有教无类教出一样的精彩——基于“最近发展区理论”的高考试题在低层次学生中的教学实践与反思

有教无类教出一样的精彩——基于“最近发展区理论”的高在低层次学生中的教学实践与反思 有教无类教出一样的精彩——基于“最近发展区理论”的高考试题在低层次学生中的教学实践与反思 第卷第期年月 数学敖学研究 有教无类教出一样的精彩 ??基于“最近发展区理论的高考试题在低层次学生中的 教学实践与反思 陈华安 广东省佛山市顺德区容桂职业技术学校 每年的高考试题都是命题者精心打磨的 学生将相关知识串成线、线成面, 从而激发学 生学习数学的兴趣,提高学生的思维能力与 精品,一线教师研究高考题并把它作为教学 资源,无论对于平时的教学还是备考都有着 综合运用知识解决问题的能力, 实现课堂教 学效益. 重要的导向和示范作用.但由于高考试题具 试题设数列。的前疗项和为。,满 有较强的综合性、思维量大、运算繁杂、难度 较大等特点,致使很多学生尤其是低层次学 足曩口,?种,?十,且,口 生对其见而远之.因此,为了充分发挥其综合 ,口成等差数列. 性对不同层次学生的教育教学功能,教师在 求的值; 教学中需要对其做深入挖掘,以教材相应内 ?求数列口的通项公式. 容为蓝本,在学生的“最近发展区”中设计出 详细“趣情与学情” 与学生数学认知能力相匹配的问题,通过将 题情与学情分析的目的,就是为了探寻 相关知识的重组和运用,让学生了解高考题 适应低层次学生数学认知能力要求的数学概 的命题思路和结构特点,明确解题思路,从而 念、运算方法、数学模型及知识的呈现顺序 提高学生的数学能力和教师的课堂教学效 等,以便于找准“学生的最近区”,使设计的问 益.笔者尝试以年广东高考理科数学 题低层次学生能够做得了.题情与学情分析 题在低层次学生中的教学为例,与各位同 的内容,包括挖掘试题与教材中的相关知识 仁探讨. 点、例题、习题的联系,分析相关知识的重组 方法和运用途径,从而在教与学中合理设计 实例呈现点明主题 与学生能力相匹配的层次性问题,充分体现 数列不但是高中数学的重要知识,而且 教学的合理性、学生思维的流畅性与衔接性. 其内容是沟通高等数学的桥梁,其中求数列 .分析题情 的通项公式几乎是每年必考的内容.根据教 本题已知条件等式的结构初看较为复 学需要在低层次学生中适当渗透这类高考 杂,但它是源于教材《数学?必修人民教 题,既可以在学完数列新知识后让学生提前 育出版社版第?页例得到 体验解答高考题,消除其苦涩感和恐惧感,深 化对数列核心概念的理解,而且能让学生明 的一个一阶线性递推关系:,,%一 白,高考题其实是以教材的知识、例题、练习 咒.因此可以说,甜一矛 是由 题为蓝本进行适当的改编与重组而来,掌握 , 靠, 必要的解题思想方法,增强自信心.高考题根 一‘ ” ?一,?, 在教材,理在书中,对其适当利用,可以促成 万方数据 数学教学研究 第卷第期年月 及。一。一 问题 。与。有什么关系 经过重组与变式把常数项变为指数为咒的 学生相视而笑,太简单了. 指数式得到. , 。: .分析学情‘ 蝴?,咒?. 该试题考查的是一阶线性递推关系式求 当/一时,.口。?计,得 通项公式的问题.学生学完课本相关内容得 ?,与条件,,成等差数 到的一个一阶线性递推关系:一,。一 列,联立求得 口州咒,在老师的引导下知道并研 ?,?. 究过,一般情况下它的解题通法:一是变形换 问题已知数列。满足一,。一 元,化归为等比数列;二是方程组法,即由递 ,,求数列口,的通项公式. 推关系式写出咒一个等式相加得到.另外, 学生太熟悉了,就是等比数列 在学完《数学?选修?》合情推理与数学归 ”行. 纳法后,还可形成另一种解法:归纳猜想证 问题教材《数学?必修》人民教育 明,即由前项的计算,观察规律归纳出其通 出版社版第页例得到的一 项公式,再用数学归纳法证明.由此可见,解 个一阶线性递推关系,。.。以 决本题时学生已经有了一定的知识运用储 ,求数列。的通项公式. 备.但由于笔者上课的班级是非重点中学的 学生似曾相识,仔细分析,发现它可以转 学生,生源质量差,他们的数学基础薄弱,运 化为等比数列. 算能力弱,理解问题的速度慢,学习欲望不 方法转化为等比数列一部分同学 强,由知识转化为能力还需要跨越层层障碍, 用配凑法写成 因此需要老师适当点拨,合理设计,顺应学生 ‰。一, 的思维,帮助他们跨越障碍,让他们能够理解 则数列‰是以首项,,公比为 问题和解决问题.就能力要求而言,如何有效 的等比数列,求得 实现递推式.。,一什的转化是成 。”一. 功解题的关键,而科的存在则是导致低层 另外一部分同学把 次学生无法实现有效转化的最大障碍,而还 。。