高数极限和连续

高数极限和连续 【极限】 一、数列极限 1)数列的单调性 对于数列,x,,如果有x?x(即x?xn，1nn21??????x????), n?1，则称,x,是单调增加nn的;若x?x，n?1，则称,x,是单调减少的。 n，1nn2)数列的有界性 如果对于数列,x,，存在正整数M，使得对每一n 个x都满足 n x?M，则称数列,x,是有界的;如果这样的数不nn 存在，则称数列,x,是无界的。 n n，11n，1例: ,,, ,,,1,,，,,是有界的，2nn 2,n,是无界的 3)数列的极限 对于数列,x,，如果当n?时，x无限的趋于,nn一个确定的常数A，则称当n趋于无穷大时，数列 ,x,以常数A为极限，或称数列,x,收敛于A，nn记作: ,A或xA(当n?时) ,,limxnnn,, 否则称数列,x,没有极限，如果数列,x,没有极nn限，就称数列 ,x,是发散的。 n 4)数列极限的性质 定理1:若数列,x,收敛，则其极限值必定唯一 n 定理2:若数列,x,收敛，则它必定有界(反之n 不对～～) 5)数列极限的存在准则 定理3:(两边夹定理) 若数列,x,，,y,, ,z,满足下列条件: nnn?y?x?z，n,1,2，???? nnn ?x,A，,A limznlimnn,,n,, 那么，数列,x,的极限存在，且,A limxnnn,, 定理4:若数列,x,为单调有界数列，则存在 limxnnn,, 6)数列极限四则运算 limxlimy定理5:若,A ,B 则 nnn,,n,, xlim(?y),?y,A?B ?xlimlimnnnnn,,n,,n,, lim?(?y),?y,AB xxlimlimnnnnn,,n,,n,, xnlimxAnn,,?若B?0，则,, limyyBn,,nnlimn,,?对于任意常数a，,a?,,aA xnlimn,, 二、的极限 1)函数在一点处的极限 f(x)?当x?x时函数的极限 0 f(x)如果当x无限的趋于x时，函数无限的趋于一个0 确定的常数A，则称当x?x时，函数f(x)的极限是A，0 记作: f(x)f(x) ,A或?A(当x?x时) 0limx,x0 f(x)?当x?x时函数的左(或右)极限 0 如果当x从x的左边(或右边)无限的趋于x时，函00 f(x)数无限的趋于一个确定的常数A，则称当x?x时，0 f(x)函数的左极限(或右极限)是A，记作: f(x)f(x) ,f(x,0),A 或 ,f(x，0)00limlim,，x,xx,x00 ,A f(x)定理6:,A的充要条件是: limx,x0 f(x)f(x) ,,A limlim,，x,xx,x00 2)x??时，函数的极限 ?当x??时，函数的极限 f(x)如果当x??时，函数无限的趋于一个确定的常数 f(x)A，则称当x??时，函数的极限是A，记作: f(x)f(x) ,A 或 ?A(当x??时) limx,, ?当x?，?(或,?)时，函数的极限 f(x)?，?(或,?)时，函数无限的趋于一如果当x 个确定的常数A，则称当x?，?(或,?)时，函数f(x)的极限是A，记作: f(x)f(x) ,A 或,A limlimx,，,x,,, f(x)定理7:,A的充要条件是: limx,, f(x)f(x) ,,A limlimx,，,x,,, 3)函数极限的性质 f(x)定理8:若存在，则其极限值必定唯一 limx,x0 f(x)定理9:设函数，g(x)，h(x)在点x的某个领域内0(x可除外)满足条件: 0 g(x)f(x)h(x)??? g(x)f(x)h(x)?,,A,则,A limlimlimx,xx,xx,x000 (注:定理8和定理9，当x??时也成立) 4)函数极限的运算法则 limf(x)limg(x)定理10:若 ,A , ,B ,则 limg(x)limf(x)f(x)g(x)?lim[ ?] ,? ,A?B limg(x)limf(x)f(x)g(x)?lim[?] ,? ,AB Af(x)limf(x) ?当B?0时，lim,, g(x)limg(x)B limf(x),,limCf(x)C?, 三、无穷小量与无穷大量 1)无穷小量(0，仅此一个数) f(x)如果x在某个变化过程中，的极限值为0，则 f(x)limf(x)为无穷小量，记作:,0 称在该变化过程中， f(x)定理11:x在某个变化过程中，的极限值为A的充 f(x),A要条件:在x的同一变化过程中，为无穷小量。 2)无穷大量 f(x)若果x在某个变化过程中，无限增大，则称在该 f(x)limf(x),,变化过程中，为无穷大量，记作:。 limf(x)f(x)如果,，?，则称在该变化过程中， 为正无穷大量。反之称为负无穷大量 3)无穷小量与无穷大量的关系 f(x)定理12:在x的同一变化过程中，如果为无穷大 1f(x)量，则为无穷小量。反之，如果为无穷小量，f(x) 1则为无穷大量。 f(x) 4)无穷小量的基本性质 ?若为无穷小量，则,也是无穷小量 ,, ,,,?若，为无穷小量，则也为无穷小量 , ,,,,M?若为无穷小量，且,则为无穷小量 , ,,,,?若，为无穷小量，则为无穷小量 , 注:无穷大量具有性质??，不具有性质?? 5)无穷小量比较 ,和是同一变化过程中的无穷小量 设, ,,?如果,0，则称是比高阶的无穷小量，记作lim,, ，，,,0, ,,?