万有引力势与电势关系及万有引力常量1

万有引力势与电势关系及万有引力常量1 万有引力势与电势关系及万有引力常量1 余德才 1～曹文娟 2～王新民 1 1.河北工程大学理学院～邯郸,056038, 2 石家庄经济学院数理学院～石家庄 (050031) E-mail:yudecaigood@163.com 摘 要:本文基于整体观和相对性理念～提出了相互作用的数理模型,引入对比参量～建立 了对比万有引力势、对比电势,进一步定义了系统量综合因子 S r ～从而导出万有引力势与 电势的关系式V gr , ,G r S rVer 。运用逻辑推理,包括演绎,和归纳综合相结合的方法～从经典 物理学的源头--电流强度单位的定义和电量单位的定义出发～结合元电荷测定原理、气体分 子动理论以及相对论质量公式～导出了万有引力常量 G 的关系式: 4 m p (C?G?S)～解释了 G 的测量值的大小、变化及其范围～消减 G (, p ) , 1 2 2 e p [1 (, c ) ] p 了一个物理基本常数。 关键词:万有引力常量～关系式～数理模型～万有引力势～电势 中图分类号:O41 1. 引言 四种力场的统一属理论物理学最基本问之一。二十世纪以来，沿“对称性”原理，已建 立了电磁相互作用、强相互作用、弱相互作用统一的理论。然而它们与万有引力作用的统一 ,1, 还存在许多困难，人们期待着由精确测量万有引力常量 G 得到启发和推动 。自 Cavendish ,2, 1798 年采用精密扭秤取得历史上第一次较为精确的万有引力常量 G 的测量值以来，人们 ,3-8, 采用了各种各样的方法和技术，进行了艰苦卓绝的测量工作 ;然而 G 仍然是被测定的自 然基本常数中最不精确的，测量结果的精度和吻合度出现不一致，各测量结果之间的吻合度 仅达到 10-3 量级。在理论上，有的预言万有引力常量的非恒量性，引力理论认为 G 与宇宙 ,1, 的质量密度相关 等等。到目前为止万有引力常量的本质还不清楚。作者在观察自然系统 的基础上，基于整体观和相对性理念，提出了相互作用的系统势模型;引入对比参量，推导 出万有引力势与电势的关系;同时，从最基本物理量单位的定义和测定原理出发，运用逻辑 推理(包括演绎)和归纳综合相结合的方法，导出了万有引力常量 G 的本质关系式。 2. 相互作用数理模型 众所周知，自然界中小到微观粒子，中到动植物系统和人类系统，大到天体系统，无不 处在相互作用和演化中，如何认知所选定的系统,存在着观察者理念、认知的方法、所选时 间和空间的间隔、测量工具和测量方法等的差异;存在着认知过程中所获取的信息的不完备 性等，因此，认知的结果存在差异、而对系统的描述必然存在近似性。 在传统自然科学中，相互作用被分类为万有引力相互作用、电磁相互作用、强相互作用、 弱相互作用等，各类相互作用被施于相应(直接或间接)的测量工具和配套的测量规则进行 定量，它们是系统相互作用的各侧面反映。因此应从系统整体出发去统一各种相互作用。 自然现象中，球类系统的存在和稳定性(如各类星体、胚胎及卵、液滴、细胞、原子、 原子核、质子、电子、光子等)以及各类系统界面能自动降低的趋势等，都表明系统对外是 1 本课题属于“万有引力作用与电磁相互作用统一的研究项目”内容之一，得到中国高等教育学会“十一 五”教育科学研究规划课题(06AIJ0240031)的资助。 -1- 有势的、且趋向球对称势和球对称结构。如万有引力势-Gm/r、原子核的中心力场势 Ze/r(为 简便，这里用 C?G?S 制单位)，即系统对外的共同特征是趋向中心对称势或中心对称结构。 因此，我们假定:球形对称系统的势为 (1) V , k A r ( r ? r0 ) 式中 r 为有势点到系统中心的距离，r0 为球对称系统的半径，k 为比例常数(可正、可负， 其正负属人为规定)，A 为系统的“系统量”。不同类型的测量工具对应不同“系统量”，反映 系统势的不同方面—对应于传统不同类型的势，如质量对应于万有引力势，电量对应于电磁 势等。尽管各种类型的势的意义、数值大小差异很大，但它们之间存在本质的联系。 