哈工大-概率-应用概率论解决生活中的一个实际问题

哈工大-概率-应用概率论解决生活中的一个实际问题 应用概率论解决生活中的一个实际问题 XXXX 机电工程学院 机械制造及其自动化专业 10908XXXX 摘要:本文结合生活实际，设计出了一个概率问题，并通过对此问题的讨论，加强在实际生活中应用概率问题的能力，同时也为解决类似问题提供初步的方法。 关键词: 概率 正态分布 0引言 在本学期第一堂概率课上，老师向同学们列举了大量概率论在日常生活中的应用。老师的讲述使我意识到，生活中许多看似随机的、无规律的事件，都是可以用概率论的知识其概率，找出其规律性的。这也促使我去寻求生活中可以利用概率论解释的事件并尝试用学到的知识解决之。很快，我发现了这样一件事例: 每天早晨在正心楼的第一节课前，很多同学有上厕所的习惯。于是厕所就会经常出现人满为患的情况。这时,问题出现了:当一名想要上厕所的同学来到卫生间，发现所有位置已满，那么:他是否应当等待，他能否在预期的时间内等到空位,如果此名同学因为特殊原因必须上厕所，并且已经等了一段时间(比如2分钟)，那么他是应当继续等下去还是去其他卫生间,进一步地可以将问题概括为:在什么时间去厕所才能使等待的时间最少, 以上问题正是本文所要解决的。 1 针对问题的假设 要解决这一问题，必须首先结合实际，给出若干合理的假设，从而才能以这些假设为基础，得到符合实际的结论。事实上，概率论与数理统计中也有类似的假设存在。即所谓的“最大似然估计法”。与此方法类似，本文中的假设基本上是基于日常生活经验，如果要对假设的具体参数进行确认，则还需要进一步的调查研究。尽管如此，本文还是尽量保证假设能够真实反映实际情况。 本文将要使用的假设有: 假设1:每个同学上厕所所需的时间T为一连续型随机变量，并且服从参数为μ=8，σ=1的正态分布。 假设2:等待上厕所的同学等待时间t为一连续型随机变量，并且服从参数为λ=0.2的指数分布。 针对正心楼的具体情况，给出如下补充条件: 补充条件1:在早上7:30时，厕所首次出现满员的情况。并且所有同学是同时进入厕所的。 补充条件2:由于第一节课将在8:00开始，故所有同学将在8:00前离开厕所。 补充条件3:不考虑疾病等特殊原因，同学的等待时间不超过2分钟。即2分钟是同学预期的最长等待时间，超过此时间同学将离开。 补充条件4:有疾病等特殊情况的同学必须在5分钟内找到空位。 补充条件5:每个厕所有5个位置。 2 解决问题 问题1:当一名想要上厕所的同学来到卫生间，发现所有位置已满，那么他是否应当等待，他能否在预期的时间内等到空位, 首先可以肯定的是，此名同学的等待时间和他来到厕所的时间有极大的关系。根据补充and actively carry out investment. This year, the introduction of overseas Chinese of 220,000 yuan, Wei Jia Gou Jian, Chongxin hope primary school 1. Local records compilation work, ensure that the log is 条件1，一名在7:31分来到厕所的同学显然要等待很长的时间。那么不妨比较在7:31来到厕所和在7:36来到厕所的两名同学A、B的等待时间。从中即可看出等待时间与到达时间的关系。 当到达时间确定后，等待时间可以通过假设1给定。由假设1及补充条件5，设F(T1，T2，T3，T4，T5)为5维随机变量(T1，T2，T3，T4，T5)的分布函数，由于5个随机变量相互独立，故有:F(T1，T2，T3，T4，T5)= F(T1)F(T2)F(T3)F(T4)F(T5)。而正态 )=Φ(x-μ/σ)，故一名上厕所的同学所用时间小于分布的分布函数是已知的，即有F(x x分钟的概率可表示为: P(T?x)=F(x)=Φ(x-μ/σ) 现在针对A同学进行分析，他是7:31来到厕所，并且符合补充条件3，他在期望时间内得到空位设为事件A，则有: 5-6 P(A)=1-(1-P(T?3))=1.43×10 而对于B同学，他是7:36分来到厕所，并且符合补充条件3，他在期望时间内得到空位设为事件B，则有: 5 P(B)=1-(1-P(T?8))=0.97 比较两组数据，显而易见，在假设1及补充条件1、3的前提下，在7:38到达厕所会获得最小的等待时间。如果我们能通过调查明确假设1中μ的取值，那么就可以认为，在7:30每过μ分钟时到达厕所会使等待时间最少。 但是，以上结论隐含着一个前提，即在厕所中的等待者有且只有一人。如果一名在7:38分到达厕所的同学甲恰好赶上出现空位，但此时还有一名在7:37来到厕所的同学乙，那么出于礼貌，后来者必然让位于先来者。