中学生数学思维的特点

中学生数学思维的特点 《中学生数学思维的特点、形成及培养》 开题报告 南京外国语学校 李平龙 一、研究背景 传统教育教学把有生命的知识当成无生命的一系列抽象的符号和孤立的结论“传授”给亟待开发与体现生命价值的学生，这不能不说是教育的误区(在课堂教学中体现为“重结论，轻过程;重训练，轻意识;重演绎，轻发现;重传授，轻感悟;重抽象，轻实验;重智商，轻情商”. 而一些发达的国家，在教学上都把学生的思考能力和解决问题的能力从教育方针上规定为教学的主要目标(例如，美国哈佛大学在校规上就赫然写道:“教育不仅是传授知识，尤其注重培养青年的思维能力和科学态度，„„”在这方面，苏霍姆林斯基的工作是令人瞩目的，可他在总结一生的工作时说:“我在学校工作了近35年，直到20年前我才明白，在课堂上要做的两件事:其一要教给学生一定的知识;其二要使学生变得更聪明”(可见，教会学生学会思考，增强思维能力是教学的中心任务( 然而，受“功利主义”影响，“应试教育”一度愈演愈烈，使教学双方为谋求“功利”而丧失了教育应有的非功利性的一面(数学题目越演越多、越变越深，数学资料五花八门，随堂练习、单元过关、三基训练、强化练习、综合测试、模拟热身、高考仿真名目繁多，学生不堪重负(其直接结果是将班级授课制推向极端:“满堂灌”、“填鸭式”湮没了课堂，生苦不堪言、师身心疲惫，“高分低能”由此产生( 新一轮义务教育课程改革已在全国范围内实施，与之相配套的高中课程改革及其相应教材已在各省市分批依次进行实验(实施新课标、实践新教材，已成为我校教师的光荣使命;“一切为了学生”、“为了学生的一切”，已逐步成为教育工作者的行动指南(新的课程理念、新的教育理念、新的教学理念正在强烈地冲激着传统的数学教育;课堂教学无疑是实施课程改革、实现课程目标的主阵地，传统的教学模式能否完成课程改革的历史使命，能否在课堂教学中让学生的思维更主动、更生动地发展，便是每位教育工作者无法回避而必须思考的问题(因此，改革传统的教学模式使之更有效地培养学生的思维、激发学习的潜能，进而最大限度地实现课程目标便迫在眉睫～ 为改变如上状况，以适应时代对人才的需要，就必须研究中学生的思维状况与特点，尤应探索出培养思维能力的良好途径，以造就一代社会文化人( 二、实验假设与课题界定 第 1 页 共 14 页(实验总结报告) 1(实验假设 潜心捕捉课堂教学三课型(新授课、复习(习题)课、讲评课)中有益于良好思维品质(敏捷性、灵活性、广阔性、深刻性、批判性、独创性、组织性、跨越性、运动性等)形成的范例与素材，决不放过每一次机会(使数学知识的内化、建构、积累的过程与数学思维品质、能力的形成、发展、深化过程力争达到同频，进而实现提高学生数学思维的能力、构建完善的思维结构之重任( 2(课题界定 (1)三课型:系指中学数学课堂教学中最常见的“新授课”、“习题(复习)课”和“讲评课”，它们几乎囊括了数学教学中的所有课型(“三课型”的教学框架直接影响着新课标的实施效果( (2)数学思维能力:数学思维是人脑对数学的本质属性和数学规律的概括活动的间接反映(能力是对思维材料进行加工的活动过程的概括，数学能力是直接影响数学活动效果的心理因素，即在个体身上经常地稳定地现出来的心理特征(简言之，数学思维能力对数学思维材料进行加工的活动过程的概括，它是一切数学能力的核心，其高低直接制约和影响着其它数学能力的发展(数学思维能力体现于思维品质的优劣，它是通过一系列具体的思维品质体现出来的(因此，界定各种思维品质的含义，便成为课题实验的必由之路( (3)课堂教学:系指初中与高中的课堂教学，因我校是六年一贯制且以外语为专长的学校，故数学课堂教学就显得尤其珍贵(提高数学素质只能靠课堂)(课堂教学主要涉及到教师向学生传授知识、培养学生能力和对学生进行思想品德教育等问题，也涉及到课堂教学中教学理念的不断更新等( (4)模式:系指前人积累的经验的抽象和升华(简单地说，就是从不断重复出现的事件中发现和抽象出的规律，似解决问题的经验的总结(而“三课型”恰恰是反复重复出现的事物，就必然存在着某种模式，本研究的目的之一就在于寻找该“模式”，它的优劣取决于课堂中进行思维教学的有效性的高低( 