交变磁场在皮层内产生感应电场的理论计算

交变磁场在皮层内产生感应电场的理论计算 中 国 生 物 医 学 工 程 学 报V o l. 16 N o. 4 第 16 卷 第 4 期 1997 年 12 月 D ecem be r 1997 CH IN E SE JOU RN A L O F B IOM ED ICA L EN G IN E ER IN G 交变磁场在皮层内 产生感应电场的理论计算 冯远明梁晓会叶志生王明时 () 天津大学精仪学院生物医学工程与科学仪器系, 天津 300072 作为大脑皮层磁刺激基础性研究工作的一部分, 本文在建立头部球形模型的基础上, 考虑了 边界条件的影响, 对任意形状的线圈在头内产生的感应电场进行了理论推导, 得出了球坐标系中 的数值计算达式, 并由此给出了环形及八字形线圈感应电场分布的具体计算结果, 该结果将会 推动大脑皮层磁刺激理论和应用研究的进一步深化。 关键词: 交变磁场; 磁刺激; 大脑皮层; 感应电场 分类号: 318. 03; 318. 04R R 自 1985 年英国学者等人利用磁刺激技术首次在人体上实现大脑皮层的中枢神经 B a rk e r 1 刺激以来, 在至今的十年时间里, 磁刺激以其有效、无痛、无损伤、易于重复和操作简便等明 显的优点, 以及在中枢神经系统疾病临床诊断方面不断被证明的较高的应用价值和诱人的发 3 , 7 展前景, 而一直受到各国学者的关注, 并因此而获得了迅速的发展。 磁刺激大脑皮层技术 为检测皮层到脊髓和运动神经元的投射通路提供了一种定量分析的手段, 目前已被应用于对 2, 8 多发性硬化症、脊髓肌肉萎缩症等中枢神经系统疾病的诊断中。 一方面是磁刺激技术的应用领域不断被探索和发展; 另一方面由于人体头部解剖结构的 复杂性及对其大量相关参数检测的困难性, 使得目前磁刺激在大脑皮层内产生的感应电场的 9 分布特性及其作用于神经的机理尚不能给出准确的解释, 成为影响和制约磁刺激技术在基 础及应用研究中深入发展的障碍。 本文以建模的形式, 即在对人体头部解剖结构进行合理近似的基础上, 对磁刺激引起的头 内感应电场进行了理论推导。此项工作不仅具有基础研究的价值, 而且通过对影响感应电场分 布特性的多项参数的分析, 也为促进磁刺激技术在临床上获得更有效的应用提供了理论依据。1 模型的建立 在建模中, 将人体头部模拟为球形, 球壳作为边界, 并考虑球边界对感应电场分布的影响。由于人体组织的磁导率与真空的磁导率相近, 因此将球内的磁导率定义为真空磁导率 , 并 Λ0 ()假定其为一个均质、各向同性的导体, 导电率为 , 介电常数为 。导体外为真空 = 0, = 。 Ρs ΕsΡΕΕ0 将一个任意形状的刺激线圈置于球体外, 其中通以已知的电流 。将球的中心置于球坐标系的 I 原点, 如图 1 所示。 οοο () 其中, 为球形模型中任意一点的矢径, 在球坐标系中的坐标为 , , 为球外线圈上 。r r rΗΥ r ? ( ) 任一电流元 ’的矢径, 坐标为 ’, , ’, 其方向与线圈的路径相切, 为球半径。 ’I d lrΗΥr0 1996 年 7 月 10 日收稿, 1996 年 11 月 26 日修回 2 感应电场的理论推导 j Ξt 首先假定所有的时变量均随 的变化而 e 变化。 ψ A × 由电磁场理论可知, 磁感应强度 = B ψψ , 其中磁矢势 A A的表达式如下: ? Λ0 ψ I d l’ ()1 A = οο ?4Πcoil | r - r’| () 将1式代入法拉第电磁感应定律, 得出:ψ 5B ψψψ j ΞA ×A A × E = - = - j ΞB = - 5t 即: ψψ A () j ΞA = × E +0 也即:ψψ 图 1 人体头部球形模型()A V 2 E = - j ΞA - 其中 为由球边界上电荷累积所引入的势函数, 在球模型内满足方程, 即 VL ap lace () A × A V = 0 12 采用数值计算方法求解该数理方程, 得出其在球坐标系下的通解为:l ?l - l- 1 () ()r+ G r, Υ()V = F lm lm Y lm Η3 ?? l= 0 m = - 1 () 其中 , 为球谐函数, 、为复常数。 Y lm ΗΥF lm G lm 9 () 对3式, 引入第一类边界条件, 推出球内、外任一点的电势分别为:l ?l (()V t = F lm rY lm Η, Υ ?? l= 0 m = - 1 ?l - l- 1 (()V = rY , Υ0 G lm lm Η ?? l= 0 m = - 1 9 在此基础上, 再引入第二类边界条件, 导出如下关系式: 2 l+ 1 ( ) G = 4 lm F lm r0 l ?ψ οl- 1 ()()lF rY , Υ+ j ΞΕ j ΞA r r +lm 0 lm ΗΡs s ?? l= 0 m = - 1 l ?