考虑到质子和中子、原子核、原子、分子、细胞、宏观物体、天体等系统在物质层次上， 可统一在质子层次上，因此选质子系统为基准，引进三个对比参量: mr , m m p (2) rr , r r p q r , q e p , , mr、qr、rr 分别被称为对比质量、对比电量、对比距离。式中 m、q 分别为系统的质量、电 量。mp、ep、rp 分别为质子的质量、电量、半径。因此，球对称系统的对比万有引力势 Vgr 和对比电势 Ver(考虑到万有引力常量求取方便，这里采用 C?G?S 制关系式)分别为 (3) V gr , Gr mr rr ( rr ? r0 / rp ) ( rr ? r0 / rp ) Ver , q r rr (4) (3)式中，Gr 的单位是 1，称为无量纲万有引力常量。 令 mur、qur 分别为单位对比质量、单位对比电量，当 mr,mur =1、 qr ,qur =?1 时，称 为“条件”。那么“标准条件”下，球对称系统的“系统量”在一定的对比距离上产生的势一 定，或不同类型的势相差一比例常数。其数学表达式为 Vgur , ,k1Veur , …… 或 (5) Veur , ,Vgur k1 , …… 式中 Vgur、Veur 分别为单位对比质量和单位对比电量在对比距离处产生的对比万有引力势和 对比电势，k1 为“标准条件”下对比万有引力势与对比电势的比例常数。 3. 万有引力势与电势关系 将标准条件下的对比万有引力势 Vgur , Gr mur / rr 和对比电势 Veur , qur / rr 代入?式 得 (6) G r m ur rr , ,, 1 q ur rr (6)式中，单位对比质量 mur 等于 1，单位对比电量 qur 等于 1 或,1，rr 相同，所以“标准 条件”下， (7) k1 , Gr 代入(5)得 (,) Vgur , ,GrVeur (8)式的物理意义是:单位对比质量产生的万有引力势是单位对比电量产生的电势的?Gr 倍。Gr 的数值可由满足“标准条件”的系统的经典势的定义推得，经典物理中，系统万有引力 势或电势的分布大小，在数值上等于单位质量或单位正电荷的试验质点在该点的对应的势 能。那么(8)式中，两种势的分布大小，在数值上应分别等于单位对比质量或单位对比正 -2- 电量的试验质点在该点的势能。对于满足“标准条件”的系统 m q m q 则 令 / , ,G , , ,G , G G r r r r 左边的分子、分母同除以 mp，右边的分子、分母同除以 ep，且等式两边分母分别除以 rp， 将系统量和距离变换为对比参量表示，并整理得 Gmpmur eprr ,,G, qur rr 再将单位质量和单位电量(C?G?S 制单位)的试验质点换成相应的单位对比质量(数值上是 mp)和单位对比电量(数值上是 ep)的试验质点，即等式左、右两边分别乘以 mp 和 ep，而 G′变成另一常数 Gr，整理得 G m2pmur e2p rr , ,Gr qur rr mur =?qur =1， 所以 2 2 8 1.67262 ,10 24 m p (9) G r , G , 6.6742 ,10 , 8.0934 ,10 37 10 2 4.80321,10 e p 综合(9)式和(8)式:单位对比质量产生的万有引力势是单位对比电量产生的对比电 势的?Gr =?8.0934×10-37 倍。即标准条件下，电势的数值比万有引力势大 1.2356×1036 倍，这 正是质子势大小由电势表征的原因。 6)、(7)两式得 由( (10) mur rr , , qur rr (11) mur qur , ,1 (10)式表明:标准条件下，系统的单位对比质量与对比距离之比等于单位对比电量产生的 电势的绝对值。利用之可以粗略估算系统的线度如原子大小等等。(11)式表明标准条件下， 系统的单位对比质量与单位对比电量比等于?1。式中 mur / qur 综合了质量和电量两系统量， 由此引入系统量综合因子 Sr (12) S r , mr q r Sr 称为对比质电比，它综合了系统的质量和电量两系统量。反映系统结构的某些综合特征。 因此，用静态的质量、电量数据计算出的 Sr(或结合“系统量”)将决定系统的一些静态性质 如系统大小、稳定性等。 将(8)式两边同乘以 mr ×qr，整理得 (13) V gr , ,Gr S rVer (13)式是万有引力势与电势的关系。