两类易混淆的函数问题：抽象函数的周期性与对称性

两类易混淆的函数问题：抽象函数的周期性与对称性 两类易混淆的函数问题:抽象函数的周期性与对称性 一、教学内容 抽象函数的周期与对称轴 二、教学重、难点 重点:抽象函数周期与对称轴的相关结论。 难点:结论的推导证明，利用结论解决问题。 三、具体内容 T1. 若则的周期为。 f(x),f(x，T)f(x) T,b,a2. 若则的周期为。 f(x，a),f(x，b)f(x) 证:令 ? f(x),f(x，b,a)x,x,a T,2b,a3. 若则的周期。 f(x，a),,f(x，b)f(x) 证:令 ? ? f(x),,f(x，b,a)x,x,a 令x,x,b ? ? f(x，a,b),,f(x) 由??得: ,f,,,,x，(a,b),,fx，(b,a) T,2b,a ? ? f,,,,x，(a,b),fx，(b,a) a，bx,4. 若则图象的对称轴为。 f(a，x),f(b,x)f(x)2 a，ba，bf(，x),f(,x)证:要证原结论成立只需证 22 a，ba，bb,ax,，xf(，x),f(,x)令代入 则 f(a，x),f(b,x)222 a，b,,5. 若则的图象，以为对称中心。 ,0f(a，x),,f(b,x)f(x),,2,, a，ba，bf(，x),,f(,x)证:方法一:要证原结论成立只需证 22 b,ax,，x令代入 f(a，x),,f(b,x)2 a，ba，bf(，x),,f(,x)则 22 C方法二:设它的图象为 y,f(x) a，b,,'‘PP(a，b,x,,y),P(x,y),C 则关于点,0的对称点 ,,00002,, ,,,,f(a，b,x),fa，(b,x),,fb,(b,x),,f(x) 0000 'f(x),yf(a，b,x),,y? ? ? P,C0000 录入:李俊杰 1 两类易混淆的函数问题:抽象函数的周期性与对称性 【几个重要的结论】 (一)函数图象本身的对称性(自身对称) 1、函数满足(T为常数)的充要条件 y,f(x)f(T，x),f(T,x) 是的图象关于直线x,T对称。 y,f(x) 2、函数满足(T为常数)的充要条件 y,f(x)f(x),f(2T,x) 是的图象关于直线x,T对称。 y,f(x) 3、函数满足的充要条件 y,f(x)f(a，x),f(b,x) (a，x)，(b,x)a，bx,,是图象关于直线对称。 y,f(x)22 4、如果函数满足且，(和是不相等的常数)，f(T，x),f(T,x)f(T，x),f(T,x)TTy,f(x)112212 则是以为为周期的周期函数。 2(T,T)y,f(x)21 T,05、如果奇函数满足()， y,f(x)f(T，x),f(T,x) 则函数是以4T为周期的周期性函数。 y,f(x) T,06、如果偶函数满足()， y,f(x)f(T，x),f(T,x) 则函数是以2T为周期的周期性函数。 y,f(x) (二)两个函数的图象对称性(相互对称)(利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解) 1、曲线与关于X轴对称。 y,f(x)y,,f(x) 2、曲线与关于Y轴对称。 y,f(x)y,f(,x) 3、曲线与关于直线对称。 y,f(x)y,f(2a,x)x,a x,b4、曲线关于直线对称曲线为。 f(x,y),0f(x,2b,y),05、曲线关于直线对称曲线为。 f(x,y),0x，y，c,0f(,y,c,,x,c),06、曲线关于直线对称曲线为。 f(x,y),0x,y，c,0f(y,c,x，c),07、曲线关于点对称曲线为。 f(x,y),0P(a,b)f(2a,x,2b,y),0 ,x,Rk注:一个结论:设，都有且有个实根，则所有实y,f(x)f(x),f(2a,x)f(x),0(k,2) ka根之和为 录入:李俊杰 2 两类易混淆的函数问题:抽象函数的周期性与对称性 【典型例题】 【例1】 对于，有下列命题。 