ψ ο - l- 2 ()( ()) 5 = j ΞΕl +1G rY Η, Υ j ΞA r r -0 0lm lm ?? l= 0 m = - 1 ()() 对4、5式整理, 在 = 处得: rr0 ?l ψ οl- 1 () ( (() ) ) l Ρ+ j ΞΕ+ j ΞΕl + Ρ+ j Ξ Ε- 1 Εj ΞA r rs s 0 s s × F r0 Y Η, Υ= -0 lm lm ??l= 0 m = - 1 ()6 1() , 首先将 1中的 项按球谐函数展开, 即为利用上式解出复常数 F lm οο|r- r’| l ?l 1 r( )() () =4ΠY Η, Υ’Y Η, Υr’>rlm lm sl+ 1 οο ?? (| r - r’| 2 l + ) 1rl= 0 m = - 1 () 将其代入 1式, 并整理得: ? l3 ) (Y Η, Υ’ψlm ?l () ΛI rY Η, Υ()0 lm 7 A = d l’2 l+ 1 ?? ?cotl () 2 l + 1r l= 0 m = - 1 ? 对于给定的线圈形状和位置, 上式中的积分结果为一系列的复常数, 定义它为系数 , K lm 即 3 () Y Η, Υ’?lm ? K = lm d l’2 l+ 1 ) ?cotl (2 l +1r ψ () 将其代入式 7, 使矢量场的表达式简化为: A l ?ψ?l () A = ΛI rY , Υ0 lm ΗK lm ?? l= 0 m = - 1 ψψ οο( ) 为解出复常数 , 由式 6可知, 必须找到?的表达式, 而由上式又知, 要求出?,F lm A r A r ?? ο 首先要解出 ?。 为简便起见, 先将 在直角坐标系下展开, 即K lm rK lm ??οοz x y = i + j + K K k lm K lm K lm lm ?οο ο 又由: r= co sΥsin Ηi++ , 于是推出: sin Υsin Ηj co sΗk x yx y K lm - j K lm K lm + j K lm ?z j Υ - j Υ οK co sΗ sin Ηe+ sin Ηe+ lm K lm r = r 22 为简化上式, 再定义两个变量 , 。 令 C lm D lm x y - K lm j K lmC = lm 2 x y + j K K lm lmD = lm 2 ? j Υ - j Υ z ο lm 则:K lm r r = C lm sin Ηe+ D lm sin Ηe+ K co sΗ 于是: ?l ψj Υ - j Υ) z l ο () ()ΛI rY , ΥC sin Ηe+ D sin Ηe+ K co sΗ8 0 lm Ηlm lm lm A r r = ??l= 0 m = - 1 ( ) ( ) 对 8式利用球谐函数的递推关系, 并对下标及求和范围作相应地调整, 将结果代入 6 式, 直接推出系数 的表达式如下:F lm ( ) Ρ+ j Ξ Ε- Ε - j ΞΛ0 I s s 0 ( )) ( l + m - 1l + m F = lm ×- C + l- 1, m - 1() ( )l Ρ + j ΞΕ+ j ΞΕ l + 1 s s 0 () ()2 l + 12 l - 1 ) ( )( ( )) ( l - m - 1l - m l - m l + m z D + K l- 1, m + 1l- 1, m (() () ())2 l + 12 l - 1 2 + 12 l - 1对于上式要求 > 0, = 0。 lF 00 最后, 综合利用以上各式, 导出模型内任意一点感应电场的, 这里取其N阶近似 结果, 表达式如下:N + 1 l 2 )( ) (1 j ΞΕ2 l +0 ψl- 1 ο() Y lm Η, Υ×E r r = - ΛI r0 ?? ) (Ε l + Ε lΡ j ΞΕl + s 0 0 +s l= 1 m = - 1 ( )( )) ( ) ( l + m - 1l + m l - m - 1l - m + D - C + l- 1, m + 1l- 1, m - 1() ()() ()2 l + 12 l - 1 2 l + 12 l - 1 ( ) ( )l - m l + m z ()9 K l- 1, m () ()2 l + 12 l - 1 N l N + 1 l ψ ο jm l- 1 l Υ - j Υ j () () ()rE Υ= -j ΞΛ0 I j C lm eD lm e r Y lm Η, Υ- F lm r - Y lm Η, Υ ????sin Η l= 0 m = - 1 l= 0 m = - 1 ()10 N - 1 l ψ ο ) ( )( l - m + 1 2m + l - x - j Υ j ΞΛI E Υ= -0 r ??