量子信息论

1 量子信息论 1999年 10月 31日 本文根据 Bennet & Shor 的 Quantum Information Theory (IEEE Transaction On Information, Vol. 44.No 6.October 1998)编译 小标是我加的 Bennet在 IBM研究部 T.J.Waston研究中心 bennetc@waston.ibm.com Shor在 AT&T Labs-Research shor@research.att.com 摘要 本文 给出了量子信息论的概要 讨论了量子信息论基础 信源编码 量子纠错 码 量子信道容量 纠缠 entanglement 度量和量子密码学 cryptography 1 介绍 量子信息 近来物理学和信息科学的交叉产生了 量子信息 的概念 量子力学 Quantum Mechanics 是经典过程的基础 但直到最近 信息通常是以其 经典形式被考虑 量子力学作为辅助角色只是用于设计处理这些信息的设备 如传统的 量子电子学 一般只是关于器件的讨论 而很少关心量子的信息问题 现在 已产 生了量子信息和信息处理理论 其最重要的用途有 安全性基于基础物理的密码理论 能够极大加快某些数学问题解决的量子计算机 这些能力源于量子属性 如不确定性 uncertainty 干涉 interference 和纠缠 entanglement 量子信息论扩展和完备了经典信息论 新的理论扩展了经典概念如信源 信道和编 码 也带来两点补充 可以记数的信息种类 经典信息和量子纠缠 经典信息可以自 由复制 但只能从发送者到接收者在时间上前向传输 纠缠不能被复制 却能连接时空中 任意两点 传统的数据处理运算 operation 破坏了纠缠 但量子运算能建立 保存和使 用它 纠缠 量子运算能有效地加快某些计算 并能辅助经典数据 量子超密度编码 quantum superdense coding 或完整 intact 量子态 量子转运 quantum teleportation 从发送者到接收者的传输 量子信道的容量 任何传输量子系统 并或多或少地保持其从一处到另一处的完整性的方式 如光纤 都可视为量子信道 与经典信道不同 量子信道有三个独特的容量 传输经典数据的容量 C 一般较低的传输完整量子态的容量 Q 在经典双边信道 two-way classical side-channel 辅助下传输完整量子态的容量 Q2 量子信息与经典信息的不同 2 量子信息 及处理量子信息的运算是如何与传统的数字数据和数据处理运算不同的 呢 经典的 bit 比特 例如 一个存储单元或线路载运的二进制信号 是一个包含很多 原子的系统 由一个或多个连续参数 如电压 描述 设计者在参数范围内选择两个相 对分离的区域代表 0和 1 为抵抗环境干扰 制造缺陷等导致的漂移 信号要周期性地恢 复到这些区域 如高电压和低电压 n-bit 存储器存在 2n 种逻辑状态 记为 000..0 到 111..11 经典计算机除了存储二进制数据外 也用一系列布尔运算处理它们 如 AND 和 NOT 这些布尔运算在同一时刻作用于 1或 2个 bit 足以实现各种变换 相反的 量子比特 或 qubit (量子比特) 为微观系统 如一个原子或核自旋或极 化光子 布尔态 0和 1由一对确定的 qubit 可区分的状态 如水平和垂直极化 |0> = « |1> = b 代表 Qubit 也可存在于中间态的连续区 continuum 中 或所谓 重叠 superposition 用二维复矢量空间 希尔伯特空间 H2 中的单位矢量代表 基矢量 |0>和|1> 对于光子 这些中间态对应于其他极化 例如 = )10( 2 1 + )10( 2 1 -= 和 )10( 2 1 i+= 右旋极化 与经典比特的中间态 如标准 1 0值之间的电压 不同 即使在理论上中间态也不 能 相 对 于 基 态 可 靠 地 被 辨 别 对于状态 |0>和 |1>的任何 measurement 重叠 10 10 yyy += 以概率 2 0y 表现为|0> 以概率 2 1y 表现为|1> 一般的 两个量子 态当且仅当其代表矢量正交时能可靠辨别 如 «和b 和 是可辨别的 而« 和 不可区别 状态矢量乘以任意相因子 qie 不改变其物理意义 虽然通常以单位矢量 代表 更恰当地 可以把量子态看成射线 rays 一射线等价于一个矢量乘复常数所得 