点时，物体位移的大小又等于振幅A，设这时木板支持力的大小为N上，如图3所示。同理有 kA=mg-N上 如图3所示。所以 N=mg-kA=mg/2， 上 这也就是物体在振动过程中对木板的最小压力。 由上式可见，物体对木板的最小压力与物体的振幅A有关，A越大，N上越小。若振幅大到某一值A′,使N上=0，这时物体就要脱离木板。由?式可得: kA′=mg-o A′=mg/k, ? 再将?式代入上式，便得 A′=2A 即要使物体在振动中不离开木板，振幅不能超过2A。 例6 一个弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩x后开始振动，第二次把弹簧压缩2x后开始振动，则两次振动的周期之比和最大加速度的大小之比分别为 [ ] A(l?2，l?2 B(1?1，1?1 C(1?1，1?2 D(1?2，1?1 分析 振动的周期只决定于振动体本身固有的性质，对弹簧振子则由振子的质量与弹簧的劲度系数决定，与起振时的初始位移大小无关。 大处，振子的加速度也越大，所以两情况中的最大加速度之比为1?2。 答 C。 例7 弹簧振子的固有周期为0.45s，振幅为5cm，从振子经过平衡位置开始计时，经2.5s小球的位置及通过的路程各多大, 分析 简谐运动是一种周期性的运动，每经过一个周期振子就回到初始状态。 解 由题设条件，简谐运动的周期T和运动时间分别为 T=0.4S，t=2.5S 运动时间的周期数为 因而，2.5S末物体在最大位移处，即位移大小等于5cm。 振子每一个周期通过的路程为 S1=4A=4×5cm=20cm 所以2.5S内通过的路程为 例8 见下表 如果表中给出的是做简谐运动的物体的位移x或速度V与时刻的对应关系，T是振动周期，下列选项中正确的是 [ ] A(若甲表示位移x，则丙表示相应的速度v B(若丁表示位移x，则甲表示相应的速度v C(若丙表示位移x，则甲表示相应的速度v D(若乙表示位移x;则丙表示相应的速度v 分析 只要牢固掌握简谐运动的基础知识，理解质点的位移、速度随时间的变化关系，运用简捷的解题方法，便可迅速选出正确答案，下表给出简谐运动一个周期内位移x和速度v随时间的变化关系，(设开始时质点位于平衡位置且向+x方向运动) 利用上表分析得出正确答案 答 A、B