- + K e l+ 1, m - 1 l= 0 m = - 1 () ()2 l + 12 l + 3 l+ 1 ( ) ( ) l - m + 1l + m + 1j Υ - j Υ () Y Η, Υ-rlm (+ Cl+ 1, m D e)el+ 1, m () ()2 l + 12 l + 3 N + 1 l ( )) ( l + m - 1l + m z - j Υ j ΞΛI 0 ??K + el- 1, m - 1 l= 1 m = - 1 () ()2 l + 12 l - 1 ( ) ( )l - m l + m j Υ - j Υ + () + D e Cl- 1, m el- 1, m ) ()(l + 1 12 2 l - 1 - j Υ ( ) ( ) m - - m + 1 l + l F l, m - 1 e 2 1 l- 1 j Υ ) ( ( ) ()()l + m + 1 l - m rF l, m + 1 eY , Υ 11 lm Η 2 3 感应电场分布的实际计算 利用以上理论推导的结果, 对用于头部磁刺激实验的环形及八字形线圈在球形头模型内 的感应电场分布进行了实际计算。 考虑一般成人头的平均尺寸, 选 = 9。 r0 cm 通过改变影响刺激效果的刺激线圈半径值及 球形模型内计算点距离球面的深度值, 对上 述因素作用于感应电场强度的结果作一比较分析。计算中, 将线圈置于球外与 面平行的平 x oy 面内, 并将线圈的中心点置于 轴上, 与球面相切。 近似阶次取为 20 阶, 对于刺激线圈的环路 z 10 , 12 积分, 采用了 80 点的 2求积公式, 具有足够高的计算精度。Gau ssL egen d re 线圈匝数为 18 匝, 峰值电流 = 3000, 刺激频率 = 0. 3。Im A f H z 通过 语言编程, 分别给出了如下的环形及八字形线圈在球内感应电场分布的计算结果C () 见图 2, 5。 对结果进行分析, 可以得出如下结论: ( ) 1环形线圈的感应电场最大值出现在线圈的边缘处, 因此, 置于线圈下的、与半径相切 的人体组织均可能被刺激到。 由于它与皮肤表面容易接触, 将其用于外周神经刺激效果较好。 () 2八字形线圈的感应电场的最大值出现在线圈相交处的下方, 沿两个环形线圈的切线 方向, 由于它的聚焦性强, 使刺激更具有选择性, 将其用于大脑皮层功能区的刺激效果最好。 () 3线圈的直径越大, 其穿透能力越强, 刺激阈值也越低, 而聚焦性越差。 4 讨论 以上对于头内感应电场分布的推导, 因在模型的建立上与实际情况更为接近, 使得计算结 果也更趋近于实际值。 结果中给出了不同大小及结构的线圈, 在头内不同层面上, 即刺激达到 不同深度值时的感应电场分布特性及强度指标。 这一结果对于磁刺激技术在临床上更有效地 应用具有实际意义。 图 2= 40的环形线圈 图 4= 40的八字型线圈 d mm d mm () 在球内的感应电场分布 沿 轴方向 在球内的感应电场分布。y 图 3 = 80的环形线圈 图 5 = 80的八字形线圈 d mm d mm () 在球内的感应电场分布。 沿 轴方向在球内的感应电场分布。y 此外, 在计算过程中发现, 感应电场沿球的径向分量为 0, 也即由外界刺激无法产生径向的感应电场分量。 这一结果表明, 以上由一层球模型得出的结果, 可用于更接近头部实际情况 的三层同心球模型内场的近似计算, 这一结论为进行更深入的模型研究奠定了基础。 模型中将头部模拟为一个均质、各向同性的球导体, 而没有考虑组织的不均匀性和各向异 性, 这与实际情况有差异, 进一步采用有限元法将会对此模型给予适当的完善。 5 参考文献 2, 1107. . 1985, 2: 1106B a rk e r A TN o n inva sive m agne t ic st im u la t io n o f th e h um an m o to r co r texL ance t 1 , . , : . 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A sin g lesp h e re m o de l w a s u sed to rep re sen t th e b ra inT h e e lec t r ic f ie ld a s a fu n c t io n o f th e , . co il sizepo sit io n an d sh ap e w a s com p u ted n um e r ica llyD iffe ren t co il sh ap e s su ch a s c irc le 22, an d f igu reo f e igh t w e re co n side redan d d ist r ib u t io n s o f th e in du ced e lec t r ic f ie ld s w e re g iv2 .en : ; ; ; Key wordsA lte rna t ing m agne t ic f ie ldM agne t ic st im u la t io nCo r texInduced e lec t r ic f ie ld