的一类矢量 bra-ket记号 为行文方便 我们可以用所谓的 bra-ket记号记两个 d-维矢量y 和 f 的内积 å = = d x xx 1 *fyfy 3 其中星号表示复共轭 这可理解为行矢量 ),,( **1 dyyy L= 与列矢量 ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ = df f f M 1 的矩阵乘积 其中对于任 意标准列矢量 或 ket y 其行表示 或 bra y 通过转置再取复共轭获得 一对 qubit 如不同位置的两个光子 能存在于 4个基本态 |00> |01> |10> |11> 以及它们各种可能的重叠 一对 qubit 存在于 4维 Hilbert空间中 空间包括如下状态 =«+=+ )10(0 2 1 )0100( 2 1 这可解释为两个光子的独立极化 以及 纠缠 状态 即诸如 )1100( 2 1 + 的状态 尽管光子对有确定态 其中任意一个光子都没有自己的确定态 量子信息串的空间 一般的 一串 n经典比特存在 n2 种布尔态 x=000 …0到 111 … 1 而一串 n qubit 可以 以下任一状态存在 å = =Y 1111 0000 L Lx x xy 其中 xy 为复数 1 2 =åx xy 换句话说 n qubit 量子态由 n2 维 Hilbert 空间 nHH n )( 2 2 = 中复单位矢量 或更恰当地 射线 因为Y 乘以相位因子并不改变其物 理意义 Y 代表 2维 Hilbert空间代表了单 qubit 量子状态 n2 维 Hilbert空间是 n倍 copy 2维 Hilbert空间的张量积 这种指数维数增大是量子计算机与经典模拟计算机 突出的不同 在经典计算机中 由一定数量参数描述的状态在系统大小增长时只线性增 长 这是由于在经典系统中 无论是模拟的还是数字的 可由独立描述各部分状态来完 备描述 相反 大多数量子状态是纠缠的 不允许这样 相对独立 的描述 保持和使 用纠缠状态的能力是量子计算机的突出特点 既使它具有强大的计算能力 也使它难以 制造 单式进化 或酉进化 4 一个孤立的量子系统在进化中保持重叠和可识别性 distinguishability 在数学上 这种进化是酉 unitary 即线性和内积保守的 变换 它在 Hilbert空间中对应于欧氏空 间中的刚性旋转 酉进化和重叠是量子力学的中心原则 量子逻辑门 正如经典计算机可看成一系列单目或双目运算 如 非门 NOT 与门 AND 量子计 算可表示为一系列单 qubit 或双 qubit 量子门 即在同一时刻作用于 1或 2个 qubit 的酉运 算 参图 1 图略 一般单-qubit 门可描述为 22 ´ 酉矩阵1 ÷÷ ø ö çç è æ db ga 映射 100 ba +Þ 101 dg +Þ 单 qubit 门物理上很容易实现 例如作用于极化光子的 1/4或 1/2 波平面 wave plate 或在磁场中作用于核子自旋的射频点触脉冲 tipping pulse 图 1 a 作用于量子数据的任意酉运算 U可由 2-qubit 异或 XOR 门和 1-qubit 酉运算 U 合 成 b 异或门能复制布尔输入 但若企图复制中间重叠态 将得到纠缠态 c 经典导线 粗线 如实传导 0 和 1 但不能传导重叠或纠缠状态 这可定义为与一辅助 0 qubit 作用 通过一异或门 又将其丢弃的量子导线 d 通用作用 或超运算符 superoperator 可应用于量子数据 它与一个或多个 0 qubit 进行酉 作用 unitary interaction 随后抛弃若干 qubit 超运算符一般是不可逆的 标准的双 qubit 门是受控 controlled 非门或异或门 若第一 控制 输入为 1 翻 转第二 或目标 输入 若第一输入为 0 不进行任何改变 换言之 它要改变 10 和 11 而保留 00 01 不变 异或 XOR 门由 44 ´ 酉矩阵表示 ÷÷ ÷ ÷ ÷ ø ö çç ç ç ç è æ 0100 1000 0010 0001 与单 qubit 门不同 双 qubit 门在实验室中很难实现 因为它要求两个分离的量子信息 载运者进行强烈和受控的交互作用 interaction XOR门 和一些单-bit 门一起 就可形 1 一个复矩阵的行向量为正交单位向量 则称为酉矩阵 unitary matrix 