三、理论依据 要发展思维、增强能力、提高素质，教学过程中不仅要体现数学课程的十条基本理念(构建共同基础，提供发展平台;提供多样课程，适应个性发展;倡导积极主动、勇于探索的学习方式;注重提高学生的数学思维能力;发展学生的数学应用意识;与时俱进地认识“双基”;强调本质，注意适度形式化;体现数学的文化价值;注重信息技术与数学课程的整合;建立合理科学的评价体系)，还应始终不渝地遵循如下的教学原理或原则( 1(活动原理 数学能力在掌握知识的过程得已培养、形成和发展，其高低优劣在应用知识、解决问题的活动中得到体现和印证(教师启发学生通过尝试探究和学生交往等自主活动，把教与 第 2 页 共 14 页(实验总结报告) 学的基点放在使全体学生都能独立思考上，从而改变以往那种封闭的、割裂的、被动听授的旧的教学模式，使接受式教学与活动式教学相互补充，学而时习、躬行践履(这是培养能力的重要条件( 2(反馈原理 教师随时搜集和评定学生的学习效果，有针对性地进行质疑和讲解，通过师生之间的信息联系反馈，及时调整思维结构，展示思维的成果，激励自反自强、追求完美(这是能力形成的必要环节( 3(波利亚的教与学三原则 波利亚认为:学习任何东西的最好的途径是自己去发现，为了有效地学习，学生应在给定的条件下，尽量多地自己去发现要学习的材料(主动学习原则)，学习材料的生动和趣味是学习的最佳刺激，强烈的心智活动所带来的愉快乃是这种活动的最好报偿，所以他认为最佳学习动机是“学生应当对所学习的材料感到兴趣，并在学习活动中找到乐趣”(最佳动机原则)，学生必须学习有序，教师教学有层次(阶段序进原则)(只有学生对所学材料感兴趣，学生才会主动接受来源于教师处的有层次的信息，在信息转化为知识的过程中，学生才会体味到知识中蕴藏着的丰富的思维价值(这是能力培养的重要依据( 4(传统教学方法与现代教学手段并重 要完成传授知识、形成技能和发展智力的任务，必须继承和发扬传统的教学方法，优化课堂教学结构(同时更应注重现代化教学手段的运用，尤其应注意在多媒体辅助教学的“辅助点”上动脑筋，为冲破定势、突出重点、突破难点、体现关键、提高素质精心设计课件(发掘多媒体辅助教学在培养兴趣、激发创新潜能方面的功能(为思维能力培养拓宽空间( 四、研究过程 (一)理论研究 什么是能力,能力是直接影响活动效果的心理因素，即在个体身上经常地稳定地表现出来的心理特征(能力是对思维材料进行加工的活动过程的概括(数学思维能力是一切能力的核心，它的高低直接制约和影响着其它数学能力的发展(数学思维能力体现于思维品质的优劣，它是通过一系列具体的思维品质体现出来年(因此，界定各种思维品质的含义，便成为课题实验的首要环节( 1(数学思维品质界定 (1)敏捷性 思维的敏捷性是指思维活动的速度，它反映了学生智力的敏锐程度(有了思维的敏捷性，在面对待解决的问题时，就能适应情况积极思维，周密地思考，并能正确地判断和迅速地做出结论( (2)灵活性 思维的灵活性是指思维活动的灵活程度，它反映了智慧能力的迁移，能随事物的变化而随机应变、触类旁通，不局限于某一方面，能克服消极定势的负面影响(其主 第 3 页 共 14 页(实验总结报告) 要特点是:?思维起点灵活，即从不同角度、方向，能用多种方法解决面临的问题;?思维过程灵活，从分析到综合，从综合到分析，全面灵活地作“综合分析”;?概括迁移能力强，运用规律的自觉性高;?善于组合分析，伸缩性大;?