用重节点差商法求解埃尔米特插值函数

用重节点差商法求解埃尔米特插值函数 冯天祥 ()重庆三峡学院数学系 , 重庆 404000 摘 要 :为了求三次埃尔米特插值函数 ,采用重节点差商的方法 ,得到了类似于牛顿插值的结果 . 与 L agrange插 值基函数法相比 ,本方法十分简便 . 就一般情况给出了三次埃尔米特插值函数的误差公式 ,并介绍了误差公式的 证明方法 . 关键词 :埃尔米特插值 ;牛顿插值 ;分段插值 ;误差估计 ; 重节点差商法 中图分类号 : O174. 1 文献标识码 : A So lv in g Herm ite In terpo la t ion Fun c t ion s w ith the M e thod of D iv ided D ifferen ce a t the Sam e Node FEN G T ian 2x iang ()D ep t. of M a them a tic s, Chongq ing Th ree Go rge s Co llege, Chongq ing 404000 , Ch ina A b stra c t: To so lve cub ic2H e rm ite in te rpo la tion func tion s, the m e thod of d ivided d iffe rence a t sam e node wa s u sed, and the re su lt sim ila r to N ew tonπs in te rpo la tion func tion wa s ob ta ined. The p ropo sed m e thod is m uch simp le r comp a red w ith L agrange in te rpo la tion w ith ba se func tion. A n e rro r fo rm u la fo r cub ic2H e rm iteπs in te rpo la tion func tion wa s de rived and p roven fo r gene ra l ca se s. Key word s: H e rm ite in te rpo la tion; N ew ton in te rpo la tion; sub sec tion in te rpo la tion; e rro r e stim a tion; d ivided d iffe rence a t sam e node 在构造插值函数时 ,如果不仅插值函数在节点处的函数值与被插函数的值相同 ,还要求在节点处 插值函数与被插值函数有若干阶导数值相同 ,这样的插值函数称为埃尔米特插值函数 . 它已经广泛地用于 测量 、军工等学科中 . 然而 ,目前埃尔米特插值函数的求解都采用的是利用 L agrange插值基函数加待定函 [ 1 , 2 ] 数的方法 ,而且一般只对特殊情况加以讨论 . 这种求解方法有 3个方面的缺陷 : ( )1 当节点增加时 ,由于要用到 L agrange插值基函数而使原有计算全部无效 ,对于计算来说无疑是一 种浪费. ( )2 插值函数的求解更多地依赖于计算公式的推导和记忆. ( )3 当导数的阶数大于 2时 ,公式的推导十分困难 ,求解也非常麻烦 ,近乎不可取 . 下面介绍一种用重节点差商的方法求解埃尔米特插值函数的方法. 经过对比发现这种方法求解时不 需要过多的公式而且计算方便 ,类似于牛顿方法 ,因此增加或减少节点时 ,原有的计算仍然有效. 1 已有的结果 ( )( ) 设 f x 具有一阶连续导数 , 已知互异节点 x, x, ?, x, 求一个不超过 2 n + 1 次的多项式 Hx , 使 0 1 n 2 n + 1 ( ) ( )= f′x,( )( ) H ′x( ) i = 0, 1, ?, n, 1 = f x, Hxi 2 n +1 i i 2 n +1 i [ 3, 4 ] ( )称 Hx 为 2 n + 1次 H e rm ite插值多项式 , 并且有以下结果 : 2 n + 1 收稿日期 : 2004209220 ( ) 作者简介 :冯天祥 1961 - ,男 ,副教授 ,研究方向为数值 . ( )( ( ))定理 1 满足式 1 的插值多项式 Hx 存在和唯一 , 且 Hx 有如下的形式 2 n + 1 2 n + 1 n n ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )= f xA x + f ′xB x ,Hx 2 2 n +1 i i i i ?? i = 0 i = 0 ( ( ( ) ))其中 A x 和 B x 都是次数不超过 2 n + 1 的多项式 . 