并代表一酉变换 酉矩阵 U 的逆为其伴随矩阵 adjoint 或共轭转置 U+ 5 成量子计算的一组通用基元 任何量子计算可仅通过这些门的集合完成 无需被使用的 门的 种类的 数量 酉相互作用 异或门是两量子系统间交互作用的原形 也体现了量子信息几个关键特征 尤其是未 知量子态的不可克隆性和交互作用产生纠缠的方式 异或规则 10,,0, 或其中 == xxxxU XOR 有人可能认为异或运算也能复制重叠 如 10,,0, bayyyy +== 其中XORU 其实不然 量子进化的单式性 unitarity 酉性 输入状态的重叠 superposition 进 化为相应的输出重叠 即 1,10,00, bay +=XORU 得到一纠缠态 每一个输出 qubit 本身并不确定 若一个纠缠输出 qubit 丢失 如丢 弃了 或被允许逃逸到环境中 另一个则表现为好象获得了随机的经典值 0 以概率 2a 或 1 以概率 2b 除非丢失的输出被找到 原始重叠 y 的记录将丢失 这种行为不 仅是异或门的特性 而且是酉相互作用 unitary interaction 的特性 其典型效果是映射 相互作用的系统中大多数未纠缠初始态为纠缠的终态 从每个单个的系统来看产生了不可 预测的干扰 经典计算的量子表示 量子物理是经典物理的基础 因而也可以用量子形式表现经典数据和运算 若一经 典比特为一值为 0 或 1 的 qubit 经典导线就能可靠传导 0 和 1 但不能可靠传导重 叠 这可用上述异或门实现 在目标位置放一初始 0 随后将其丢弃 图 1c 换言之 从量子信息的观点看 经典通信是一个不可逆过程 其中信号与环境或窃听者 eavesdropper 相互作用 布尔信号被无干扰地传输 但其他状态与环境纠缠起来 如 果环境丢失或丢弃了 残留信号表现为不可逆地变为某一个布尔态 定义了经典导线后 我们可以定义经典门为以经典导线作为输入输出的量子门 图 1c 中的经典导线是在开放 系统中量子信息处理的例子 任何可应用于量子数据的处理过程 特别的 包括酉过程 可以描述为量子数据与一些辅助 qubit 的酉相互作用 图 1d 这些辅助 qubit 初始为 0 随后其中一些又被丢弃 这样的通用量子数据处理运算 所谓的保迹完全正映射 tracepreserving completely positive map 或超运算符 可获得比输入空间更大或更小的 6 Hilbert空间 对酉运算 输入和输出 Hilbert空间理所应当是等维的 脱散 有趣的是 与环境的纠缠相互作用被认为是宏观世界表现为经典的 而非量子力学 的主要原因 宏观不同态 例如在 VLSI存储单元中代表 0和 1的不同电荷状态 与环境 发生强烈的相互作用 关于该单元所处状态的信息很快地泄露出去 所以 即使能将该 单元预备在重叠 0和 1 重叠也将很快进化为涉及环境的复杂纠缠态 complex entangled state 从存储单元的角度看 这种复杂纠缠态表现为两个经典值的统计混合 而不是重 叠 这种从重叠到混合的自发衰减称为脱散 decoherence 纯态和混合态 到目前为止 我们所讨论的量子状态 可视为 Hilbert空间中的射线 称为纯态 pure state 它们代表最小未知态 即 在原则上 对于系统不可能知道得更多 以纯态为基 础 无须引入其他概念 封闭系统的量子力学即可完备描述为 在合适维数的 Hilbert空 间中纯态的酉进化 不过 特别的 一个很有用的概念 混合态 mixed state 可用于描 述有更多未知的情形 l 总体 ensemble 所论系统可能以概率 L21, pp 处于纯态 L21 , yy l 所论系统 称为 A 是更大的系统的一部分 称为 AB AB 处于纠缠纯态Y 在开放系统中 纯态可能自然地进化为混合态 也可描述为原始系统及其环境所组 成的较大系统的纯态 数学上 混合态表现为具有单位迹 unit trace 的半正定 positivesemidefinite 自伴随 self-adjoint 密度矩阵 在第一种情况下定义为 å= i iiip yyr 在第二种情况下定义为 YY= BTrr 此处 TrB表示 B 子系统索引 indices 的部分迹 partial trace 纯态y以密度矩阵 形式表示为 1阶投影矩阵 yy 明显的 对第一种情况 无限多不同的总体能产生相同的密度矩阵 例如 密度矩 阵 ÷÷ø ö ççè æ 2/10 