x,Ry,f(x) (1)在同一坐标系下，函数与的图象关于直线x,1对称。 y,f(1，x)y,f(1,x) (2)若且均成立，则为偶函数。 f(1，x),f(1,x)f(2，x),f(2,x)f(x)(3)若恒成立，则为周期函数。 f(x,1),f(x，1)y,f(x) x(4)若为单调增函数，则也为单调增函数，其中正确的为 y,f(a)f(x)(a,0且a,1) 解:(2)(3) 3【例2】若函数 ,x,R有求。 f(x),(x，a)f(1，x),,f(1,x)f(2)，f(,2) 3,x,R解: ，知的图象关于对称而f(x),(x，a)的对称中心 f(x)f(1，x),,f(1,x)(1,0)P(,a,0) 33a,,1 ? ? f(x),(x,1)则f(2)，f(,2),1,(,3),,26 R,x,R,1,x,1【例3】设是定义在上的函数，均有，当时，f(x)f(x)，f(x，2),0 1,x,3，求当时，的解析式。 f(x),2x,1f(x) T,4,x,R解:由有得 f(x),,f(x，2) 设则 ， x,(1,3](x,2),(,1,1]f(x,2),f(x,2，4),f(x，2),,f(x) 1,x,3?，? 时 f(x),,f(x,2),,[2(x,2),1],,2x，5f(x),,2x，5 2R【例4】已知是定义在上的函数且满足，当时有f(x),x则 f(x)f(x)，f(x,1),1x,[0,1] 22f(x),2x,x(1)是周期函数且周期为，(2)当时， f(x)x,[1,2] 3f(,2004,5),(3)其中正确的是, 4 解:(1)(2)(3) 2,6,x,,2f(x),x，bx，c【例5】已知满足，，当时f(x)f(x，2),f(x,2)f(4，x),f(4,x) bcm,f()n,f()m、n、p且，若，，求大小关系, f(,4),,13p,f(11)32 T,4x,4x,,4解:由已知得，对称轴 ? 也为一条对称轴 4c,64b,,,4b,8,,13c,3 ? ? 由 ? ? f(,4),,1324 83m,f()n,f()n,m,p ? ，， ? p,f(11),f(3)32 录入:李俊杰 3 两类易混淆的函数问题:抽象函数的周期性与对称性 ,R【例6】 定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当x,[0,],f(x)f(x)2 5时，求f(,)的值。 f(x),sinx3 5223,,,(),(，),(),(,),(),sin,解 fffff,,,,3333332 R【例7】 设定义在上，有且当x,0时， y,f(x),m,n,Rf(m，n),f(m),f(n)0,f(x),1 R(1)求证:且当x,0时， (2)求证:在上递减。 f(x)f0),1f(x),1 解:(1)在中，令m,1，n,0得 f(m，n),f(m),f(n)f(1),f(1),f(0) ? ? 设x,0，则,x,0令代入条件式 0,f(1),1f(0),1m,x，n,,x 1有而 ? f(x),,1f(0),f(x),f(,x)f(0),1f(,x) (2)设则 ? x,xx,x,00,f(x，x),1122121 令则代入条件式得 m,x，m，n,xn,x,xf(x),f(x)f(x,x)12212121 f(x)2R即 ? ? 在上递减 f(x),f(x)0,,1f(x)21f(x)1 【模拟试题】 一、选择题 x,Rf(1),21. 已知满足，且是奇函数，若则( ) f(x)f(x，3),f(x)f(x)f(2000),A. B. C. D. 2,23，23,2 R0,x,22. 已知是定义在上的偶函数，且对任何实数均成立，当时，f(x)f(x，4),f(x) 398,x,400，当时，( ) f(x),xf(x), x,398x,400x,398400,x398,xA. B. C. D. ,,,,x,Rf(，x),f(,x)f()3. 