它表明:球对称系统的对比万有引力势是对比电势的 ?GrSr 倍，较标准条件系统增加了一项系统量综合因子 Sr。Gr 是两势差异之共性部分-比例系 数， Sr 是系统的差异因素，它随系统的不同而变化，因此，它是决定自然系统多样性因素 之一。 例如电子(近似看成球对称系统)的两种势之比为 V gr Ver , Gr S r , Gr me m p , 4.4078 , 10 40 式中 me 为电子的质量。 再如中子星的两势之比为 V gr Ver , Gr S r , Gr mneu m p qr -3- mneu 是中子星的质量。由此可以计算中子星所带的电荷数，当中子星的万有引力势大于电势 时 q r , Gr mneu m p 摩尔元电荷。 若中子星质量等于两倍的太阳质量，则 qr,2×1019 元电荷，即 qr,3.3×10-5 可见中子星所带电量确实太微弱了。 4. 万有引力常量 G 的本质 4.1 影响 G 的因素 根据(3)、(4)两式可知:两种势的数值差异，根源在于质量与电量的不同，结合(8) ,9-10, : 和(9)式可得，G 应与质量和电量有关。由经典物理学的源头-电量单位(C?G?S)的定义 真空中两等值的正点电荷 q，如果相距为 1cm，相互作用的静电斥力为 1 达因时，那么，每 ,11, :安培是一恒 个正点电荷的电量定义为 1[静电制电量单位](或电流强度单位(SI)的定义 定电流强度,若保持在真空内相距 1m 的两无限长的圆截面极小的平行直导线内。这电流在这 两直导线之间每米长度上产生的力等于 2×10-7 牛顿)。可见，电量(或电流)的计量是通过 力来计量，并通过力与质量相互联系在一起。 ,12, ，就是在重力与电场力联合影响漂浮在空气中带电油 再考查密立根油滴实验测 e 值 滴的运动而测得，这意味着电荷 e 中包含了质量系统量 m 的折合，即万有引力作用与电磁 作用的转换关系，所以 e 与 m 和万有引力常量 G 之间必有一定的关系;由于万有引力常量 G 的“万有性”，G 应与各类系统深层次的统一性的基准——质子质量 mp 和电量 ep 相关;质 子 ep/mp 的测定给出了电磁作用系统量与万有引力作用系统量的折合关系。因此，G 应是 mp/ep 的函数。 4.2 对应 G 的质子的有效电量 从构成物质的原子和分子层次看，自然物质中两原子核间的距离相对于原子核的线度是 足够的远(105 数量级);相互作用的两原子核之间，其质子与质子的距离也是足够的远，以 至于质子电荷的分布形状近似不变。万有引力常量 G 恰好与该分布形状的质子电量 ep 的有 效电量 eeff 相对应。质子电荷分布的非均匀性，可以变换为面密度相同的非球变形体，若面 2 2 密度取球形质子电量平均分布值 e p / 4 rp ，变形体的面积元为 ，1 2，rp d,d, ，则 eeff 等于该 面密度与面积元在变形体面上的积分，即 2 e p e p e p 1 2 , 2 , , (14) e p rp d,d, , eeff , ，， 2 ， d, ， d, , 0 0 4 8 8 4 rp 2 可见，质子的有效电量等于质子电量的 π/4 倍。 4.3 G 与 mp 关系的提示 ,13-14, 在油滴实验 (静态平衡法)中，油滴在重力和粘滞力作用达终极速度时，有 (15) 6 ,r, , mo g 式中 m0、r、υ 分别为油滴的质量、半径和终极速度，g 为重力加速度，它正比于万有引力 常量 G,η 为空气的粘度。由(15)式得 (16) , g G ,15, 根据气体分子动理论 ，空气的粘度为 -4- , , 1 3 ，, ， (17) 式中 ρ、 , 、 ， 分别为气体的密度、气体分子的平均速率和气体分子的平均自由程。将 ， , nm 、, ,，8kT n，1 2、 ， , 1 2 d 2 n 代入(17)式得 1 1 m 8kT 2 kT , , , (18) nm 3 2 3 m d 2 3 2 d n 式中 n 为气体分子数密度，m 为气体分子的质量，d 为气体分子的直径，k 为玻尔兹曼常量， T 为热力学温度。(18)式表明:空气粘度正比于空气分子的质量的二分之一次方。