02/1 可视为纯态 0 和 1 的混合 或等价的 2/)10( + 和 2/)10( - 的混合 或其他任意正交单-qubit 纯态的混合 类似的 在第二种情况下 AB 系统的无穷多纯态Y 可以产生 A 子系统相同的密度矩阵 有人可能会疑惑在什么意义上密度矩阵是纯态的 7 统计总体 或处于纯纠缠态的大系统的一部分的充分描述 答案是 密度矩阵 获取且 仅获取所有的可由观测者获得的信息 使能检查从总体 中采样的无穷多状态 或给出 无穷多机会以检查预处于纠缠纯态Y 的 AB 系统中的部分 A 这来自以下基本事实 对 任意测试矢量 f 若取自总体 },{ ii pye = 的样本被测试是否处于状态f 肯定性 positive 输出的概率是 ( )ffrfyå = i i Trp 2 类似的 对 A 子系统的任意测试状态f AB 系统的纠缠态中以 作为其部分迹的 肯 定性输出的 概率也是 ( )ffrTr Bob和 Alice 也许比相容 compatible 于 的不同总体的不可区别性更明显的是 他们 不同总 体 可从 AB 系统中以 作为其部分迹的任意一个纠缠态Y 产生 更特别的是 若两部 分 称为 Alice 和 Bob 分别属于处于状态Y 的系统的部分 A 和 B 对每一相容总体 },{ ii pye = Bob 可能希望 create in Alice's hands 现有可单独施用于 B 子系统的测度 measurement M 无需 Alice 的同意或合作 即可在测度以概率 ip 输出 i意义上实现 了总体 在输出发生的条件下 Bob将知道 Alice拥有纯态 iy Bob 以这种单边的 post facto的方式决定 Alice所处总体的能力 对下面将要讨论到的量子密码学具有重要意义 熵 由于混合态代表了不完全信息 很自然的 利用冯 诺依曼 von Neumann 公式可 将混合态与熵联系 1927年 J 冯 诺依曼用密度算符给出了熵的量子力学表述 参 信 息系统论 第二章 译者注 rrr log )( TrS -= 4 若纯态 iY 组成的总体是正交的 它们之间互可区分 就可作为经典状态对待 对这 种情况 冯 诺依曼熵就等价于概率的香农熵 Shannon entropy å-= i ii ppH log 易见 对任意双边 bipartite 纯态Y 其各部分的密度矩阵 Ar 和 Br 等秩和等非 零特征值谱 此外 通过这些特征值和特征向量 初始状态具有特别简单的表达 8 å Ä=Y k kkk bal 5 其中 ka 和 kb 分别是 Ar 和 Br 对应于正特征值 kl 的特征向量 这种表达称为 Schmidt分解 在三边 tripartite 或更高系统中 并不存在这种分解的简单对应 量子信息处理理论的发展 近来量子信息处理理论的快速发展可分为两个相关的部分 量子计算和量子信息论 尽管主要的实践问题在于量子计算机的物理实现 量子计算中许多很重要的理论问题已 经有了答案 与已知的经典算法相比 对于整数因式分解和其他一些问题 量子算法提 供了指数级加速 对广域搜索和优化问题提供了平方级加速 对诸如递归函数求值这样的 问题无有意义的加速作用 量子纠错码 quantum error-correcting code 和容错门阵列 fault-tolerant gate array 的发现意味着 在原则上 与在经典计算中一样 有限可靠组 件已足够完成任意可靠的量子计算 但这还有一些数量的差别 今天的经典设备 如 CMOS 晶体管 是如此内在可靠 以至于很少需要容错电路 相反的 今天原始的量子 硬件太不可靠 不能被已知的容错电路设计纠正 幸运的是 随着将来硬件和软件的进 步 并没有什么基础的原因使这一问题不能被解决 在此 我们主要关心第二个领域 量子信息论 经典的概念如信源 信道 编码和 信道容量被扩展以包括多种信道 有噪的和无噪的 的最佳使用 不仅用于经典信息的 通信 也用于完整量子态的通信 和 在分离的观察者间分享纠缠 虽然量子信息论所基 于的基础物理和数学具有 50年的历史 这一新理论主要在过去 5年中形成 量子数据压 缩[3][45] 超密度编码[16] 量子转运[10] 纠缠集中 entanglement concentration [8][53] 例证了一种有价值的方式 即量子信道单独或与经典信号结合使用 以传输量子或经典 信息 最近 