六招搞定分式方程的检验

六招搞定分式方程的检验 六招搞定分式方程的检验 湖北省襄阳市襄州区黄集镇初级中学 赵国瑞 先看两道解分式方程的题目: (1);(2)。 解:(1)方程两边同乘以，得)解得x=3) (2)方程两边同乘以，得)解得x=0) 方程(1)中未知数的取值范围是，方程(2)中未知数的取值范围是)在去分母将分式方程转化为整式方程后，未知数的取值范围扩大到了全体实数)这时，若所得整式方程的解不在扩大的部分，那么所得的解就是原分式方程的解，如方程(2)的解x=0;若整式方程的解恰好在扩大的部分，那么此解就是原分式方程的增根，如方程(1)的解x=3) 由此可见，增根是由于在分式方程转化为整式方程的变形过程中，未知数的取值范围扩大而导致的，这是增根产生的原因) 虽然在解分式方程时可能产生增根，但它可以通过“检验”找出来)那么如何对分式方程进行检验呢,下面向你介绍六招: 第一招 代入验根法 将所得的根代入原方程的左、右两边，若左边等于右边，则此根即为原方程的根，否则，此解为原方程的增根( 方程的解为,,( 例1 解:方程两边同乘以，得)解得) 检验:把代入原方程，得左边==，右边==， 左边=右边，?原方程的解( 点评:运用代入检验法，不仅能检验出原方程的增根，而且可以检验出求得的根是否正确( 第二招 比较检验法 令分式方程中各分母等于零，求出使各分母为零的未知数的值，然后与所得的根进行比较，相同的即为原方程的增根，否则即为原方程的根) 例2 解方程 解:方程两边同乘以，得) 解得( 检验:令=0，得;令=0，得( 比较，得是原方程的根) 点评:比较检验法适合所得根比较复杂的题型( 第三招 公分母检验法 把解得的根代入所乘的最简公分母中进行判别，使公分母为零的值即为原方程的增根，否则即为原方程的根) 例3 解方程( 解:方程两边同乘以，得(解得( 把代入，得=1?0， ?是原方程的根( 点评:公分母检验法比较简单，因此常被广泛地应用) 第四招 无需检验法 虽然在解分式方程时可能产生增根，但对于某些特殊的分式方程，我们可以用合并法(把同分母分式合并)，从而避免分式方程产生增根，因此用这种解分式方程无需验根) 例4 解分式方程，可知方程( ) A(解为 B(解为 C(解为 D(无解 解:原方程即， ，，即1=8(?原分式方程无解(答案选D( 点评:本题若按常规方法会产生增根(由于运用了合并法，从而避免了增根的产生，因此运用合并法解分式方程不需要检验(除了运用合并法可以避免分式方程产生增根外，还可运用换元法避免分式方程产生增根，如在解分式方程时，若按常规方法会产生增根，若采用换元法，设，则)原方程可化为)即)0=-2(?原方程无解) 第五招 根据取值范围检验 例5 已知x为实数，且，那么的值为( ) A(1 B(-3或1 C(3 D(-1或3 解:设，原方程变形为( 即(解得，( 经检验，，都是原方程的根( 但，?( 而不满足，满足( ?是原方程的根，故应选A( 点评:本题有意识地为同学们设置了一个“陷阱”，如果不注意的值的范围，极易错选B，正中命题者的“陷阱”( 第六招 根据题意检验 例6 A、B两地相距18千米，甲工程队要在A、B两地间铺设一条输送天然气管道，乙工程队要在A、B两地间铺设一条输油管道(已知甲工程队每周比乙工程队少铺设1千米，甲工程队提前3周开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙两工程队每周各铺设多少千米管道, 解:设甲工程队每周铺设管道x千米，则乙工程队每周铺设管道千米( 根据题意，得( 方程两边同乘，得( 整理，得(解得x=-2或x=3( 经检验，x=-2或x=3都是原方程的根(由于x表示甲工程队每周铺设管道的长度，不可能为负数，因此x=-2不合题意，所以x=3( 点评:解分式方程应用题要注意进行“双重”检验:不仅要对方程的解进行检验，还要对题意进行检验，看看方程的解是否符合问题的实际意义( 2011-08-09 人教网