由于空 气分子的质量近似正比于质子的质量 mp，于是 (19) , m p 将(19)式代入(16)式得 G m p (20) (20)式表明:万有引力常量 G 与质子质量的二分之一次方成正比。 4.4 万有引力常量 G 的本质 由上述讨论得， G 是 mp/(πep /4)的函数，并且与 mp 的二分之一次方成正比。(9)式中， G 是隐函数形式，将(9)变形为 1 / 4 1 / 2 1 / 2 1.67262 ,10 24 m p 4 2 Gr , , 6.65868 ,10 8 , 10 G e / 4 3.14159 , 4.80321,10 / 4 p p m我们定义: =6.65868×10-8 (21a) G0 , e p 4 ,2-7, 在数值上 (21a)表明:G0 是 mp/(πep /4)的函数，并且 G 0 的数值与表 1 中 G 的各测量值 非常一致(G 也可以无量纲，为保证万有引力定律等式两边量纲一致，可以在等式右边乘上 “,cm3?g-1?s-2”) ,相对误差仅千分之几，说明两者在数值上是同一性的;比较 G0 值与表 1 中 测定值，所有测定值都大于 G0 值，表明 G0 是一个极限值，即对应于质子速度等于零的值。 在实际测量 G 时，相互作用的子系统中，原子核内质子的速度不等于零，所以，质子 的质量与电量所耦合的 G 还包含质子质量的相对论效应，应考虑之，由(9)式的推导过程 得 1p/12 m1p/22 4m G(, p1 ,, p 2 ) , 1 , 当 υp1?υp?时 2 4 4m p , , P , 1 (21b) , G0 ,1 , G(, p ) , 1 2 e p [1 (, p c) 2 ] , c , , , υp1 和 mp1 分别为球对称系统中质子的速度和静质量，υp?和 mp1 分别为试验质点中质子的速度 和静质量，(其中 mp1= mp1。= mp)。(21b)表明 G(υp)的数值也有不确定性，随质子运动速 度增加而变大，但在显宇宙中一般变化范围很小，这与文献,8,报道的 G 与测量系统有关 (包括相互作用的物质成分)，其变化范围仅千分之几的结果也是一致的。当 G(υp)取 -5- ,7, 时，由(15b)式计算出对应的质子速度为光速的 0.09 CODATA G2002=6.6742(10)×10-8 ,16, 倍，该速度数量级正是原子核内质子运动速度的数量级 的不确定性。 表 1 万有引力常量 G 的测定值 Table1 Results of the experimental measurements of G 来源 G(×10-8cm3?g-1?s-2) 来源 G(×10-8cm3?g-1?s-2) Cavendish,1798 6.754 Fitzgerald, et al.1999 6.6742 Poyting,1891 6.698 Walesch, et al.1995 6.6719 Boys,1895 6.658 Kleinevob, et al.1999 6.6735 Braun,1895 6.658 Karagioz, et al.1998 6.6729 Heyl,1930 6.678 Bagley, et al.1997 6.6740 Zahradnicek,1933 6.659 Schurr, et al.1998 6.6754 Heyl,et al.1942 6.668 Nolting, et al.1999 6.6749 Rose,1969 6.674 Schwarz, et al.1998 6.6873 1986 CODATA value 6.6726 Luo, et al.1999 6.6699 Michaelis, et al.1995 6.7154 1998 CODATA value 6.673 Fitzgerald, et al.1995 6.6656 2002 CODATA value 6.6742 (21b)式可变形如下: 3 , 4 , , , 2 , p2 3, p2 0 , c 2 4c 2 c 2 , p2 , ,, ,, 2 2 3 p , c则 当, p ,, c 时， 4c 2 2 , , 4 2 ce , , c , p ,, , p 该式给出的万有引力常量 G(υp)的形式与文献,8,的一种 G(r)形式也是一致。