量子纠错码[14] [19]-[23],[25],[28],[33],[46],[58],[66],[68],[69]和纠缠蒸馏协 议 Entanglement distillation protocol [12][14][24][40][41]被发现 它们允许在这些应用 中用有噪量子信道 只要噪声不过于强大 代替无噪信号 目前还有一些重要问题 如 发现有噪量子信道经典和量子容量的精确表达式 而不仅是上下界 经典和量子信息处 理中一些主要的相似点和不同点总结于表 1 表 1 经典-量子比较 属性 经典的 量子的 状态表达 比特 { }nx 1,0Î 串 量子比特 å= x x xcy 串 计算基元 确定或随机的单比特或双比特运算 单-qubit 和双 qubit 酉变换 不可靠门的可靠计算 可以 使用经典容错门阵列 可以 使用量子容错门阵列 量子计算加速 因式分解 指数加速 搜索 平方加速 黑箱递归 无加速 9 通信基元 传输经典比特 传输经典比特 传输 qubit 分享 EPR对 信源熵 å-= )(log)( xpxpH rrr log )( TrS -= 纠错技术 纠错码 量子纠错码 纠缠蒸馏 纠缠辅助通信 超密度编码 量子转运 通信复杂性 分布式计算的比特通信代价 Qubit 代价 或纠缠辅助的比特代价 可以较小 密钥 Agreement on a secret cryptographic key 对无限计算能力不安全 若 P = NP 被量子计算机攻击和对无限 计算均安全 双边比特通信 对无限计算能力不安全 若 P = NP 被量子计算机攻击则不安全 数字签名 对无限计算能力不安全 若 P = NP 未知量子实现 如前所述 纠缠在此扩大的信息论中扮演了中心角色 在数方面补充了经典信息中 的角色 量子信息论一个重要任务是对双边和多边 multipartite 系统 纯态和混合态 给出纠缠的数量度量 更一般的 该理论应表现出多边状态可以仅用局部运算和经典通 信相互变换的效率特色 无须各方间的量子信息交换 一个补充问题是 在分离的各方间能减少 通信复杂性 的优先纠缠 prior entanglement 的程度 即经典通信所需的多输入 每方持有一个 函数求值的数量 [A complementary question is the extent to which prior entanglement among separated parties can reduce "communication complexity, "i.e., the amount of classical communication needed to evaluate function of several inputs, one held by each party.] 10 2 信源和信道编码 量子信源 一个离散 无记忆信息源的自然的量子对应是纯态或混合态 ,,, 21 krrr L 的总体 配以已知概率 kpp L1 一个离散无噪信道的量子对应是任何能够存在于有限维 Hilbert 空间中任意状态的量子系统 被其他相似的量子系统纠缠 并在从发送者到接收者的路 由过程中以纠缠或重叠态保持稳定 正如通过经典信道发送的一 n 比特系列 可用于传 送至多 2n个不同的经典消息 一系列 n 个基本 2-状态量子系统或 qubit 可用于传送至多 2n 维 Hilbert空间中任意量子状态 有噪信道的量子对应为一在从发送者到接收者的传送 过程中与外部环境单式交互 interacts unitarily 的量子系统 故有噪信道 无噪信道作 为它的一个特例 可以描述为超运算符 若一个量子信源的状态 i是全正交的 信源状态的全部信息可以在发送端测量抽取 经典地传送到接收端 并可在接收端任意真实地复制信源状态 则该信源可认为是纯经 典的 另一方面 若信源状态是纯态且非正交的 不存在能够抽取信源全部信息的经典 测量方法 并且当一个信源状态通过量子信道发送时 在接收端最多只能获得信源状态 的一个真实的拷贝 and then only if no faithful copy remains behind at the sending end.