思维的结果往往是多种合理的而灵活的结论( (3)广阔性 思维的广阔性是指思维活动发挥作用的广阔程度;它是一种不依常规，寻求变异，从多角度、多方面去思考问题，寻求答案的思维品质，其反面是思维的狭隘性，表现为思维的封闭状态( (4)深刻性 思维的深刻性是指思维活动的抽象程度和逻辑水平，以及思维活动的深度和难度(它集中表现在善于透过现象和外部联系，揭示事物的本质和规律，深入地思考问题，系统化、一般化地解决问题，预见事物发展的进程(思维深刻性是良好思维品质的重要内容，是吸取知识的催化剂( (5)批判性 思维的批判性就是指善于根据客观标准，从实际出发，细心权衡一切意见，从而明辨是非(从辨误驳谬出发，寻找更科学更合理的思维方法，从而维护数学的严谨性(它是在批判中继承和发扬的良好的思维品质( (6)独立性 思维的独立性就是指在思维活动中发挥个人智能，厉行独立思考，保持自始如一的思维主动性和经久不衰的思维进攻性，善于发现和解决前人尚未发现和解决的问题，以自觉、执着的研讨获得新知识、新见解和新成果( (7)运动性 就是根据客观条件及其变化而改变思维方向，进行“由此及彼”和“由表及里”的联想(思考问题时，常以正向思维、逆向思维、纵向思维和横向思维相互交错运用的形式出现( (8)多向性 就是指思维的发散性和思维的求异性，即善于从不同的方位、不同的角度和不同的层次去思考问题，或从同一条件下得出多种不同的结论(创造性思维形成于发散思维之后的收敛思维之中，可见发散性思维是创造性思维的核心，数学需要逻辑、判断、推理等收敛思维，同时需要多发变式、流畅变通、想象丰富等发散思维( (9)跨越性 思维的跨越性就是思维不按“概念—判断—推理—结论”的顺序进行，省略某些步骤，加大思维的前进跨度;或者跨越思维对象的“相关度”的差距，加大思维的“联想跨度”;或者是跨越条件“可观度”的限制，迅速完成“已知”与“未知”之间的转化，加大思维的“轮换跨度”(概括地说，就是思维过程中迅速摒弃那些非本质的、次要的东西，而直接抓住问题的本质，向思维的目标大跨度迈进(它是直觉灵感思维的重要成份( (10)创造性 思维的创造性是指完成思维活动的内容、途径和方法的自主程度，并通过独立的思考创造出有一定新颖成份内容(表现为思维不寻常规、寻求变异和勇于创新;实质上它是各种思维优化组合的高效思维，产生于多因素、多变量、多层次思维的交互作用;创造性思维的根本特征是:流畅性、变通性和独特性( 第 4 页 共 14 页(实验总结报告) (11)组织性 思维的组织性是指善于将所学的知识归纳整理，使之有条理、有层次、系统化的一种思维品质，表现为说理清晰，分类严谨有序(它是培养抽象概括思维能力和完善思维认知结构的基础，并渗透于所有思维能力之中( 2(数学思维能力界定 数学思维能力是数学能力的核心，它由下列五个因素构成:数学概括、数学抽象、数学推理、数学化归、思维简缩(数学语言);主要包括下列十二种能力:发现属性能力;数学变式能力;发现相似能力;数学推理能力;数学转换能力;直觉思维能力;形成数学概念的概括能力;形成数学通则通法的概括能力;适移概括能力;发现关系的能力;识别模式的能力;运用思维块的能力( 可见，数学思维能力的形成、发展、培养是一项艰巨的任务，同时数学教学的每一细节都隐藏着培养思维能力的绝妙素材(本项研究的主要任务是发掘有关素材，培养良好思维品质、养成良好思维习惯( (二)实践探索 1(各年级学生的思维特点与初步形成时的对策 初一学生正由具体的形象思维向经验型抽象逻辑思维的过渡阶段，学生具有从数字概括到抽象概括的特点(针对这一特点，课题组开展了偏于感性认识的数学思维活动(如用几何图形设计班校徽、拼接几何图形、讨论几何图形的展开与折叠、制作近可能大的无盖长方体、感受一百万、用计算器(机)计算利息、商场打折销售的学问、由生活中的数据作出统计分析等(如此，一方面可促成初一学生思维的快速转换，另一方面可逐步养成新课标需要的良好学习方式( 