高中数学集合总复习资料

高中数学集合总复习 （一）集合的有关概念： 1、集合的概念 （1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合。 （2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。     2、常用数集及记法  （1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合。记作N （2）正整数集：非负整数集内排除0的集。记作N*或N+ （3）整数集：全体整数的集合。记作Z （4）有理数集：全体有理数的集合。记作Q （5）实数集：全体实数的集合。记作R （二）集合的表示方法 ： 列举法，描述法 （三）集合中元素的特性  （1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可。 （2）互异性：集合中的元素没有重复。 （3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出） 1.子集 （1）定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作A⊆B（或B⊇A）   这时我们也说集合A是集合B的子集. 2．交集的定义 一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集． 记作AB（读作‘A交B’），即AB=｛x|xA，且xB｝． 2．并集的定义 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集． 记作：AB（读作‘A并B’），即AB ={x|xA，或xB})． 3.两个集合相等 一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B. 用式子表示：如果A⊆B，同时B⊆A，那么A=B. 例1：用描述法表示下列集合 ①{1，4，7，10，13}            ②{-2，-4，-6，-8，-10}          用列举法表示下列集合   ①{x∈N|x是15的约数}            {1，3，5，15} ②{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}}  {（1，1），（1，2），（2，1）（2，2）}   取值范围是[    ] A．m＜4  B．m＞4  C．0＜m＜4      D．0≤m＜4 可得0≤m＜4．答  选D． 例3：  已知M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}则M∩N是[    ] A．{0，1}  B．{(0，1)}  C．{1}      先考虑相关函数的值域． 解  ∵M＝{y|y≥1}，N＝{y|y≤1}， ∴在数轴上易得M∩N＝{1}．选C． 例4：  设集合A＝{x|－5≤x＜1}，B＝{x|x≤2}，则A∪B＝  [    ] A．{x|－5≤x＜1}  B．{x|－5≤x≤2}  C．{x|x＜1}    D．{x|x≤2} 分析  画数轴表示 B)．答 D． ∪B)； 为 [    ] A．1  B．2    C．3    分析  根据交集、并集的定义，①是错误的推理．答  选C 例6： 集合A＝{(x，y)|x＋y＝0}，B＝{(x，y)|x－y＝2}，则A∩B＝________． 分析  A∩B即为两条直线x＋y＝0与x－y＝2的交点集合． 所以A∩B＝{(1，－1)}． 例7：设A＝{x∈R|f(x)＝0}，B＝{x∈R|g(x)＝0}，[    ] A．C＝A∪(UR)    B．C＝A∩(UB)  C．C＝A∪B        D．C＝(UA)∩B 分析  依据分式的意义及交集、补集的概念逐步化归 ＝{x∈R|f(x)＝0且g(x)≠0}＝{x∈R|f(x)＝0}∩{x∈R|g(x)≠0} ＝A∩(UB)．答  选B．说明：本题把分式的意义与集合相结合． 例8  集合A含有10个元素，集合B含有8个元素，集合A∩B含有3个元素，则集合A∪B有________个元素． 分析  一种方法，由集合A∩B含有3个元素知，A，B仅有3个元素相同，根据集合元素的互异性，集合A∪B的元素个数为10＋8－3＝15． 另一种方法，画图1－10观察可得． 答  填15． 例9  已知全集U＝{x|x取不大于30的质数}，A，B是U的两个子集，且A∩(UB)＝{5，13，23}，(UA)∩B＝{11，19，29}，(UA)∩(UB)＝{3，7}求A，B． 分析  由于涉及的集合个数，信息较多，所以可以通过画图1－11直观地求解． 解  ∵U＝{2，3，5，7，11，13，17，19，23，29} 用图形表示出A∩(UB)，(UA)∩B及(UA)∩(UB)得 U(A∪B)＝{3，7}，A∩B＝{2，17}，所以  A＝{2，5，13，17，23}， B＝{2，11，17，19，29}．说明：对于比较复杂的集合运算，可借助图形． 例10  设集合A＝{x2，2x－1，－4}，B＝{x－5，1－x，9}，若A∩B＝{9}，求A∪B． 分析  欲求A∪B，需根据A∩B＝{9}列出关于x的方程，求出x，从而确定A、B，但若将A、B中元素为9的情况一起考虑，头绪太多了，因此，宜先考虑集合A，再将所得值代入检验． 解  由9∈A可得x2＝9或2x－1＝9，解得x＝±3或5． 当x＝3时，A＝{9，5，－4}，B＝{－2，－2，9}，B中元素违反互异性，故x＝3应舍去； 当x＝－3时，A＝{9，－7，－4}，B＝{－8，4，9}，A∩B＝{9}满足题意，此时A∪B＝{－7，－4，－8，4，9} 当x＝5时，A＝{25，9，－4}，B＝{0，－4，9}，此时A∩B＝{－4，9}，这与A∩B＝{9}矛盾．故x＝5应舍去．从而可得x＝－3，且A∪B＝{－8，－4，4，－7，9}． 说明：本题解法中体现了分类讨论思想，这在高中数学中是非常重要的． 例11  设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，若A∩B＝B，求a的值． 需要对A的子集进行分类讨论． 设0∈B，则a2－1＝0，a＝±1，当a＝－1时，B＝{0}符合题意；当a＝1时，B＝{0，－4}也符合题意． 设－4∈B，则a＝1或a＝7，当a＝7时，B＝{－4，－12}不符合题意． ＜－1． 综上所述，a的取值范围是a≤－1或a＝1．   例12(1998年全国高考题)设集合M＝{x|－1≤x＜2}，N＝{x|x [    ] A．(－∞，2]　  B．[－1，＋∞)    C．(－1，＋∞)          D．[－1，2] 分析  分别将集合M、N用数轴表示，可知：k≥－1时，M∩答  选B．