最速降线的挑战

最速降线的挑战 吴佩萱 一 、问题的起源与挑战的提出,约翰又重复了一遍 : 成 。为确保无人误解这道难题 “在连接已知两点的无限多的曲线中 ??选择一条 意大利科学家伽利略在 1630 年提出一个分析 曲线 ,如果用一根细管或细槽代替这条曲线 ,把一个 力学的基本问题 : “ 一个质点在重力作用下 ,从一个 小球放入细管或细槽中 ,放手让它滚动 ,那么 ,小球 给定点到不在它垂直下方的另一点 ,如果不计摩擦 将以最短的时间从一点滚向另一点”。 显然 ,人们的第一个猜想是连接 A 、B 两点作直 力 ,问沿什么曲线滑下所需时间最短”,这就是科学 线 AB 。但是 ,约翰对试图采用这一过于简单化的方 史上著名的最速降线问题的起源 。8 年后 , 也就是 法提出了警告 : “ ??不要草率地作出判断 ,虽然直 1638 年 ,伽利略经过仔细研究得出了一个答案 , 他 线 AB 的确是连接 A 、B 两点的最短线路 ,但它却不 是所用时间最短的路线 。而曲线 AMB 则是大家所 在著作《论两种新科学》中认为此线是圆弧 。尽管这 熟知的一条曲线 。如果在年底之前还没有其他人能 个答案并不正确 ,但是却为问题的解决指明了方向 。 够发现这一曲线 ,我将公布这条曲线的名称”。 1696 年 6 月 ,瑞士数学家 、物理学家约翰伯?努 利 我们稍微分析一下 ,就可知 直线 AB 并不是所用时间最短的 () Jo hann Ber no ulli , 1667 , 1748 在《教 师 学 报 》 ( 路线 。设 C 是 AB 的 中 点 图 () Acta Erudito rum上再次就最速降线问题向全欧洲 图 1 ) 1,且假定质点在 A 点的初速为 点 速 度 与 下 降 高 度 的 平 方 根 成 提出挑战 。约翰提出的挑战很精彩 ,他设想有不同 零 ,由 机 械 能 守 恒 定 律 可 知 , 质 正比 ,质点在沿直线滑行的过程中 ,将以较小的速度 走完 AC 、以 较 大 的 速 度 走 完 CB 这 两 段 相 等 的 路 高度且不在垂直线上的两点 A 和 B ,连接这两个点 , 程 ,这当然是不合算的 。合理的安排是 ,在下降的初 可以做出无限多的不同曲线 ,从直线 、弧线到其他任 βγsinsin;所以 N y 的最大值为一条件极大值问题 。 意曲线 。现在设想有一个球沿着一条曲线从 A 点 αβ极大值在 9N y/ 9= 9N y / 9= 0 时 ,可得 滚向较低的 B 点 。当然 ,球滚完全程所需要的时间 ((βγ) βγβγ) βγ- N sin + sinsin+ N cos + cossin= 0 , ? βγ) βγβγ) βγ((αβγ - N sin +sinsin+ Ncos+sincos= 0 。 、、在 ? 取决于曲线的形状 。挑战是 ,找出一条曲线 AMB , αβγ= 极 大 值 时 都 不 为 0 , 否 则 N y N sinsinsin= 使球沿这条曲线滚完全程所用的时间最短 。他称这 0 。由 ?、?两式可化为 ? ((βγ) ββγ) β- sin + sin+ co s + co s= 0 , ( ) 条曲线为“最速降线”brachistochro ne,由希腊语中 ? ((βγ) γβγ) γ- sin + sin+ co s + co s= 0 。 ( ) ( ) βγ) βγβγ(的“最短”brochisto s和“时间”chro no s两个词合 由 ?、?得 tan + = cot= cot。故 = ,代入 ββ ββββ ?式 得 sin2sin= co s2co s、tan2tan= 1 , 解 得 2ββ β γ α tan= 1/ 3 、tan= 3/ 3 , 故 = 30、?= 30、?= 图 5 从图 5 可知 , N 在 y 轴上的分力 N y 越大 ,风 1 30。? α就越快地推动帆船 ,现分析如下 。 