若函数，都有则等于( ) f(x),3sin(,x，,)666 03,33,3A. B. C. D. 或 3y,cos(,,2x)4. 函数是( ) 2 2,A. 周期为的奇函数 B. 周期为的偶函数 , 4,C. 周期为的奇函数 D. 周期为的奇函数 , 录入:李俊杰 4 两类易混淆的函数问题:抽象函数的周期性与对称性 5. 的图象关于轴对称的充要条件是( ) yf(x),2sin(2x，,) ,,2A. ,k， B. ,,2k,，, C. ,k， D. ,,k,，, ,,,,226. 如果且则可以是( ) f(x，,),f(,x)f(x),f(,x)f(x) sinxsinxA. sin2x B. C. D. cosx y,sin(x，,)，3cos(x,,)7. 为偶函数的充要条件是( ) ,,,,22,k,,k,,k,,k，A. B. C. D. 提示:2空白处是无用,,,,,,,,3666的，请跳过阅读吧-----------------It博客 提示:2空白处是无用的，请跳过阅读吧------------It博客 提示:2空白处是无用的，请跳过阅读吧------------It博客 录入:李俊杰 5 两类易混淆的函数问题:抽象函数的周期性与对称性 录入:李俊杰 6 两类易混淆的函数问题:抽象函数的周期性与对称性 文档收集整理均为itboke所贡献--要学习更多知识请到it博客学习～-------------------www.itboke.net R0,x,18. 设是上的奇函数，当时，，则( ) f(x)f(x，2),,f(x)f(x),xf(7.5), 0.5,0.51.5,1.5A. B. C. D. 2,x,tf(x),x，bx，c9. 设，有那么( ) f(2，t),f(2,t) A. B. C. D. f(2),f(1),f(4)f(1),f(2),f(4)f(2),f(4),f(1)f(4),f(2),f(1) R10. 定义在上，则与的图象关于( ) y,f(x)y,f(x,1)y,f(1,x) 录入:李俊杰 7 两类易混淆的函数问题:抽象函数的周期性与对称性 A. 对称 B. 对称 C. 对称 D. 对称 x,0x,1y,0y,1 二、 填空题 ,R1. 是上的奇函数，且， 。 f(x)f(x，2,),f(x)f(,)，f(2,)，f(3,)，？，f(2003,) ,2. 函数y,sin(2x，)的图象的对称轴中最靠近轴的是 。 y3 f(x),xx,23. 为奇函数，且当x,0时，则当x,0时 。 f(x)f(x), R4. 偶函数的定义域为，且在上是增函数，则 f(x)(,,,0) 3322f(,),f(a,a，1)f(,),f(a,a，1)(1) (2) 44 3322f(,),f(a,a，1)f(,),f(a,a，1)(3) (4)中正确的是 。 44 三. 解答题 1Rx,1,x、x,[0,]设是定义在上的偶函数，图象关于对称,都1. f(x，x),f(x)f(x)f(x)1212122 11f()f()且。 (1)求、 (2)证明:是周期函数 f(1),a,0f(x)24 2. 如果函数的图象关于和都对称，证明这个函数满足。 x,ay,f(x)x,b(a,b)f[2(a,b)，x],f(x) 12f()3. 已知f(x),x，bx，c对任意实数都有，比较与的大小。 tf(1，t),f(1,t)f(2)24. 定义在实数集上的函数，对一切实数x都有成立，若方程仅有f(x)f(1，x),f(2,x)f(x),0101个不同实根，求所有实根之和。 【课后练习】 1x(),2，fx1、定义在实数集上的奇函数恒满足，且时, ,则f(x)f(1，x),f(1,x)x,(,1,0)5 ________。 f(log20),2 2、已知函数满足，则图象关于__________对称。 