函数奇偶性与三角函数奇偶性

函数奇偶性与三角函数奇偶性 目前我们了解的几种函数: 12x; (2)反比例函数:如f(x),; (3)一次函数:如f(x),x，1; (1)正比例函数:如f(x),xy y y x x x O O O 2(4)二次函数:如f(x),x,2; (5)常数函数:如f(x),2; (6)分段函数:如f(x),|x|。 y y y x x x O O O 研究内容:函数图像的对称美 1、关于y轴对称的轴对称函数图像:(4)、(5)、(6) 2、关于原点对称的中心对称函数图像:(1)、(2) 研究结论:图像关于y轴对称的函数具有以下特征:对于函数f(x)定义域D内的任意实数x，都有f(,x),f(x)。此类 函数y,f(x)叫做偶函数。 研读定义: (1) f(x)与f (,x)均存在，则x?D且,x?D，得定义域关于原点对称。 (2) 判断一个函数是偶函数时，用任意性进行证明;判断一个函数不是偶函数时，只需要举出一个反例即可。 [例1] 判断下列函数是否为偶函数, 2x(x1),142(1)f(x),2x,3x; (2) f(x),; (3) f(x), x1,x 反思:判断函数是否偶函数，先看定义域是否关于原点对称，再研究f(,x)与f(x)关系。 研究结论:图像关于原点对称的函数具有以下特征:对于函数f(x)定义域D内的任意实数x，都有f(,x),,f(x)。此 类函数y,f(x)叫做奇函数。 研读定义: (1) f(x)与f (,x)均存在，则x?D时必有,x?D，得定义域关于原点对称。 (2) 判断一个函数是奇函数时，用任意性进行证明;判断一个函数不是奇函数时，只需要举出一个反例即可。 小结:函数的上述两个性质，称为函数的奇偶性。 [例2] 判断下列函数的奇偶性。 112(1)f(x),x，; (2) f(x),x，; (3) f(x),|x，1|,|x,1|; (4) f(x),2 xx 变式1:f(x),0 —— 既是奇函数，又是偶函数。 2变式2:f(x),ax，a?R 解:(1) 当a,0时，f(x),0，x?(,?，，?)，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。 2(2) 当a?0时，f(x),ax，x?(,?，，?)，则f(x)是偶函数。 思考1:既是奇函数，又是偶函数的函数有多少个, ——无数个(达式唯一即f(x),0，但定义域可以不一样) 。 思考2:两个奇函数的和是不是一定是奇函数, ——不一定。和函数可能不存在;若和函数存在，则一定是。 思考3:知道了函数的奇偶性，可以派什么用处, 作用一:利用函数的奇偶性可以作函数图像。 [例3]已知函数y,f(x)是偶函数，且知道x?0时的图像，请作出另一半图像。 y y x x O O 由偶函数图像关于y轴对称，可以作出函数的另一半图像。 作用二:利用函数的奇偶性可以求函数解析式。 2[例4]已知函数y,f(x)是奇函数，且x,0时，f(x),x，2，求x,0时函数f(x)的解析式。 22解:x,0时，,x,0 ?f(,x),(,x)，2,x，2 ?y,f(x)是奇函数 ?f(,x),,f(x) 22即x,0时，f(x),,f(,x),,(x，2),,x,2 ——可以作图进行验证 思考:若告诉你f(x)在x,0上有定义，能否知道f(0)的值, ?f(,0),,f(0) 即f(0),,f(0) ?2f(0),0 则f(0),0 ——可以用图进行说明 高一数学函数的奇偶性练习 1、下列函数是否具有奇偶性. (1); (2); (3); (4) (5) 2、函数在上是减函数,求的取值集合 。 3，bx，73、若函数f(x)=ax,有f(5)=3则f(,5)= 。 4、设f(x)是R上的偶函数，且在[ 0, + ? )上递增，则f(--2) 、f(--) 、f(3)的大小顺序是 。 , 5、f(x)是[,2，2]上的奇函数，若在[0，2]上f(x)有最大值5，则f(x)在[,2，0]上有最 值 。 26、已知函数f(x)=ax+bx+3a+b为偶函数，其定义域为 [ a—1, 2a ],则函数的值域为 。 2327、若二次函数f(x)=ax+bx+c是偶函数，则g(x)=ax+bx+cx是 函数。 8、已知定义在(-?，?)上的奇函数f(x)，当x > 0 时f(x)=3 x – 1,求f(x)的解析式。 8、若函数在上是奇函数,试确定的解析式 29、奇函数f(x)在定义域(,1，1)上是减函数，且f ( a )+ f ( a) < 0,求实数a的取值范围。 22x，2x，33x,4x,110、偶函数f(x)在定义域为R，且在(-?，0]上单调递减，求满足f ( )> f ( ) 的x的集合。 311、设函数f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f ( x)+ g (x)=,求f(x)，g(x) x，3 ax，b1212、设函数f(x)=是定义在(,1，1)上的奇函数，且f()=，(1)确定函数f(x)的解析式;(2)用定义证2251，x 明f(x)在(,1，1)上是增函数;(3)解不等式f ( t,1)+ f (t) 三角函数的单调性与奇偶性 1、求下列函数的最小正周期:(1) f(x),sinxcosx;(2) f(x),sinx，cosx ,2、若f(x),Acos (mx,)的周期为π，则m,__________ 3 函数周期性:f(x，T),f(x)，常数T?0 函数奇偶性:f(,x),f(x) ——偶函数;f(,x),,f(x) ——奇函数 函数单调性:x,x，f(x),f(x) ——单调递增函数; 1212 x,x，f(x),f(x) ——单调递减函数 1212 [例1] 判断下列函数的奇偶性。 (1) f(x),sinxcosx (2) f(x),|sinx| (3) f(x),sinx，cosx 3, (4) f(x),sin(x，) 2 问题:正弦函数和余弦函数的图像在不同区间上具有不同的单调性，能求其单调区间, 研究:利用单位圆或函数图像研究一个区间上的单调性，在利用周期性进行推广。 ,,(1) 正弦函数:单调递增区间[2kπ,，2kπ，]，k?Z 22 3,,单调递减区间[2kπ，，2kπ，]，k?Z 22 (2) 余弦函数:单调递减区间[2kπ，2kπ，π] ，k?Z 单调递增区间[2kπ，π，2kπ，2π]，k?Z [例2] 求下列函数的单调区间。 ,(1) f(x),sin (x，) 4 (2) f(x),cos2x x, (3) f(x),3sin(,) 26 解题规律:(1) 以正弦函数和余弦函数的单调性为依据，整体代入求解单调区间。 (2) 单调区间与函数周期有密切的关系。 (4) f(x),cosx,sinx，x?[0，π] 3 解题规律:先求函数的单调性区间，再考虑规定区间上的单调性。 [例3] 利用函数的单调性，比较下列函数值的大小。 2,,(1) sin与sin 55 9,8, (2) sin与sin 87 解题规律:先确定角的大小及所在区间，再判断相应区间上函数的单调性，即可确定大小。 25,13,(3)cos与cos(,) 89 ,解题规律:通过诱导公式，将角转化到同一个单调区间内，如(0，)。 2