N ’ = N sin、N = γ αβ总之 ,当 = = = 30时? , N y 具有最大值 ,即 保持1 βγαβγN ’ sin、N y = N ’ sin, 所 以 N y = N sinsinsin。 船头与逆风成 60?, 且帆面恰在船头 和 逆 风 的 角平 αβγ πN 由风决定 ,在 0,/ 2 之间 ,、、越大 ,则 N y 分线上 ,帆船就能从逆风中获得最大动力 ,从而 βγ ππβ γ)α(越大 ; ++=/ 2 时 , N y = N sin / 2 - - ()最快到达目的地 。 浙江义乌苏溪中学 322009 较大速度走完较平坦的曲线 ,以便尽快到达 C 点 。 ??给外国人 ??戏弄 。” 二 、问题的解决很快 1697 年的复活节到了 ,约翰一共收到 5 份 答案 ,其中当然包括他自己的答案和莱布尼兹的答 约翰原定于 1697 年 1 月 1 日向大众公布答案 , () 案 。他的哥哥雅各布 J ako b Ber no ulli ,1654,1705可是到最后期限截止时 ,他只收到《教师学报》杂志 (寄来了第三份答案 这也许会使约翰感到沮丧 ,因为 ( 主编 、他的老师莱布尼兹 Got tf riend Wilhelm L eib2 ) 兄弟俩都视对方为强劲竞争对 手, 而 洛 比 塔 侯 爵 ( Guillaume Francois Anto nie de L ’Ho spital , 1661 , ) niz ,1646, 1716寄来的 1 份 答 案 。在 莱 布 尼 兹 的 ) 1704则寄来了第四份答案 。最后寄来的答案 ,信封 要求下 ,他将最后期限延长至复活节 ,以便科学家们 上盖着英国的邮戳 。约翰打开后 ,发现答案虽然是 有充足的时间来解决这道难题 。 匿名的 ,但却完全正确 。他显然遇到了他的对手牛 顿 。答案虽然没有署名 ,但却明显出自一位绝顶天 “最速降线问题”的困难在于它和以往的极大极 小 () 才之手 。据说 或许不尽可靠 ,但却非常有趣,约翰 值求法不同 ,要求出一个满足所给条件的未知函 数 半是羞恼 、半是敬畏地放下这份匿名答案 ,说道 : “ 我 () 曲线,而 17 世纪之前的物理及数学理论对此并 未从他的利爪认出了这头狮子 。” 于是约翰在当年第 6 期《教师学报》上公布众人 涉及 。全欧洲的科学家都被这个别出心裁的挑战 的解答 ,他们每个人所求得的曲线都是连接 AB 两 和所吸引 ,纷纷投入到对该问题的求解中 ,因为他们 点的一段上凹旋轮线 ,而这的确“是几何学家 、物理 意识到解决这个问题的很可能 形 成 一 门 全 新 的 理 他们谁也没有认识到它还是一条最快的下降曲线 。 学家所熟知的一条曲线”。我们注意到 ,帕斯卡和惠 : ??如果我明确说出 约翰以一种夸张的口吻写道 “更斯就曾研究过存在于单摆中的这一重要曲线 ,但 论 。而后来的事实也的确证明了这一点 。 惠更斯的 ??这一旋轮线就是我们所寻求的最速降 约翰还在问题中暗示了他所挑战的对象 ,他写 线 ,你们一定会惊呆了 。” 道 : “ ??很少有人能够解出我们独特的问题 ,即使 那些自称通过特殊方法 ??不仅深入探究了几何学 的秘密 、而且还以一种非凡的方式拓展了几何学的 疆域的人 。这些人自以为其伟大定理无人知晓 ,其 实早已有人将它们发过了 。”还有谁能怀疑他所说 的“定理”就是指流数法 ,他所蔑视的目标就是艾萨 图 2 光线的折射 克?牛顿呢 ? 牛顿曾宣称早在莱布尼兹 1684 年发表 尽管答案都是旋轮线 ,但 5 人的解法却各有千 ( 秋 。约翰 的 解 法 类 比 了 费 马 原 理 Fer mat p rinci2 微积分之前就已提出这一理论 。而莱布尼兹正 ) ple,巧妙地将物理和几何融合在一起 ,用光学方法 是约翰的老师 ,约翰以一种惊人的执着支持着莱布 要介绍 。如图 2 所示 ,光线以速度 V 从 A 点到达,而最速降线挑战无疑是最激动人心的一次 。 始的 1 P 点 , 进 入 另 一 媒 质 以 速 度 V 从 P 点 到 达 B 点 。 