若 lx 为关于节点 x, x, ?, x的第 i个 L agrange i i i 0 1 n 插值基函数 , 则有公式 n 1 2 2 ( ( ) ( ( ) ( ) ( )) ) ) ( x = x - xlx .3 B A x = [ 1 - 2 x - x] lx , i i i i i i ? x x - j = 0 i j j? i 2 n + 2 定理 2 设 m in { x} = a, m ax { x} = b, f?C [ a, b ]则有的误差公式 i i 0 ? i?n 0 ? i?n 2 n +2 f 2 2 ( ) ( ) ( )( ) )( f x - Hx x - ? x - x.4 x= 2 n +1 0 n ( ) 2 n + 2 ! 2 利用重节点差商计算 Herm ite插值 n ( ) ( ) 定理 3 设 f x ?C[ a, b ], x ? a, b, i = 0, 1, ?, n, 则 i ( )n )( f x 0 lim f [ x, x, ?x] = . 0 1 n x ?x i0n ! i = 1, ?, n 证明 设节点 x, x, ?x两两互异 , 则 0 1 n ( )n ξ) ( f , f [ x, x, ?, x] = 0 1 n n ! ( )n ξ)( 当 x?x, i = 0, 1, ?, n 时 ,?x, 又因 f x 连续 , 所以 i 0 0 ( )n ( )n ( ) f x ξ) ( f 0 lim f [ x, x, ?, x] = lim = . 0 1 n ξ?x x ?x 0inn ! n ! i = 1, ?, n ( )( )x, x, ?x的重节定义 1 如果 f x 在 x的某个邻域内有 n 阶连续导数 , 则 f x 关于 n + 1 个节点 0 0 0 0 点差商为 ( )n ( ) f x 0 f [ x, x, ?, x] = . 0 0 0 n ! n +1个 由此可以求更一般的重节点差商 f [ x, ?, x, x, ?, x, x, ?, x], 只要在 N ew ton差商表中 , 不需直 1 1 2 2 s s m 个 m 个 m 个 12s( )t - 1 ( ( ) ) ( ) 接求出差商的各阶差商 f [ x, ?, x], 用 f x/ t - 1 ! 代替即可 . 1 1 i 个t x处有直到 m - 1( )) ( )( 定理 4 设 f x 在 [ a, b ]上 , x, x, ?, x是 a, b上不同的 s个节点 , 若 f x 在点 i i 1 2 s s ( )阶连续导数 , ?m = n + 1, 则存在唯一的次数不超过 n 的多项式 Hx 满足条件 i n i = 1 ( )( )k k () 0, 1, ?, m - 1 , i = 1, 2, ?, s,( )k = ( ) ( ) 5 Hx= f x, i ni i ( )x, ?, x, x, ?, x, x, ?, x. 且f HX 的首项系数为 a= 1 1 2 2 s s n n m 个 m 个 m 个 12sm - 1 m 1 1( ( + ? + f [ x, x, ?, x] x -)+ f [ x, ?, x, x] x -) ( ) ( ) ) x x+ ( HX = f x+ f [ x, x] x - x 1 1 1 1 1 1 2 1 n 1 1 1 1 m 个 m 个 11m m m - 1 112 ) ( ) ( ) ( x+ ? + f [ x, ?, x, x, ?, x] x -+ ? +xf [ x, ?, x, x, x] x - xx - ) ( xx - 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 m 个 m 个 m 个 112m m m 2 m - s - 1 12s ( ) ( ) ( f [ x, ?, x, x, ?, x, x, ?, x] x - xx -x? x -)( ) xx - x 1 1 2 2 s s 1 2 s - 1 s m 个 m 个 m 1个 - 12s m m m 1 - m 12s s - 1 ( ) ( ) ( )( ) ( )f [ x, ?, x, x, ?, x, x, ?, x] x - xx -x? x -xx - x.6 s - 1 1 1 2 2 s s 1 2 s m 个 m 个 m 个 12s 证明见文献 [ 2 ]. s ( )( )定理 5 设 f x 在 [ a, b ]上足够光滑 , x, x, ?x是 a, b上不同的 s个节点 , ?m = n + 1, 则 1 2 s i i = 1 m m m 12s( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x - Hx = f [ x, ?, x, x, ?, x, ?, x, ?, x, x ] x - xx - x? x - x.