初二阶段是学生思维发展的转折点，表现为从经验型抽象逻辑思维向理论型抽象逻辑思维的转化，思维发展处于关键期(在这个关键期内，课题组在教学活动中精心设计了偏重于理性思维的问题情境，全面培养学生的各种思维方式(诸如，话说勾股定理的证明、形如a=bc型的数量关系、实数论谈、方程新探、三角形全等判断条件的探讨、黄金分割与数学美鉴赏、对称图形与广告设计等(一个个问题丰富了学生的思维方式，促成了学生的思维向质的方向飞跃( 初三学生具有逻辑抽象概括的思维特点，其抽象逻辑思维已转向为理论型为主(在学生初步具有各种思维方式的基础上，我们着重训练学生的发散思维和集中思维(如一个耐人寻味的几何图形的研究(结论发散)、变化多端的两圆的探究(图形发散)、如何测量物体的高度(方法发散)等(在这些带有发散性的问题研究中，训练学生思维的广阔性、灵活性、流畅性和变通性，为高中学习奠定基础( 高中学生的思维已摆脱具体事物形象，进入具有明确形式逻辑的抽象、概括、分析、综合、演绎、归纳等一般化理论思维阶段，开始向动态辩证思维过渡，学生的思维发展进入成 第 5 页 共 14 页(实验总结报告) 熟期(在这个时期，我们把数学课堂教学模式的研究与(思维)案例的研究相结合，全方位地训练学生的各种思维方式，发展数学基本能力(一方面教师在课堂上采取“自主、合作、交流、探究”式的教学方式，让学生不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演译证明、反思与建构等思维过程，在用已有知识和方法认识新事物、解决新问题的过程中，培养数学思维能力(另一方面，利用新课标规定的数学建模、数学探究与数学文化等活动，引导学生掌握正确的学习方式、培养问题意识、体会数学的文化价值(如指对数、微积分的发展简史，函数相关问题的研究(零点问题、三次函数问题、恒成立问题)，分期付款问题的探讨(模型如何建、如何存货款好)，向量的应用价值(几何中的向量方法、物理中的向量方法)，线性规划在实际问题中的应用，制作(正)多面体的几体模型，各种高考热点题型的模式化思考等(在如上类似问题的探究或者数学知识问题化的教学过程中，我们引导学生在经历观察、猜想中培养形象思维能力，在推理论证中培养逻辑思维能力，在多法、多解、多变中培养发散思维能力，在产生联想、提出问题中培养直觉思维能力，在模型的识别、发现中培养探究意识，在整理归纳、总结成文中培养思维的组织能力和集中水平( 2(思维品质的培养 自申报本课题以来，结合新课程潜心捕捉高中数学教材中有益于思维品质培养的良好素材，就思维品质的形成和发展积累了丰富的实践经验( (1)出示一些典型问题，并交给学生一些感性材料，提出观察、联想、探索的要求(在学生熟悉这些材料的基础上适当给以点拔，使规律性的东西时隐时现，非本质的东西时有时无，构造思维的疑团，激起学生产生揭疑的心理倾向，然后让学生对这些材料进行分析、研究、探索、归纳和整理，得到解决问题的规律和方法，有益于思维独立性、深刻性、组织性的培养( (2)引导学生通过知识与知识之间、知识与方法之间、方法与方法之间、方法与情境之间进行对比、类比和联想，从旧知识、旧方法、旧观点中找到和发现新知识、新方法和新观点，可培养思维的发散性和敏捷性;通过对问题引伸、推广、变式，诱导学生从偶然中寻求必然，发现并探索出新颖的带有普遍性的规律，可培养学生思维的深刻性;引导学生从问题的反面或研究定理、法则的逆命题，求得对事物正反两方面的全面观察和深刻认识，可培养逆向运动性思维，提高思维转换的速度( (3)以问题解决为核心(算法的教学)，启迪学生多层次观察，多角度联想，多方位探索，多途径求解，可培养思维的发散性和灵活性(具体地，以一题多解、一题多变、一题多用、一空多填、一法多题、一问多答、一图多画等均可作为培养思维灵活性和发散性素材(课堂教学中教师务必切中思维的发散点，方可形成良好的培养功效(如数学问题的研究中，数学知识、数学方法、数学概念的变式、数学解题后的反思、运动状态下问题的运动方式等均 第 6 页 共 14 页(实验总结报告) 