2 按图中记号 ,经过整个路程所用时间为 2 2 2 2 ()( ) 1 T = a+ x / V + b+ c - x / V 。 1 2 若该路程使时间达到最小 ,即 d T / d x = 0 ,得到 2 22 2 ( ) ()( ) b+ c - x 2 a+ x = c - x / V x / V 21图 4 旋轮线的几何含义 或 首先是因为参与挑战的人数众多 ,得出正确结 ()αα3 / V = sin/ V 。 sin1 1 2 2 ( ) 这就是斯涅耳 W. Snell ,1591,16261621 年通过 果的人在科学界也都赫赫有名 。牛顿 、莱布尼兹各 实验发现的折射 定 律 , 也 是 费 马 原 理 的 例 证 之 一 。 自独立地创立了微积分 ,牛顿还是历史上最伟大的 若光线通过多层媒质 ,在交界处都满足斯涅耳定律 : 科学家之一 ;科学世家伯努利家族在数学与物理学 ααααsinsinsinsin 1234( ) = = = = ? 4 领域的地位 ,正如巴赫家族在音乐领域的地位一样 V V V V 1 2 3 4 显 赫 , 而 伯 努 利 兄 弟 二 人 正 是 其 家 族 的 杰 出 代 当各层变得越来越薄而层数越来 表 ———洛比塔年幼时就显露出天才 ,15 岁时就解答 越多 , 极 限 情 况 下 , 速 度 连 续 变 出帕斯卡的摆线难题 ,1691 年末,1692 年 7 月师从 ( ) 化 ,光线也连 续 弯 曲 图 3 , 如 太 约翰?伯努利学习微积分 ,其著作《阐明曲线的无穷 阳光进入大气层 ,则满足 : α()sin/ V = 常数 。 5 图 3 连续变化 (小分析》Analyse des Infiniment Petit s Po ur L’intel2 媒质中的光线 可以设想 , 小 球 从 A 下 降 到 B 时 ) ligence des Lignes Co urbes的直观意念来自其导师 () 间最短的路径 ,同样应该满足公式 5。 约翰的洛必达法则 ,大大降低了微分运算的难度 。 利用能量守恒 ,小球在不同高度的速度为 其次 ,这次挑战中各人的解法不尽相同 ,由于雅 ()6 V = 2 gy , 可布的解法体现了变分的思想 ,且更一般化 ,使约翰 利用几何关系有 22 φ ()αφ (1 + tan= 1/ 7 1 + y′, 的学生 ———大数学家莱昂哈德?欧拉 L eo nhard Eu2 sin= co s= 1/ () () () 将分别来自光学 、力学和数学的公式 5、6、7结 ) ler ,1707,1783也开始关注这个问题 ,并从 1726 年 合起来 ,可以得到 起开始发表相关的论著 ,于 1744 年最先给了这类问 2 ( ) ()y 1 + y′= c 8 题的普遍解法 ,最终创立了变分法这一新的数学分 () 这就是最速降线的微分方程 。将式 8改写成 支 。变分法应用广泛 ,从肥皂泡到相对论 ,在诸如力 ()9 ( ) d x = y/ c - y d y 。 学 、电学 、空气动力学 、最优化控制中都有应用 。可 2φ φ) φ (记 y = csin,则 d x = c 1 - co s2d,积分后得 以说最速降线问题直接导致了变分学的诞生 ,这才 ()( ) ( φ φ) 10 x = c/ 22- sin2+ c 1 是这次挑战的最大意义所在 。 利用 A 点的边界条件可确定 c= 0 。记 a = c/ 2 、 1 ()长江大学物理科学与技术学院 434023 θφ = 2,有 (θθ)x = a - sin ()11 (θθ)y = a - co s 这就是图 4 所示旋轮线的参数方程 。曲线是由 半径为 a 的圆周上一点在圆沿 x 轴滚动时产生的 。 当 a 从 0 增大到 ?时 ,摆线的第一拱就扫过整个第 一象限 ,因而只要适当选择 a 就可以使之通过点 B 。 三 、挑战的意义 公开挑战的传统是从 16 世纪意大利米兰市菲