( ) 7 n 1 1 2 2 s s 1 2 s m 个 m 个 m 个 12s ( )( ) 证明 设 f x 关于节点 x, ?, x, x, ?, x, x, ?, x, x 的 n + 1 次 H e rm ite插值多项式为 Q x , 则 1 1 2 2 s s m 个 m 个 m 个 12sm - 1 m 1 1))( ( ) ( ) ( ) ( xx+ ? + f [ x, ?, x] x -+ f [ x, ?, x, x] x - x+Q x = f x+ f [ x, x] x - 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 m 个 m 个 11m m m - 1 112 ( ) ( ) ( ) ) ( f [ x, ?, x, x, x] x - xx - x+ ? + f [ x, ?, x, x, ?, x] x -x+ ? +xx - 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 1 m 个 m 个 m 个 112m m m - 2 m 12s s - 1 ( ) ( ) ( f [ x, ?, x, x, ?, x, ?, x, ?, x] x - xx -x? x -)( ) x x -x 1 1 2 2 s s 1 2 s - 1 s m 个 m 个 m 1个 - 12s m m m m s - 1 s - 1 12) ( ) ( ( f [ x, ?, x, x, ?, x, ?, x, ?, x] x - xx - x? x - )( ) xx - x+ 1 1 2 2 s s 1 2 s - 1 s m 个 m 个 m 个 12sm m m m 12ss - 1 ) ( ) ( ( )( ) f [ x, ?, x, x, ?, x, ?, x, ?, x, z ] x - xx - x? x -xx - x, 1 1 2 2 s s 1 2 s - 1 s m 个 m 个 m 个 12s ( ) ( ) 且满足条件 f z= Q z, 由于 m - 1 m 1 1( ) ( ( ) ( ) ( )+ ? + f [ x, ?, x] z -+ [ x, ?, x, x] z - x+)Q z= f x+ f [ x, x] z - x x 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 m 个 m 个 11m m m - 1 112 ( ) ( ) ( ) f [ x, ?, x, x, x] z - xz - x+ f [ x, ?, x, x, ?, x] z -x+ ? +) ( xz - 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 1 m 个 m 个 m 个 112m m m - 2 m 12s s - 1 ) ( ? z -x) ( )( ) xz - xz - x+ ( 2 f [ x, ?, x, x, ?, x, ?, x, ?, x] z - 1 s - 1 s 1 1 2 2 s s m 个 m 个 m - 1个 12s m m m 1 m - s - 1 12s ) ( ( f [ x, ?, x, x, ?, x, ?, x, ?, x] z -) ( x? z -)( ) xz - xz - x+ 1 1 2 2 s s 2 1 s - 1 s m 个 m 个 m 个 12sm m m m s - 1 s12 ) ( ) f( ) ( )( z - x z - x . z - xz - x ?x, ?, x, x, ?, x, ?, x, ?, x, zs - 1 s 1 2 1 1 2 2 s s m 个 m 个 m 个 12s ( ) ( ) ( )再由 f x = Q x 即可得到式 7 . 3 两种方法的比较 ()例 1 用如下数值表 表 1 构造不超过 3次的插值多 项式. 