y,f(x)f(x)，f(2,x),0y,f(x) 3、函数与函数的图象关于关于__________对称。 y,f(x,1)y,f(1,x) 4、设函数的定义域为R，且满足，则的图象关于__________y,f(x)f(x,1),f(1,x)y,f(x)对称。 5、设函数的定义域为R，且满足，则的图象关于__________y,f(x)f(x，1),f(1,x)y,f(x，1)对称。图象关于__________对称。 y,f(x) x,R6、设的定义域为R，且对任意，有，则图象关于y,f(x)f(1,2x),f(2x)y,f(2x)录入:李俊杰 8 两类易混淆的函数问题:抽象函数的周期性与对称性 __________对称，关于__________对称。 y,f(x) 7、已知函数对一切实数x满足，且方程有5个实根，则这5y,f(x)f(2,x),f(4，x)f(x),0个实根之和为( ) A、5 B、10 C、15 D、18 8、设函数的定义域为R，则下列命题中，?若是偶函数，则图象关y,f(x)y,f(x)y,f(x，2)于y轴对称;?若是偶函数，则图象关于直线x,2对称;?若y,f(x，2)y,f(x) ，则函数图象关于直线x,2对称;?与图象f(x,2),f(2,x)y,f(x)y,f(x,2)y,f(2,x)关于直线x,2对称，其中正确命题序号为_______。 9、函数定义域为R，且恒满足和，当2,x,6时，y,f(x)f(x，2),f(2,x)f(6，x),f(6,x) 1f(x),2,x，求解析式。 f(x)2 10、已知偶函数定义域为R，且恒满足，若方程在上只,,0,4y,f(x)f(x，2),f(2,x)f(x),0有三个实根，且一个根是4，求方程在区间中的根。 ，,8,10, 【模拟试题】 一(1. B 2. C 3. D 4. C 5. C 6. D 7. B 8. B 9. A 10.B ,xx，20x,二(1. 2. 3. 4. (2)12 1,x,x,[0,]三. 1. 解:(1)? 都有 f(x，x),f(x),f(x)1212122 11111xx2f(x),f(),f(),0f(1),f(，),f(),f(),[f()]? ? x,[0,1]2222222 11111111224f(),f(，),[f()]? ， ? f(),af(),a244424 x,1x,R(2)由已知关于对称 ? 即， f(x)f(x),f(1，1,x)f(x),f(2,x) x,R 又由是偶函数知， f(x)f(,x),f(x) x,R ? ，将上式中以代换得 f(,x),f(2,x)f(x),f(x，2),xx R2 ? 是上的周期函数，且是它的一个周期 f(x) x,b2. 证:? 关于和对称 ? ， f(x)x,af(x),f(2a,x)f(x),f(2b,x) 2a,x,A ? 令，则 f(2a,x),f(2b,x)2a,x,2(a,b)，A录入:李俊杰 9 两类易混淆的函数问题:抽象函数的周期性与对称性 ? 即 f[2(a,b)，A],f(A)f[2(a,b)，x],f(x) 31223. 解:由知抛物线的对称轴是1 ? f(),f()而2, f(x),x，bx，cf(1，t),f(1,t)223 31 根据在上是增函数得f(2),f()即f(2),f() f(x)(1,，,)224. 解:设u,2,x即x,2,u ? f(u),f(3,u) 3303101，, ? ,x,R有 ? 所有实根之和为 f(x),f(3,x)22【课后练习答案】 ,1x,1x,0x,1: : : :y轴即 :?y轴? TTTTT(1,0)35124 11:?x,?x, :C :?? TTT67842 1,(,8)(8,2,,8，2,,)kxkkZxk　　　　　,,2(),: Tfx,91,,(x,8k)，2　　　(8k，2,x,8k，6,k,Z),2, ,6、,4、,2、0、2、4、6、8、10T:方程的根为共9个根。 10 录入:李俊杰 10