如果,C?0，则称是与同阶的无穷小量;特lim,, ,~,,别的，若C=1，则称与等价的无穷小量，记作 , ,,?如果,?，则称是比低阶的无穷小量 lim,, 两个等价无穷小量可以互相代换，但只能在极限的乘 除法运算中应用 常用等价无穷小量代换有:(当x?0时) ln(1，x)~xsinx~xarcsinx~x tanx~x arctanx~x 2xxe,1~x1cos~ ,x 2 四、两个重要极限 sinxsinf(x)1),1 推广式:,1 limlimf(x)xf(x),0x,0 11nx，(1)(1，x)2),e 特别的:,e limlimnx,,n,, 11 xx(1，x)(1，x),e等价于,e ，这个形式有limlim0x,x,, 如下特征: ?指数的绝对值趋于无穷大 ?括号内是两项之和，第一项是1，第二项是括号外 指数的倒数 1 f(x),,1，f(x)定理14:,e lim,f(x)0 ?推论 f(x)lim,C,0limf(x),0若 ， g(x) f(x)lim1cg(x)g(x),,lim1，f(x),e,e 则: 五、求极限的 ?运用极限的四则运算法通过通分、约分等形式求极限 ?利用无穷小量的性质求极限 ?利用等价无穷小量(或无穷大量)求极限 ?利用两个重要极限求极限 【函数的连续性】 一、 函数连续性的概念 1) 函数在点x处连续 0 y,f(x) 设函数在点x的某个邻域内有定义，当x趋0 f(x)f(x)于x时趋于，则函数在点x处连续，记作:f(x)000 f(x),f(x)lim 0x,x0 y,f(x)f(x)定理15:设在点x的某个邻域内有定义，则0 f(x)在点x处连续的充要条件是，当，的左右极x,x00 限存在且等于函数值， f(x)0 f(x)f(x)limf(x)lim即:,, 0，,x,xx,x00 f(x)由定理15知:构成在点x处连续的三要素是: 0 f(x)?函数在点x处有定义 0 f(x)?当，的极限存在 x,x0 ?极限值,该点函数值 f(x)0 f(x)若上述三点不满足，则在点x处不连续，即间断 02) 左(右)连续 y,f(x) 对于函数， f(x)f(x)limf(x)若,，则称在x处左连续 00,x,x0 f(x)f(x)limf(x)若,，则称在x处右连续 00，x,x0 y,f(x)f(x)定理16:若函数在点x处连续，则在点x处00 即左连续也右连续 3) 函数在区间上的连续 y,f(x)f(x)如果函数在开区间内每点都连续，则称在，，a,b开区间内连续。 ，，a,b y,f(x)如果函数在开区间内连续，且在处右连，，x,aa,b f(x),f(a)x,b续，即 ，在处左连续，即lim，x,a f(x),f(b)f(x)，则称函数在闭区间[a，b]上连续。 lim,x,b 4) 函数的间断点 y,f(x)y,f(x) 若函数在点x处不连续，则称x为的00一个间断点 f(x)f(x) 若在点x处有一下三种情况，则点x就是的00一个间断点 f(x)?在点x处无定义 0 f(x)?当x?x时，的极值不存在 0 f(x)f(x)lim?在点x处有定义，也存在，但是0x,x0 f(x)f(x)lim? 0x,x0 二、 函数在一定处连续的性质 1) 连续函数四则运算(定理17) g(x)设函数，在点x处均连续，则: f(x)0 f(x)g(x)??在点x处连续 0 g(x)f(x)??在点x处连续 0 f(x) g(x)?若?0，则在点x处连续 0g(x) 2) 复合函数连续性 u,g(x)y,f(u)定理18:如果函数在处连续，在x,xu,g(x)000 ,,fg(x)连续，则，在处连续， x,x0 ,,fg(x),,fg(x)在x处的极值,在x处的函数00值 ，， ,,,,fg(x),fg(x),fg(x),,0limlim即: x,xx,x00，， g(x),u0g(x)f(u)推论:若x是的间断点，存在，且lim0x,x0 ，， ,,fg(x),fg(x),,limlim在点处连续，则仍有 u0x,xx,x00，，3) 反函数的连续性 y,f(x)定理19:如果函数在某区间上连续，且为严格 ,1单调函数，则它的反函数也在对应区间上连续，y,f(x) 且严格单调 三、 闭区间上连续的函数性质 f(x)f(x)定理20(有界定理):若函数在上连续，则,,a,b f(x)在上必有界，即存在M,0，对任意，总有,,a,bx,,,a,b?M f(x)f(x)定理21(最值定理)若函数在上连续，则在,,a,b 上必能取得最大值M和最小值m，即在上存在,,a,b,,a,bx1与使得 x2 f(x),mf(x),M?， 12 f(x)?m??M， x,,,a,b f(x)定理22(介值定理)若在上连续，且其最大值、,,a,b 最小值分别为M、m，则对于在M和m之间的任意实数 fC(n,C,M,，必定存在ξ?，使得(ξ)=C ，，a,b f(x)推论(零点定理):若在上连续，且,0，，，，，,,a,bfa,fb f，使得(ξ)=0 则必存在ξ?，，a,b 定理23:初等函数在其定义域内连续 求初等函数极限的方法 F(x)?若点x是初等函数定义域中的一点，则0 F(x),F(x)0lim x,x0 g(x)?若点x是的可去间断点，则0 ，， ,,Fg(x),Fg(x)lim ,,limx,xx,x00，，