【word】 应用反函数求不定积分

【word】 应用反函数求不定积分 应用反函数求不定积分 第24卷第1期 2011年2月 高等函授(自然科学版) JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences) Vo1.24No.1 2O11 ? 高职高专教学? 应用反函数求不定积分 何晓娜 (河南质量职业学院,河南平顶山467000) 摘要:给出反函数的一种不定积分法,应用此法,可以将某些类型的不 定积分问题简便地转 化为反函数的不定积分问题求解. 关键词:反函数;不定积分;分部积分法;换元积分法 中圈分类号:G633文献标识码:A文章编号:1006—7353(2011)Ol—OO4O—O2 换元积分法和分部积分法是求解不定积分 最基本的两种方法,对于解决复合函数和函数乘 积形式的积分问题非常有效,本文将由换元积分 法和分部积分法推导出利用反函数求解不定积分 的一类方法. 定理1设函数具有连续的反函数Y一 广 f-(),且lf(t)dt—F(,)+C,则有 J I厂(z)出一(z)一F[厂(x)-I.J 证明等式右端对z求导,得 f-()+[f-()]一,[厂(z)][厂()] 一 厂(z)+z[厂(z)]一z[厂(z)] 一 广(z). 广 例1求不定积分Iarsinhxdx. J 解取,(z)一shx,那么arsinhz—ln(x+ ~/1+z.),F()一chx, F[厂(z)]=41十,由定理1得 r— larsinhxdx=xarsinhX一~/1+z+C. J r 例2求不定积分IInxdx.J 解首先分部积分,降低被积函数的次数, 然后直接利用定理1求解. r广 Iln0xdx—xln.z一2llnxdx 40 ::=xlnz一2(xlnx—)+C =xln.z一2xlnx+2x+C. 当然,定理1只有对If(t)dt—F(,)+C能求 出来的时候适用,如果求不出来需选其他的方法. 定理2设If(x)dx=F(z)+c,又F(z)具 有连续可导的单值反函数,===F-(),且 r()?0,则有 J.)如一Jldy,其中k一 2,3,4… 证明设Y=F(z),且z—F-(),则出一 [r()]dy (x)dx:广()[r()]dy 一 [F(z)][r()]dy 一 [][r()]dy 一丽 两边积分,得证. 例3求不定积分』如. 解由j_一arctan+c,取— arctan,即z—tanY, 贝IlrF一(v)]一(tanv)一secv,于.是由定 收稿日期:2010一I1,O1. 作者简介:何晓娜(1972一),女,河南省平顶山市人,硕士,讲师,从事高 等数学的教学研究 第24卷第1期 2011年2月 高等函授(自然科学版) JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences) Vo1.24No.1 2O11 理2 』出一 一 j-—j-cos — m z +l sin2+c 一 号arctanz+南+c. 例4求不定积分Isecxdx. 解由j-seczzanx~C,gay=tan-z, 即z=arctanY, (一(arctany)一南,于是 由定理2 secz一丽一J.(+ Y.)一+.+C —tanz+tanz+C. 定tl3设函数Y一,()具有连续的反igi 数一厂(),且fg(,)dr—G(,)+c,则有 』.(z)g()出一(.z)G(z)一kfyk-’G(f-)). 证I11由换元积分法和分部积分法; j.(z)g(z)出一-f(z)() 一 fk(x)G(x)一I 一 (z)G(z)一f G()(fk()) G(厂())dy 一 fk()G()一kI一G(f-())dy. 例5求不定积分Iarcsinx(2x一5)dx. 解取一厂(z)一arcsinz,贝0一厂() ==:sinY;, 取g(z)一2x一5,则G(z)一z一5x, G(厂(1))一sinY一5sinY, 由定理3,得 Iarcsin.x(2x一5)dx—arcsinx(x.一5x)一 2Iy(sin一5siny)dy —arcsin2x(z2—5z)一1+1sin2+ T 1 cos十一+C2y10sinYlOycosYC.os十一+. 一arcsin2x(2—5z)一1 arcsin2+ 厕rcsinz+丢(1—2 +10一10,/,r二rcSin+C. 参考文献 E13同济大学应用数学系.高等数学(第五版)EM].北京: 高等教育出版社,2003. [23华东师范大学数学系.数学分析(上册.第三版)EM]. 北京:高等教育出版社,2001. E3-]孙涛.数学分析经典习题解析[M-I.北京:高等教育 出版社,2003. E43吴良森,毛羽辉.数学分析习题精解EM-I.北京:科 学出版社,2003. (上接第52页) 析各项指标相互影响后的净结果,然后再根据分 析结果来判断公司发生财务危机的可能性,最后 以此为标准,将公司进行分类,以便进行财务决 策.?不要机械地遵循所谓的合理性标准,而应 当善于运用”例外管理”原则,对各种异常现象进 行追踪调查和深入剖析. 参考文献 E1]全国会计资格考试考办编.财务管理EM].北京:中国 财政经济出版社,1998. E23财政部CPA考办.经济法规汇编EM3.大连:东北财 经大学出版社,1998. [33胡玉明.西方财务会计[M3.北京:中国物价出版 社,1992. 74]黄俊昌.企业财务管理与分析[M].北京:中央广播电 视大学出版社,1995. 41