表 1 已知数据 解( ) 方 法 1: 构 造 插 值 基 函 数 ( ) x , lx , l 0 1Tab. 1 Given va lue s ( ) ( )lx , `lx 满足条件并求得 2 1 0 1 2 x 2 ( ) ( )x - 1 x - 2 ( ) lx = = ( )f x 1 2 9 0 2 ( ) ( )0 - 1 0 - 2 ( )f ′x 3 1 2 ( ) ( ) - x - 1 x - 2 ,2 2 ) ( ) ( 0 x - 1 1 2 x - ( ) ( ) lx == x x - 1 . 2 22 ) ( ) 0 2 - 1 ( 2 - 用待定系数法可求得 ( )( ) ) ( ) ) ( ( lx = - x x - 2 ,= - x x - 1 x - 2 . lx ` 1 1 得插值多项式 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Hx = f 0 lx + f 1 lx + f 2 lx + f ′x lx = x + 1. `3 0 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 这种方法要依赖 L agrange插值 基函 数 和 A x , B x 的求 解 式 2 和 式 3 操 作 性差 , 改 用重 节 点差 i i 商法. 方法 2:重节点差商法 . 先求差商表 0 1 1 2 1 0 1 1 2 1 - 2 1 2 3 1 2 3 4 - 1 4 1 2 1 2 7 7 - 2 2 9 2 9 3 3 12 所以 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Hx = f 0 + f [ 0, 1 ] x - 0 + f [ 0, 1, 1 ] x - 0 x - 1 + 3 ( ) ( ) ( ) f [ 0, 1, 1, 2 ] x - 0 x - 1 x - 1 = 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 + 1 x - 0 + 2 x - 0 x - 1 + 1 x - 0 x - 1 x - 1 = x+ 1. ) ( 假设增加节点 f 3 = 12, 在原有差商表上重新构造立刻得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Hx = 1 + 1 x - 0 + 2 x - 0 x - 1 + 1 x - 0 x - 1 x - 1 - 4 3 4 3 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 x - 0 x - 1 x - 1 x - 2 = x+ 1 - 2 x- 4 x+ 5 x- 2 x = 4 3 2 - 2 x+ 9 x- 10 x+ 4 x + 1. 注 :此时若用插值基函数则所有待定函数需要全部重新计算 . 即用 L agrange插值基函数法求解十分复杂 , 没有了统一的公式 , 而用重节点差商的方法与 N ew ton 法 相似 , 不需要记忆特别的公式 . 如果把这一结果应用于分段 3次埃尔米特插值 , 可快速导出各个小区间上插值函数的表达式 , 也可很 参考文献 : 方便地给出误差估计式 . [ 1 ] 林成森 . 数值计算方法 [M ]. 北京 :科学出版社 , 1997. 1482152. 蒋尔雄 ,赵 [ 2 ] 风光 . 数值逼近 [M ]. 上海 :复旦大学出版社 , 1996. 49261. 易大义 ,陈道 [ 3 ] 琦 . 数值分析引论 [M ]. 杭州 :浙江大学出版社 , 1996. 45 252. 张韵华 . 数[ 4 ] 值计算方法和算法 [M ]. 北京 :科学出版社 , 2002. 21 224. ()中文编辑 :秦 瑜 英文编辑 :刘 斌 国家磁悬浮交通技术研究中心主任吴详明 任西南交通大学顾问教授 2005 年 3月 12日 ,西南交通大学为国家磁悬浮交通工程技术研究中心主任吴详明举行了顾问教授 聘任仪式 . 西南交通大学校长周本宽教授为吴详明主任颁发聘书 ,吴详明教授愉快地接受了聘任. 聘任仪 式之后 ,吴教授作了《上海磁浮运营线的建设与磁浮技术的发展展望 》的学术报告 . 吴详明教授在西南交通大学期间 ,听取了周本宽校长和相关研究单位有关西南交通大学磁悬浮研究 进展的介绍 ,并参观了青城山磁浮列车示范线和磁浮研究中心 、西南交通大学超导研究开发中心和牵引动 力国家重点实验室. 吴教授表示 ,在西南交通大学得到了很多启示 . 他感谢西南交通大学对上海磁浮的支持和帮助 ,并希 望得到更多的帮助 ,实现中低速磁浮列车从技术到设备的国产化 . 吴教授率领的专家组希望西南交通大学 为上海 - 杭州的中低速磁浮客运线提供 ,并考虑将青城山磁浮列车试验线作为中低速磁浮列车的试 验基地. 西南交通大学学报编辑部