但如果同学甲运气不好，此时厕所中有5名在7:37来到厕所的同学乙、丙、丁„„那么即使出现5个空位，同学甲也无法得到，而他在2分中 -6内的到空位的概率也迅速下降到10以下。 由此，我们可以看出实际问题的复杂性。然而，上面所说的情况也是小概率事件，我们仍然可以认为“在7:30每过μ分钟时到达厕所会使等待时间最少。”结论成立。那么，针对问题1，可作如下回答:如果此同学是在7:37、7:45、7:52三个时间点到达厕所并且厕所没有其他人或等待者较少，则他可以在预期时间内得到空位。 问题2:如果,一名同学因为特殊原因必须上厕所，并且已经等了一段时间(比如2分钟)，那么他是应当继续等下去还是去其他卫生间, 在问题2的情况下，首先可以肯定的是，如果其他楼层上课的人数少，则应优先考虑去其他卫生间。然而，在一般情况下，每个楼层上课的班级数目大致相同，因而卫生间的人数大致会保持同一水平，而且去其他楼层还意味着更多的时间损耗，甚至可能违背补充条件2，故不建议采用。 那么，继续等就成了唯一的选择。由补充条件4，此名同学的等待时间不能超过5分钟，否则就会发生悲剧。那么，他发生悲剧的概率有多大, 要回答这个问题，可以考虑两个极限的情况，第一:所有位置都是恰好在此名同学进入厕所时被占据，第二:所有位置都在此名同学进入厕所时空出。为了便于讨论，首先假定每名同学上厕所的时间为8分钟，那么也就是说，从此名同学进入厕所算起，最多经历8分钟出现空位。那么，这段时间服从什么规律呢,本文认为，这段时间服从正态分布规律，然而要确切得出其参数，就可能涉及到大量的调查和统计。抛开数据层面，这个问题可以归结为:能否通过已知的每名同学上厕所所需时间T的分布，求出任意时间段内出现空位的概率值呢,在初始条件未知的情况下，只能简化T的分布情况。现在设T恒等于8分钟，则等待时and actively carry out investment. This year, the introduction of overseas Chinese of 220,000 yuan, Wei Jia Gou Jian, Chongxin hope primary school 1. Local records compilation work, ensure that the log is 间t服从μ=4，σ=1的正态分布。则: P(t?5)=Φ(1)=0.84 由此可见，此名同学不发生悲剧的可能性较大。但这一结论也是有条件成立的。如果此名同学是在7:55到达卫生间并且发现厕所没有空位，那么如果补充条件2成立，他在预期时间内获得空位的概率值则为1。尽管这样可能是不被鼓励的行为。 4 结束语 综合以上的讨论，可以看出，看似简单的客观事物往往也蕴含着复杂的道理。一个假设的成立往往需要若干前提的成立。以上讨论围绕上厕所等位子这一生活中很普通的事例，做了一些初步的探索。那么，该如何回答这个看似简单的问题:在什么时间去厕所才能使等待的时间最少,本文认为，任何一种理论都必须经过实践的检验，本文中提出的观点也不例外。如果我们能精确地、大量地统计出每个时间段厕所的空位情况，就有可能给出合理的回答，甚至能发现之前没有注意到的现象与规律。 辩证法始终贯穿于概率论的产生和发展历程中,哲学思想对概率论的发展起着重要作用。“被断定为必然的东西,是由种种纯粹的偶然所构成,而被认为是偶然的东西,则是一种由必然性隐藏在里面的形式”。偶然性与必然性是哲学上的一对矛盾范畴,它们相互依存、相互制约、相互转化,必然性寓于偶然性之中,正如恩格斯所说:“在表面偶然性起作用的地方,这种偶然性始终是受内部隐蔽规律支配的。而我们的问题只是在于发现这些规律”。概率论是一门研究随机现象的统计规律的科学,我们学习概率论，不应仅仅纸上谈兵，而应注重结合实际，勤于发现问题，解决问题。可以说，问题是否得到了满意的解答是次要的，重要的是思考的过程及方法。 参考文献 [1] 哈尔滨工业大学数学系. 概率论与数理统计.[M]高等教育出版社. [2] 徐传胜,杨 军. 概率哲学思想的几次进化 [ J ]. 临沂师范学院数学系, 2008, 24 (5) :81. and actively carry out investment. This year, the introduction of overseas Chinese of 220,000 yuan, Wei Jia Gou Jian, Chongxin hope primary school 1. Local records compilation work, ensure that the log is