奈奎斯特

5.4 频域稳定判据 5.4.1 奈奎斯特稳定判据 闭环控制系统稳定的充要条件是：闭环特征方程的根均具有负的实部，或者说，全部闭 环极点都位于左半 s平面。第 3 章中介绍的劳斯稳定判据，是利用闭环特征方程的系数来判 断闭环系统的稳定性。这里要介绍的频域稳定判据则是利用系统的开环频率特性 )( ωjG 来判 断闭环系统的稳定性。 频域稳定判据是奈奎斯特于 1932 年提出的，它是频率分析法的重要。利用奈奎斯 特稳定判据，不但可以判断系统是否稳定（绝对稳定性），也可以确定系统的稳定程度（相 对稳定性），还可以用于分析系统的动态性能以及指出改善系统性能指标的途径。因此，奈 奎斯特稳定判据是一种重要而实用的稳定性判据，工程上应用十分广泛。 1．辅助函数 对于图 5-33 所示的控制系统结构图，其开环传递函 数为 )( )()()()( 0 sN sMsHsGsG == （5-59） 图 5-33 控制系统结图 相应的闭环传递函数为 )()( )()( )( )(1 )( )(1 )()( 000 sMsN sGsN sN sM sG sG sGs +=+ =+=Φ （5-60） 式中， 为开环传递函数的分子多项式， 阶； 为开环传递函数的分母多项式， 阶， 。由式(5-59)、式(5-60)可见， )(sM m )(sN n mn ≥ )()( sMsN + 和 分别为闭环和开环特征 多项式。现以两者之比构成辅助函数 )(sN ( ) ( )( ) 1 ( ) ( ) M s N sF s G s N s += = + （5-61） 实际系统传递函数 分母阶数n总是大于或等于分子阶数 ，因此辅助函数的分 子、分母同阶，即其零点数与极点数相等。设 )(sG m 1z− ， 2z− ，…， nz− 和 1p− ， ，…， 分别为其零、极点，则辅助函数 可表示为 2p− np− )(F s )())(( )())(( )( 21 21 n n pspsps zszszssF +++ +++= L L （5-62） 图 5-34 180 F 平面与G 平面的关系图 综上所述可知，辅助函数 具有以下特点： )(sF （1）辅助函数 是闭环特征多项式与开环特征多项式之比，其零点和极点分别为闭 环极点和开环极点。 )(sF （2） 的零点和极点的个数相同，均为 个。 )(sF n （3） 与开环传递函数 之间只差常量 1。)(sF )(sG )(1)( sGsF += 的几何意义为：F 平面上的坐标原点就是G平面上的（ 0,1 j− ）点，如图 5-34 所示。 2．幅角定理 辅助函数 是复变量 的单值有理复变函数。由复变函数理论可知，如果函数 在 平面上指定域内是非奇异的，那么对于此区域内的任一点 d ，都可通过 的映射关 系在 平面上找到一个相应的点 (称 为 d 的像)；对于 平面上的任意一条不通过 任何奇异点的封闭曲线 )(sF s )(sF s )(sF )(sF 'd 'd s )(sF Γ ，也可通过映射关系在 平面(以下称)(sF Γ 平面)找到一条 与它相对应的封闭曲线 ( 称为 的像)，如图 5-35 所示。 'Γ 'Γ Γ 图 5-35 平面与 平面的映射关系 s F 设 平面上不通过 任何奇异点的某条封闭曲线s )(sF Γ ，它包围了 在 平面上的)(sF s Z 个零点和P个极点。当 以顺时针方向沿封闭曲线s Γ 移动一周时，则在 平面上相对应 于封闭曲线 的像 将以顺时针的方向围绕原点旋转 F Γ 'Γ R圈。 R与 Z 、 的关系为 P PZR −= （5-63） 3．奈奎斯特稳定判据 为了确定辅助函数 位于右半 平面内的所有 零、极点数，现将封闭曲线 扩展为整个右半 平面。为 此，设计 )(sF s Γ s Γ 曲线由以下 3 段所组成： ⅰ– 正虚轴 ωjs = ：频率ω由 0 变到∞； ⅱ–半径为无限大的右半圆 ：θjeRs = ∞→R ，θ由 2π 变化到 2π− ； ⅲ– 负虚轴 ωjs = ：频率ω由 ∞− 变化到 0。 这样，3 段组成的封闭曲线 （称为奈奎斯特路径， 简称奈氏路径）就包含了整个右半 平面，如图 5-36 所示。 