因此，从 G(υp) 的关系式及其推导、数值大小及其微小变化等都说明万有引力常量 G 等于 G(υp)即 4m p (22) G , G(, p ) , 1 2 e p [1 (, p c) 2 ] 它取决于质子的荷质比 ep/mp，并具有相对论效应。它起源于质子质量与电荷的折合，或者 说 G 是质子质量和电荷的整合。 5. 结论 综上所述，通过提出相互作用的数理模型，引入对比参量，结合经典万有引力势和电势 的数学表达式，建立了对比万有引力势和对比电势，定义了系统量综合因子 Sr，从而导出了 电势与万有引力势的关系式。通过对电量(或电流强度)单位定义、元电荷测定原理及质子 核质比测定原理的分析和逻辑推理，结合气体动理论和相对论质量公式，导出了万有引力常 量 G 的关系式，G 的表达式不仅解释了其测量值的大小、变化及其范围;同时还可以很好 地说明黑洞现象及其本质;更重要地消减了一个物理基本常数，揭示了自然规律、经典力学 理论和测量系统的自洽性。为进一步统一万有引力相互作用和电磁相互作用奠定了基础。 ，这很好地解释了 G 的 10-3 量级 -6- , 1 1 p , , G ,1 ， , G(, p ) , G0 ,1 ， 2 , c , p2 ,, , 3, p 1 2 , e 2 3, p G(, p ) , G0 ,1 ， 2 , 2 参考文献 [1] 罗俊，胡忠坤，傅湘辉等.扭秤周期法测量万有引力常数 G[J].中国科学(A 辑).1998，9(9)，841-847 [2] 赵凯华，罗蔚茵.力学.北京:高等教育出版社，1998 [3] C. 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The contrastive parameter is introduced, and the contrastive gravitational potential and the contrastive electrostatic potential are established. Then Synthesis factors of “system’s amount” S r is defined, and the relationship between gravitational potential and electrostatic potential is concluded: V gr , ,Gr S rVer . The natural relationship of 4 m Gravitational Constant (G) is also concluded: (C?G?S), In which p G (, p ) , 1 2 2 e p [1 (, c ) ] p from definition of must basic unit of current intensity (SI)or coulomb (C?G?S) in classical physics, the measuring principle of unit charge e and the gas kinetics are combined, and the formula of relative theory of mass is used, by the use of the methods of logical inference (and deduction) with concludiung synthesis. it is explained that the determined values of G in the size and varing and changed range.A basic physical constant is removed. Keywords: Gravitational Constant, relationship, arctic-physic model, gravitational potential, electrostatic potential -7-