可作为引导学生积极主动地思维的发散点( (4)热情鼓励学生大胆怀疑，敢于争辩，组织对有争议的问题进行鉴别、讨论，对隐藏的错误进行辩误、驳谬，是培养学生思维批判性的有效途径(中学生已经逐渐表现出不满足于教师或教科书或参考书中某些问题的描述和解释(他们对身边发生的一些问题持怀疑、审视的态度，表现出“先思后信、先查后议”的特征，对此教师要因势利导，促使这些特征为批判性思维品质的培养带来活力，是培养良好思维品质不容忽视的内容(如找苏教版高中数学教材中错误、看你同桌同学数学笔记中的错误，这本身就是最好的学习与交流( (5)数学创造性思维品质的培养，关键在于激发学生创造性思维的发生机制(具体而言，在数学教学中，既精心组织发散性较强的问题，创设问题情境，促进智力探索，形成创造氛围，又注重学生的心理和思维特征，讲究诱发艺术，激发探索兴趣，培养钻研精神，从而优化创造诱因;既指导学生拓宽知识范围，加强理解，广吸知识营养，又促进学生夯实基础知识，掌握基本技能，活用通性通法，从而强化信息储备;既指导学生在思维活动中灵活运用形象思维、发散思维和直觉思维，并注意各种思维方式的辩证性，又要求学生在独立探索和钻研问题的过程中富有悟性，善于领会数学思维的方法和规律，从而活化“序化方式”(如用类比的方法让学生去体验创新的快乐，进而逐步形成创新的意识(值得一提的是，创造性思维的培养是一项多变元的系统工程，只是在本课题研究的后期才开始逐渐悟出一些粗浅经验体会，更深层次的问题，有待我们在把握时代发展中思维发展的脉膊，去进一步探索和钻研( (6)从起步阶段，我们课题组就感受到，思维品质的培养是教学中的一项长期而艰巨的任务，必须在教学的各个环节上长期坚持，积极探索(良好思维品质的培养必须同其它非智力品质的培养有机结合起来才能形成良好的思维结构(良好的思维品质的培养是以扎实的三基为前提，因此同时加强知识、技能的教学显得尤为突出(良好思维品质的培养还应量力而行，遵循可接受性原则，因人因时而异地进行，才能取得比较满意的效果(良好思维品质虽然是思维能力的初始表现形态，但在培养思维品质的同时必须兼顾思维能力各要素的培养( 3(思维能力的培养 发展学生的数学思维能力就是在形成良好思维品质的基础上发展其诸因素的能力层次，并使它们协调发展，进而形成良好的数学思维结构( (1)加强过程教学培养观察力 观察能力是一切能力的基础，教会思考是培养和发展能力的前提条件(虽然新教材在整合上有诸多不确定因素，但它是知识的载体，是学生吸取知识并发展智力的源泉(实验教师的作用就在于把“无生命”的教材，变为有“生命”的知识(学术形态转化为教育形态)，让学生体会到附在知识载体之中的思维的价值，从而在吸取知识信息的过程中发展思维(为此，就必须加强知识发生、形成、发展乃至深化过程的教学(教学过程中需真正做到:展示概念的提出过程;揭示规则的发现过程;暴露公式定理的推导公式;全方位设计问题的探索过程， 第 7 页 共 14 页(实验总结报告) 包括易想的、甚至是荒谬的过程;系统地、有目的、针对性地介绍或回味数学思维方法的深化过程( 只有展示知识的“过程”教学，才能不断地训练学生的观察联想力，并在吸取知识的生命之源的过程中真正学会观察( (2)加强解题教学培养思考力 思考充满了数学教与学的全过程，学会思考不仅可让学生取得满意的成绩，而且是新课标“学会学习、学习协作、学会做事、学会做人”的基本理念(为此通过课题研究，必须结合具体的题型，让学生在解各学科典型问题的中习得思考方式并发展思考力( 三角问题的思考方式:变换(快速的三角变换一方面可保证思维的敏捷，另一方面可为调整思维结构赢得时间(其一般思考是，在把“未知角”用“已知角”表示的过程中合理地选择三角变换的公式，进而完成对三角求值题的求解;通过“切化弦、升降幂、化为一个角的一种三角函数”等变换，可完成对三角函数图象与性质题的求解;通过“边化角或角化边”，完成对三角形中三角函数题的求解(总之，变换是三角思考的核心( 