Γ s 图 5-36 奈奎斯特路径 181 在 平面上绘制与F Γ 相对应的像 'Γ ：当 沿虚轴变化时，由式（5-61）则有 s )(1)( ωω jGjF += （5-64） 式中， )( ωjG 为系统的开环频率特性。因而 将由下面几段组成： 'Γ ⅰ– 和正虚轴对应的是辅助函数的频率特性 )( ωjF ，相当于把 )( ωjG 右移一个单 位； ⅱ–和半径为无穷大的右半圆相对应的辅助函数 。由于开环传递函数的分母 阶数高于分子阶数，当 时， ，故有 1)( →sF ∞→s 0)( →sG 1)(1)( →+= sGsF ； ⅲ–和负虚轴相对应的是辅助函数频率特性 )( ωjF 对称于实轴的镜像。 图 5-37 绘出了系统开环频率特性曲线 )( ωjG 。将曲线右移一个单位，并取镜像，则成 为 平面上的封闭曲线F 'Γ 如图 5-38 所示。图中用虚线表示镜像。 对于包含了整个右半 平面的奈氏路径来说，式（5-63）中的s Z 和P分别为闭环传递函 数和开环传递函数在右半 平面上的极点数，而s R则是 平面上F 'Γ 曲线顺时针包围原点的 圈数，也就是 平面上系统开环幅相特性曲线及其镜像顺时针包围（G 0,1 j− ）点的圈数。 在实际系统分析过程中，我们一般只绘制开环幅相特性曲线不绘制其镜像曲线，考虑到角度 定义的方向性，有 NR 2−= （5-65） 其中， 是开环幅相特性曲线N )( ωjG （不包括其镜像）包围G平面（ 0,1 j− ）点的圈数 （逆时针为正，顺时针为负）。将式（5-65）代入式（5-63），可得奈奎斯特判据（简称奈 氏判据）： NPZ 2−= （5-66） 式中，Z 是右半 平面中闭环极点的个数， 是右半 平面中开环极点的个数， 是G平 面上 s P s N )( ωjG 包围（ 0,1 j− ）点的圈数（逆时针为正）。显然，只有当 时， 闭环系统才是稳定的。 02 =−= NPZ . 图 5-37 )( ωjG 特性曲线 图 5-38 平面上的封闭曲线 F 例 5-9 设系统开环传递函数为 )52)(2( 52)( 2 +++= ssssG 182 试用奈氏判据判定闭环系统的稳定性。 图 5-39 幅相特性曲线及其镜像 解 绘出系统的开环幅相特性曲线如图 5-39 所 示。当 0=ω 时，曲线起点在实轴上 2.5)0( =jG 。 当 ∞→ω 时，终点在原点。当 5.2=ω 时曲线和负 虚轴相交，交点为 。当06.5j− 3=ω 时，曲线和负 实轴相交，交点为 0.2− 。见图 5-39 中实线部分。 在右半 平面上，系统的开环极点数为0。开环 频率特性 s )( ωjG 随着ω从 变化到0 ∞+ 时，顺时针 方向围绕点（ ）一圈，即0,1 j− 1−=N 。用式（5-66） 可求得闭环系统在右半 平面的极点数为 s 2)1(202 =−×−=−= NPZ 所以闭环系统不稳定。 利用奈氏判据还可以讨论开环增益K对闭环系统稳定性的影响。当K值变化时，幅频 特性成比例变化，而相频特性不受影响。因此，就图 5-39 而论，当频率 3=ω 时，曲线与 负实轴正好相交在（ 0,2 j− ）点，若K缩小一半，取 6.2=K 时，曲线恰好通过点（ ）， 这是临界稳定状态；当 时，幅相特性曲线 0,1 j− 6.2K 和 1K 和 1K 时，曲线逆时针包围了点（ 0,1 j− ）的 21 圈，即 21=N ，此时 0)21(212 =×−=−= NPZ ，故闭环系统稳定；当 1K 0> 184 解 该系统 在坐标原点处有一个极点，为Ⅰ型系统。取奈氏路径如图 5-42 所示。 当 沿小半圆移动从 )(sG s 0=ω 变化到 时，在 平面上映射曲线为半径 的+= 0ω G ∞→R 2π 圆弧。幅相特性曲线（包括大圆弧）如图 5-43 所示。此系统开环传递函数在右半 平面无 极点， ； 的奈氏曲线又不包围点（ s 0=P )(sG 0,1 j− ）， 0=N ；因此 02 =−= NPZ ， 闭环系统是稳定的。 图 5-43 例 5-11 的奈氏图 图 5-44 例 5-12 的奈氏 图 例 5-12 已知系统开环传递函数为 )1( )3()()( − += ss sKsHsG 试绘制奈氏图，并分析闭环系统的稳定性。 