一 有一部分学生即使会转化为口抖,。”, 写成 如何求。仍是个问题. 。口,, 分解挖掘降低难度 用待定系数法求得,同样得出一样的结 果. 事实上,高考题的大综合性和大思维量 是由多个题组与多个知识点组合而成,只要 学生解题感悟:配凑法技巧性太 强,不易 我们对其去枝强干,正本清源,抓住其本质, 掌握;待定系数法是通性通法. 理清脉络,将综合问题分解为多个小问题加 问题当咒依次取正整数时,由递 推 以解决,这样综合性问题就变成了简单问题 关系,。。一靠可以得出 了. 多少个等式它们有什么特点如何运算可 为了降低该试题的综合性和难度,便于 得出结果 引发学生火热的思考,让他们都能“跳一跳” 方法方程组相加法由 就可以摘到“桃子’’,笔者通过下面个问题 ,。。一 咒, 组对该试题进行拆分. 得挖一个方程相加的方法. 万方数据第卷第期年月 数学教学研究 。口一“一,, 口。。一, 即口。。”咒?. 口。一。一, 它等价于 .口一?。一, 口。?口’冗?十. ....” 本处的运算是让学生熟悉‰一,广, 【”一口“一口 , 咒?的应用,在得出抖.”后验 以上咒一个方程相加,得 证时也成立,从而指出等价命题. ‰”一口?”, 问题 口“与口, 化简得 口,。 的结构是否相同如何将 ‰护一. 口,.。”转化为口。的形式 学生在尝试中学会分析式子的结构特 学生尝试两边除以”得到 征,从中找规律,拓展思维空间. 问题由递推关系口。,口。唿。 訾一?鲁, ,写出口,口,口,的值,并归纳猜想口 再变为 的通项公式,再用数学归纳法证明. 学生感觉还有点信心. 券导?鱼上, 方法归纳猜想证明法由 故其结构一样. ,‰., 至此,学生通过分析两等式的结构理解 得 ,,,口, 其本质,发现转化的方法:两边同除以护或 则归纳猜想 州即能消去常数项中参数,最终转化为一 ‰。“一. 阶线性递推关系,从中渗透化归与转化意识. 用数学归纳法证明: 问题类比问题求数列通项公式 当时,成立; 的方法解题已知数列口,满足口?,口。, 假设当口。志时结论成立,即 ..?,求‰的通项公式. ‘, 方法‘转化为等比数列由 。 那么当时, 口,‰皇磊,.咒?, 得券号?参丢. ??‘ 抖?, 设“鲁,则 因此当时结论也成立. . 故所求的通项公式是‰矛。 虿“十百’ 归纳猜想证明的依据是合情推理与数学 即厶昔厶. 归纳法,是教材要求掌握的推理方法和证明 方法。通过问题驱动,启迪学生思维发展,提 故数列“是以鲁寻为首 高数学能力. 问题由。锄化简“ 项,公比为告的等比数列,因此 ’ ?抖得到什么 已知口。??,当矩?时 厶。导”, ‰一“, 两式相减得 即“导“ 万方数据数学教学研究 第卷第期年月 由此得数列口。的通项公式为 ‘‘, 。”一“. 则当时, 口抖‘ 至此,学生的思维豁然开朗,解题的成就 ‘‘抖?件, 感油然而生,学习激情大强. 方法程组相加法由 故当结论成立. 口, 故所求的通项公式为 。口,”砣?十, ‘一‘. 我们知道,类比就是寻找两类事物之间 得咒?时咒一个方程 的相同性或相似性.将问题与问题让学 。”, 生比较、鉴别,使他们深刻理解和领会解决此 口,一, 类问题方法的同一性、运算的相似性. .一一×”, 问恿以上个方法是解决由递推关 系式撇。。其中,靠,都是非 【.?口”×, 零常数求数列通项公式的方法,请你比较这 以上一个方程相加得 种方法的特点,指出哪些方法是比较容易。”~”一 理解和掌握的比较容易理解和掌握的方法 ×”霄 就是我们平时常用的通性通法. ”一一×? 变式问题已知数列“中,。, ×?,广 铂。咒,求数列口的通 。一扩. 项公式. 故数列口的通项公式为 变式问题已知数列‰中,。, 幽?. . 评注 方程组法与迭代法本质是一样 甜?薷赍竹,求数列口。的通项公 的,但迭代法在书写时的连续性往往让低层 式. 次学生处于“剪不断理还乱的状态,增加了 变式问题年广东高考题设 他们理解的难度,而方程组法无论是书写还 ,数列‰满足口 是理解都有利于低层次学生. ,瓦‰ 方法归纳猜想证明由 靠?. 口, 求数列‰的通项公式; 。。”, ?略. 得?, 变式问题已知数列口,中,, 口, ..隅靠×一,咒.是非零常数,咒 口× ,求数列口的通项公式. . 个变式问题其实是问题的变式,对 于求一阶线性递推公式的数列通项公式的方 因此归纳猜想得 法与运算,学生有了更深刻的理解,并能从数 ‰。. 与式的结构两方面综合考虑.通过试题的变 用数学归纳法证明: 式,不但可以将原问题推广到一般情况,从而 当时成立. 让学生深刻理解和掌握其解题方法,拓展思 假设当时结论成立,即 维空间,而且学会比较鉴别解题方法的优劣, 万方数据