空间关系的思考方式:转移(在对位置关系的思考与证明时，灵活地进行“纵向转移”，即在线线、线面、面面的三种平行(垂直)关系间的反复转移中而达所需目标;合理地进行“横向转移”，即在平行与垂直的两种关系间进行转移;有效地进行“数量关系与位置关系间的相互转移”;空间关系的证明就是在这种转移中完成的(如要证线面平行，首先，可尝试在面内“直接找”或“间接找”与面外直线的平行线，从而由线线平行推出线面平行;其次，还可尝试找过面外的直线且与该面平行的平面，从而由面面平行推出线面平行;最后，可尝试用平面向量基本定理，把面外直线的一个方向向量用该平面内的一组基底线性表示( 解几问题的思考方式:翻译(解析几何是用代数方法研究平面图形性质的学科，因此几何向代数的翻译是否合理与简捷，便是解题能否实施的重要标准(对涉及圆的解析几何题，应力争充分利用圆的几何知识将图形的性质代数化;但当这种翻译受阻时，也应时刻准备着用代数方法将图形的性质代数化(对涉及圆锥曲线的解析几何题，在实施代数化的过程中固然是以代数方法为主，但是也应密切关注:(1)定义的巧妙运用;(2)几何条件的灵活转换;(3)解析工具的合理选择;(4)若干几何条件的有效组合(学习解析几何就是学习代数化的思考方法，众所周知，同一几何条件选择不同的解析工具(即相关公式)翻译的效果会不同，同一几何条件作出不同的转化后翻译的效果也会不同，若干个几何条件先后顺序的不同或组合后翻译的效果更会不同( 数列问题的思考方式:化归(其思考方式就是活用基本方法，活用化归思想(数列解题的过程就是灵活利用等差数列与等比数列基础知识和基本方法的过程;因此，将一般数列问题进行灵活的化归就显得尤为重要(基本量方法就是对涉及等差(比)数列的问题，首先用首项和公差(公比)去统一题目中的条件，进而求出首项与公差(比)或其关系式，再用求 第 8 页 共 14 页(实验总结报告) 出的基本量或其关系去研究题中的具体问题，最终使问题获解的方法，其实质是方程与函数的思想方法在数列中的应用;同时，基本量方法只有同等差(比)数列的性质密切配合，才能产生出更大的思维效益(此外，叠加法、叠乘法、迭代法、错位相减法等都是具有清晰适用情境的思考方法，务必触景生情( (3)注重问题研究培养探索化归能力 探索是科学发现的生命线，把大千世界的所有问题化归为数学问题是数学家们的梦想(数学问题研究的实质就是探索猜想与化归转化的化繁为简、化难为易、化生为熟的过程(数学教学中，教给学生的诸多数学模式是为了增强其对模式识记的能力和对新模式的化归和发现能力，但在学习模式的过程中并不忽视学生对该模式探索发现的过程，从中增强探索思维能力( 平时教学中，每遇较难的数学问题，当学生起初并没有清晰的思维结构时，我们总是先激发，给予学生探索前进的突破口，并在化归中选择解决该问题最大可能性的方法和模式，最终达到解决问题之目的(让学生在尝尽探索的酸甜苦辣和化归的喜怒衰乐中，体会解决数学问题是探索和化归联合作战的螺旋之路，进而培养分析综合、抽象概括能力，甚至是直觉思维能力( 如函数零点问题的思维模式 这是新课标新增内容，已在四省市的高考中崭露头脚(关于函数零点问题的思索，首先，应学会研究二、三次函数零点的方法;其次，对一般的函数零点问题，要么转化成二、三次函数的零点问题进行研究，要么用研究二、三次函数零点问题的思维模式进行研究(一般地，二次函数零点的存在性及其符号问题，可转化为相应的二次方程问题，进而用判别式与韦达定理处之;若要求二次函数的零点都在某区间内、两零点都大(小)于某数、一个零点小于某数另一个零点大于该数、在某区间内恰有一个零点，则可借助二次函数的图象探索出相应的充要条件;当二次函数的零点问题用二次方程与二次函数探求繁难时，可尝试对方程进行代数变形(如参数分离、换元等)，构造出新的不含参数的函数，进而利用该函数的单调性或值域等知识常可使问题获得简解(而对三次函数而言，借助其性质可知，当三次函数不存在极值或极大值小于零或极小值大于零时，三次函数有唯一零点;当三次函数的极大值等于零或极小值等于零时，三次函数有二个零点;当三次函数的极大值大于零且极小值小于零时，三次函数有三个零点( 