解 由于 在右半 平面有一极点，故)()( sHsG s 1=P 。当0 K 1< < 时，其奈氏图如图 5-44(a)所示，图中可见，当ω从 到0 ∞+ 变化时，奈氏曲线顺时针包围点（ ）0,1 j− 21− 圈，即 21−=N ， 2)21(212 =+=−= NPZ ，因此闭环系统不稳定。当 1K > 时， 其奈氏图如图 5-44(b)所示，当ω从 到0 ∞+ 变化时，奈氏曲线逆时针包围点（ ）0,1 j− 21+ 圈， 21+=N ， 0)21(212 =−=−= NPZ ，此时闭环系统是稳定的。 5.4.3 对数稳定判据 实际上，系统的频域分析设计通常是在 Bode 图上进行的。将奈奎斯特稳定判据引申到 Bode 图上，以 Bode 图的形式表现出来，就成为对数稳定判据。在 Bode 图上运用奈奎斯特 判据的关键在于如何确定 )( ωjG 包围点（ 0,1 j− ）的圈数 。 N 系统开环频率特性的奈氏图与 Bode 图存在一定的对应关系，如图 5-45 所示。 （1） 奈氏图上 1)( =ωjG 的单位圆与 Bode 图上的 dB0 线相对应。单位圆外 部对应于 0)( >ωL ，单位圆内部对应于 0)( <ωL 。 （2） 奈氏图上的负实轴对应于 Bode 图上 o180 线。 )( −=ωϕ 185 在奈氏图中，如果开环幅相特性曲线在点( 0,1 j− )以左穿过负实轴，则称为“穿越”。 若沿ω增加方向，曲线按相位增加方向(自上而下)穿过点( 0,1 j− )以左的负实轴，则称为正 穿越；反之曲线按相位减小方向(自下而上)穿过点( 0,1 j− )以左的负实轴，则称为负穿越， 如图 5-45( )所示。如果沿a ω增加方向，幅相特性曲线自点( 0,1 j− )以左的负实轴上某点开 始向下(上)离开，或从负实轴上(下)方趋近到点( 0,1 j− )以左的负实轴上某点，则称为半次 正(负)穿越。 图 5-45 奈氏图与 Bode 图的对应关系 在 Bode 图上，对应在 0)( >ωL 的频段范围内沿ω增加方向，对数相频特性曲线按相位 增加方向(自下而上)穿过 线称为正穿越；反之，曲线按相位减小方向(自上而下)穿过 线为负穿越。同理，在 o180− o180− 0)( >ωL 的频段范围内，对数相频曲线沿ω增加方向自 线开始向上(下)离开，或从下(上)方趋近到 线，则称为半次正(负)穿越，如图 5.45（b） 所示。 o180− o180− 在奈氏图上，正穿越一次，对应于幅相特性曲线逆时针包围点( 0,1 j− )一圈，而负穿 越一次，对应于顺时针包围点( )一圈，因此幅相特性曲线包围点( )的次数等 于正、负穿越次数之差，即 0,1 j− 0,1 j− N N N+ −= − （5-68） 式中 是正穿越次数， 是负穿越次数。在 Bode 图上可以应用此方法方便地确定 。 +N −N N 例 5-13 单位反馈系统的开环传递函数为 * 2 1( ) 2( ) ( 1)( 2) K s G s s s s + = + + 当 时，判断闭环系统的稳定性。 * 0.8K = 解 首先计算 )( ωjG 曲线与实轴交点坐标。 2 2 2 2 2 4 5 11 0.8 1 ( )0.8( ) 2 22( ) (1 )(2 ) 4 5 jj G j j j ω ω ωω ω ω ω ω ω ω ω ⎡ ⎤− + + −+ ⎢ ⎥⎣ ⎦= =− + + ⎡ ⎤+ +⎣ ⎦ 186 令 0)(Im =ωjG ，解出 21=ω 。计算相应实部的值 [ ] 5333.0)(Re −=ωjG 。由此可 画出开环幅相特性和开环对数频率特性分别如图 5-46( )和(c )所示。系统是Ⅱ型的，相应 在 b )( ωjG ， )(ωϕ 上补上 大圆弧，如图 5-46(b)、(c)中虚线所示。应用对数稳定判据， 在 o180 0)( >ωL 的频段范围（0～ cω ）内， )( ωϕ j 在 处有负、正穿越各+= 0ω 21 次，所以 00202 02121 =×−=−= =−=−= −+ NPZ NNN 可知闭环系统是稳定的。 图 5-46 开环零、极点分布及幅相特性和对数频率特性图 187