幂级数求和函数的类型与解法

幂级数求和函数的类型与解法 幂级数求和函数的类型与解法 N0.9.2010 北京电力高等as科学校 BeijingElectricPowerCollege教育研究回 幂级数求和函数的类型与解法 邓俊兰李鑫 (南阳师范学院数学与统计学院,河南南阳473061) 摘要:幂级数求和函数是级数这一章的重点和难点.根据多年教学经验,对幂级数 求和函数总结出四种常用类型及其解法. 关键词:幂级数;和函数;几何级数 中图分类号:Ol一0文献标识码:A文章编号:1009—0l18(2010)一09—0137—02 幂级数是微积分中十分重要的之一,而求幂级数的 和函数是一类难度较高,技巧性较强的问题,对于学生来说 是一个难点,因此有必要对幂级数求和函数这类问题进行研 究探讨.求解幂级数的和函数时,常通过幂级数的有关运算 (恒等变形或运算)把待求级数化为易求和的级数(即常 用级数,特别是几何级数(又叫等比级数)?),求出转化后 的幂级数和函数后,再利用上述运算的逆运算,求出待求幂 级数的和函数.本文总结了幂级数求和函数问题的四种常 见类型,并给出了各种类型下的解法. 一 ,类型一:通过恒等变形化为常用级数的幂级数求和 函数S(x) 计算幂级数的和函数,首先要牢记常用级数的和函数, 在此基础上,借助四则运算,变量代换,拆项,分解,标号代换 等恒等变形手段将待求级数化为常用级数的标准形式来求 和函数.其中,常用级数的和函数为:击,备=ex, 薹(_1)nX2n~l:sirtt南----"COSX善(_旷Xn=In(1 例l求喜的和函数). 解:容易求得收敛域为(一..,+o.),则和函数)定义域 为(一00,+?). 南+蓦鲁萎吾+刹踟, (oO<X<q-oO). 二,类型二:求P()的和函数),其中尸(")为"的多 项式 (一)解法:1,用先逐项积分,再逐项求导的方法求其和 函数.积分总是从收敛中心(?P(,1)收敛中心为0, ?P()(一)傲敛中心为莉)到积分;2,也可化为几何级数 的和函数的导数而求之,这时不必再积分. (二)基本题型:求级数????nx??? ?n(n+1)x的和函数x). 因?,?司直接利用的结论求得,回仅给出,的 求解过程. 解?(法一)收敛域为(.1,1),对级数逐项积分再逐项求 导: ?=喜出=喜=. ?=(f)(=而11)o (法二)将级数化为几何级数的和函数的导数而求之: 艺c=y=(善]=(xJ'=而1n=-In=-Ic一?<\月I\^/,1一^, ?(法一)收敛域为(.I,1),在收敛域内对级数先逐项积 分两次,再逐项求导两次求之: = 耋(n+1)出=(+1)曾厂() = 喜川="=苦 = 叫=(=砑2x-x2(-1) 所州_(】= (法二)更简便的是将级数化为几何级数的和函数的导 数而求之: = 喜n(n+1)xk,n=l()=?(:{?I=II=(一11Hl/,?l—- (三)结论:=o卜(-11)(1) nx"=S r~4(喜一(-l1)(2)1U—, 取"=o)=x2ZnxX-(-1<1)(3) ")而2(-1<1)(4) -1'l—J 例2求+1)的和函数). 解:由(4)式得:.n+m砉"+l百, (.1<<1). 例3求nz的和函数.). 解:敛域(.1.1).可先诼项积分两次再诼项求导两 作者简介:邓俊兰(1981-),女,陕西人,学士,河南省南阳市南阳师范学院数学与统计 学院助教;李鑫(1979一),男,河南南阳 人,助教,硕士,从事数学教育,图像处理等研究. 137 No.9.2010 北京电力高等专科学校 BeijingElectricPowerCollege教育研究画 求之,过程略:也司化为儿伺级数和函数的导数求之: ()=?n=?n(n+1)x-Z眦一=?()一?() = (]一(驯=(一(]=尚. 三,类型三:求的和函数),其中Q)为的多 项式 (一)解法:1,对级数先逐项求导,再逐项积分求其和函 数),积分时,不要漏掉0)(或.))的值,即 ()=)出+(0);2,也可化为几何级数的和函数的积分 求之. (二)基本题型.求?喜?善喜Xn-I的和函数 因?,?可直接利用?的结论求得,下面仅给出?的求 解过程. 解:?(法一)收敛域为[.1,1),对级数在收敛区间(一1,1) 内先逐项求导,再逐项积分的方法求和函数): )==x~l_11). 则)=o)出+(0)=l_出+0=一1n(1一)(一11) 由和函数)在收敛域内连续得:?n=l 兰_ ?1 O)=-ln(1一) (一1<<1) (法二)化为几何级数的和函数的积分求之: n=l17 = o)'出n? (一l<x<1) (法三)化为常用级数的标准形式求之: 喜等=)=与(_y=一.(_if-,(_y:一n(一) (1<x<1) (二)结论:)=一n(1一)(一1<1)(5 mxn+l = )=喜等=-xln(1一)(一1<1)(6) 砉睾' 例4求【_的和函数). 解:收敛域为[一1,1],可以对级数先逐项求导两次,再逐 项积分两次的方法求和函数),方法与上类似,过程略,也 可直接利用上面的结论(5),(6),则当(一1?<1)时, — 芝一1:(n(1I,n(n+1)nn+1 138 由)在收敛域内连续得: 善丽xn+l)=?,一. 四,类型四:求含阶乘因子的幂级数的和函数s(x) (一)分解法:将幂级数一般项进行分解等恒等变形,利 用,sin及COS的幂级数展开式,求其和函数.一般分母的 阶乘为!的幂级数常用的展开式来求其和函数;分母的 阶乘为(2+1)!或(2)!的幂级数常用sinx及COSX的展开 式来求其和函数.求和过程中要注意利用标号变换,将待求 级数化为e,sin及COS的幂级数展开式的标准形式. (二)逐项求导,逐项积分法 (三)微分方程法:含阶乘因子的幂级数(特别是形如 盂2,3……))的和函数),常用解满足的常微分 方程的初值问题而求之.为此先求收敛域,求出和函数的各 阶导数以及在点0处的值,建立)的常微分方程的初值问 题,求解即得所求和函数. 例5求NNN~S(x). =0 解:(法一) )喜志X2n鲁 =2x喜鲁t+砉鲁=z+e(一佃)=一+兰—一=2g+ef一?<<+?,!!, (法二)收敛域为(一..,+..), = 薹dx==薹鲁… 则)=l(f)I:(P)=2P+(一..<+.. (法三)转化为S(x)的常微分方程的初值问题: ()一2xS(x)=4xe,(O)=1,解微分方程,得()=2xPz+P (.oO<X<+oO) 要掌握幂级数求和函数需要记住常用级数的和函数,以 及本文所总结的四种基本类型及其解法,很多题都可以化为 本文中的基本类型.此外,很多题还可以一题多解,要注意 积累总结. 参考文献: [1]朱来义.微积分[M].北京:高等教育出版社,2004. [2]同济大学数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2007