笔者曾分别以数列和函数零点为例就培养学生探索、化归能力，谈了自己的真实感受(参见《课题研究成果选编》)，进而也培养了学生的数学抽象推理能力和变式能力( (4)注重解题研究提高学生思维素质 数学教学的实质就是问题的教学(数学解题虽不同于数学问题，但解题过程中百花齐放、百家争鸣的思维形成同样有助于思维素质的提高，并为数学问题的研究提供可资借鉴的缩影( 设计精当的题组，可培养学生的变式思维能力和发现相似性的能力(题后反思，可发现 第 9 页 共 14 页(实验总结报告) 错题、错解、改进繁解，调整思维结构，培养识别模式的能力，养成良好的思维习惯(题后反思，使“通法通则”顺利走向巧解特技，也有益于创新性思维能力的培养( 解题研究中丰富多彩的思维活动，从拙文《智取高考压轴题》中可见一斑(见成果选编)( (5)在渗透数学意识中强化思维训练 数学意识是学生在数学活动中表现出的机能和属性，是对客观世界数量关系、空间形式的反映(数学意识能将数学感知、数学思维等心理活动提高到自觉的程度，它往往能自觉地指导学生的数学活动，使其思维活动具有目的性、方向性和预见性(因此，数学意识的培养有利于将学生的思维向更高层次发展( 在具体的数学活动中可有目的地培养学生具体的数学意识，如目标意识、求简意识、预见意识、应用意识、监控意识、整体意识(详见《成果选编》);数学意识的培养从某种程度上讲表现为学生对力所能及的实际问题的数学化的能力(因而平时教学中结合适量的实际问题，让学生在分析处理实际材料的过程中，抽象概括、提出假设、以培养数学建模能力，对学生数学思维的培养也大有裨益( 3(教学模式 数学新教材中发展学生思维能力的素材比比皆是，如上所述仅是课题研究的微观把握，尚不成体系，具体运作时难以产生较大的功效( 因此，探索有益于实现本课题研究宗旨的课堂教学模式，才是本课题的核心，可称之“宏观”把握(这促使我们在课题实践研究的中后期对三课型加以研究，并以“思维导引线”为突破口引发学生的思维发展，培养思维能力( (1)新授课 系指研究某个概念，证明定理或推导一个公式(这里的“问题”(符合前述教学问题化的观点)是思维导引线，通过它使学生在解决问题的过程中走尽可能远路，教师只是相机给予适当的点拨(这样做对培养学生运用已有知识分析问题和解决问题的能力至关重要(它的核心是让学生最大限度地参与教学活动，充分发挥学生的主体作用(其框图如下: 揭认初自问提证启提题出迪出 示情问识步我明 思猜景题维想定公 定理应小 理 式 义 结 解 用 (2)习题(复习)课 第 10 页 共 14 页(实验总结报告) 展构提引讲变深内概检 示建出发评式化化括测 点引总反目网问思探回 标 络 题 考 拔 伸 索 味 结 馈 这里引发学生思维的导火线较为丰富，但其主渠道是问题的变式(通过变式启迪学生多层次观察，多方位联想，多角度探索，多途径获解，决不放过对每一方案的实验，即使是错误的，也会让学生亲身体会到错误的根源(通过变式大力发掘学生的开拓精神和创新意识，通过变式精心设计一些有难度的问题，提供适当的材料，“推波助澜”，激发学生生动活泼、豪迈奔放的思维，促进学生在思维活动中，不断标新立异，不断产生飞跃，以体味数学解题成功的欢乐( (3)讲评课 评辨总挖展激矫 价析结掘示励正 诱调归功思成练 导 整 纳 能 维 功 习 讲评课是发展数学思维的重要课型，讲评应突出针对性(有益于思维培养的讲评课主要 针对学生的思维优缺点展开讨论，它也是本课型的“思维导引线”(暴露学生冥思苦想而不得其解的思维过程，帮助其清除思维障碍，找到思维的症结，有益于完善认知结构;展示全班几十位同学的思维成果(如对某个问题的解法)，有利于激发学生深入思维(由于他们的劳动成果受到老师的赞赏，自然感到高兴与自豪，也增强了自信心和求知欲;同时，暂未被展示者也必会努力争取展示的机会，激发成功欲望(注重挖掘试题暗含的智育功能，便可以一当十，培养学生触类旁通的应变能力( 在有益于思维能力培养的三课型中，我们牵着“思维导引线”的目的在于发展数学思维能力，挖掘学习潜能，尤其是智力潜能(我们知道数学思维能力是数学思维的敏捷性、广阔性、严谨性、灵活性、批判性、深刻性、独创性、运动性、跨越性等一些思维品质的基础上形成的分析问题和解决问题的能力(它大体上可分为抽象、求同(收敛)、求异(发散)三种思维能力(抽象思维能力是感知、提炼、理解数学知识的的能力，其特点是严谨、概括、深刻(求同思维能力表现为理解、掌握、运用形式逻辑思维的能力，其特点是目标集中、观念 第 11 页 共 14 页(实验总结报告) 明确、讲究严密准确(求异思维属理解、掌握运用非逻辑思维的能力，表现为数学观察力、想象力和猜测力，富有创造性(三种思维能力互相促进，相辅相成，共同构成完善的思维网络( 在三课型的教学中我们特别做到:面向结果的教学与面向过程的教学并重;智力因素与非智力因素并重;一般能力的培养与创新意识的形成并重;知识的形成与品质的培养并重;教师指导与学生学会学习并重;统一要求与因材施教并重(并融现代教学手段于传统教学之中，充分发挥计算机辅助教学在冲突不良定势、辨析难解疑点、突出思维重点、化难思考难点、体现思维关键、展示思维过程等方面的先进功能，努力培养学生的创新精神和实践能力，极力构建数学课堂“思维活动化”的教学模式，为二十一世纪培养探索、发现、创新型的高素质的后备军努力拼搏( 五、初步成效 通过近几年的教学研究，思维课题取得如下成效: 1(研究者树立了正确的教育观:面向全体，以德育为首全面发展，即每个人都有发展，不同的人得到不同的发展;一切为了学生的发展，为了学生的一切等( 2(打破了传统的教学观:教师传授给学生的仅仅是附载着知识的一系列重要“信息”，学习者的任务是将这些信息加工、内化为知识，其间思维能力起关键作用，并得以训练和提高(学生接授知识(实为信息)产生困难与思维能力及学习的主动性密切相关;教师的本领不仅在于讲解能力的高低，更在于启发、诱导与唤醒的艺术的优劣;教师最多是参与者、启发者、合作者、促进者( 3(确立了以学习者为中心的学习观，以综合为特征的结构观和以学会创造性学习为目的发展观，竭力培养有助于学习者终生学习的创新精神、创新意识和实践能力( 4(暴露了思维过程，激发了学生兴趣，调动了学生学习的积极主动性( 5(更新了教学手段，尤其是利用多媒体使“过程”教学显得更加完美( 6(学生参加中考和高考成绩在南京市均名列前茅，高中数学联合竞赛成绩大幅度提高，以跃居全省前列( 7(提高了课题组成员的理论水平，增强了科研意识(完成了课题组老师在省级以上刊物发表多篇论文，在各类教学比赛中获奖等课题研究的基本目标( 8(形成了“三课型”教学模式，它是新课程理念的具体化，并在一定范围内推广( 9(关于思维品质和思维能力的培养积累了丰富的感性材料，并有所感悟;对思维品质和思维能力已作出了初步的界定和分类( 10(围绕课题研究给新课标的高考复习找到了以“思维”为核心的突破口( 由于是在学习的过程逐步摸索科研的一般思路的，因此课题研究尚不够规范严谨，存在着如下如下有待探讨与发展的一系列问题: 第 12 页 共 14 页(实验总结报告) (1)在将“三课型”教学模式，尤其是新授课用于新教材的教学时，出现了教学容量小、教学进度慢的弊端，这颇值得我们探讨与实践( (2)对思维水平优劣仅凭考试成绩或直观感觉作出评定难以服人，寻找科学且易操作的测定方法有待我们共同努力( (3)提高想象力、发展创造力有待于今后进一步探索( (4)缺少充分的数据论证科研的实效性，对研究过程的处理尚不够系统( 以上也正是本课题研究需继续努力的方向( 第 13 页 共 14 页(实验总结报告) 第 14 页 共 14 页(实验总结报告)