当信 源状态是非正交的但是交换混合状态 commuting mixed state 即 状态的密度矩阵交 换 commute 会产生有趣的中间状态 situation 这种信源可以广播 即对给定的一 个未知信源状态 i 两个系统 A和 B可准备在联合态 i AB 它并不是信源状态的克 隆 即 )()()( BAAB iii rrr Ĺ 但每一子系统的部分迹与源状态相同 ×=== iiBiAi ABTrABTr rrrr ))(())(( 这种 广播 实际上与经典的随机变量复制一样 复制的结果具有一致的分布 但各拷贝的联合分布不等于原始信源的数个拷贝的积分布 product 若信源状态的密度 矩阵不是交换的 包括纯非正交态的情况 则信源既不能克隆或广播 量子信道的保真度 因为量子信息不能无干扰地被读取或复制 无论在量子信道的发送端使用何种编码 设备 总是必须相当盲目地起作用 function rather blindly 若信道忠实传送非正交纯态 它必须对通过的状态产生作用但又不从中了解或学习任何事情 由于同样的原因 量子 数据传输的质量评估是较为难办的 若信源状态是纯态 量子信道对输入 iy 产生输出 Wi 一般的 为混合态 则传送保真度 fidelity 定义为 å= i iiii WpF yy 11 输出要由知道输入者进行与输入是否一致的测试 当信源状态 i是混合态 保真度 要用更复杂的公式进行定义 å ÷ø öçè æ= i iiii WTrpF 2 rr 它代表了 i 的最大 净化 purification 在更大 Hilbert 空间中的纯态 iy 将以 i 为部分积 信源编码 压缩 经典理论中两项最重要的技术是数据压缩和纠错 当编码器和解码器可以实现量子 运算 这些技术可以扩展到量子信源和信道 使来自量子信源的数据在通过有噪或无噪 量子信道传输后能以任意高保真度恢复 如果信源熵小于信道量子容量 quantum capacity 经典数据压缩使来自冗余信源 例如以不相等概率发出 0 和 1 的二进信源 的信息 可以无失真压缩为信源 Shannon熵的整体渐进逼近 bulk asymptotically approaching 相 似的 量子数据压缩 参图 2 a 允许来自冗余信源的信号 如以不等概率发出水平 « 和对角 光子 压缩为信源的 von Neumann熵 rrr 2log)( TrS -= 的整体逼近 其 中 å= i iiip yyr 随 n的增大保真逼近于 1 量子数据压缩实际上是通过一系列 n 个信源信号的状态投影到其联合密度矩阵 r的 n次张量幂 的 ))((2 er +Hn 个最重要的特 征向量所张成的子空间来完成的 该典型子空间 typical subspace 是由典型特征向量序 列张成的子空间 其中每一特征向量对应的概率是其特征值 对每一正e和d 存在 n 当 block size大于等于 n时 投影结果以小于d /2的概率失败 即度量时状态未落入指定 的子空间 若成功则保真度大于 1-d /2 这样 总保真度超过了 1-d 对该例做简单的推广 设信源发出两个等可能性状态 « 和 bqq sincos +« 即两者相差角度q 相应的密度矩阵是 ÷÷ ø ö çç è æ + qqq qqq 2 2 sincossin cossincos1 2 1 该矩阵有特征值 )cos1( 2 1 q± 所以其 von Neumann 熵 和相应的压缩因子为 ))cos1( 2 1(2 q-H 其中 2H 为二元熵函数 dyadic entropy function 12 )1(log)1(log)( 222 xxxxxH ----= 虽然与经典无噪编码定理对应 量子数据压缩也有其特点 它可压缩和重扩展 re-expand 每一 2n序列«和 光子 对全序列 entire sequence 保真度逼近 1 甚至 当序列不能用任何测量手段可靠地相互辨别时也能实现 有趣的是 压缩不依赖于信源 输出的状态总体 而仅倚赖于这些状态是密度矩阵 虽然多个不同信源能够给出相同的 密度矩阵 可获得的压缩量和实现压缩的 Schumacher-Jozsa 算法都是只倚赖于密度矩阵 的 图 2 a 量子数据压缩 若经典数据由于数字位的不等频率或数字位间的相关 是冗余的 可以 利用某些技术如 Huffman编码压缩 量子数据具有以上两种冗余 但还有第三种方式 若数据流中的状 态是非正交的 例如 一水平和 45 对角光子的随机流 作为物理态不能完全区分 这样的数据流不 能用经典方法压缩 因为发送站在试图读数据时可能会产生干扰 然而 在对输入的 n个状态的数据块 block 进行酉变换后 量子编码可以 无须对状态有任何了解 将其所包含的信息压缩到较少的量子 比特 在接收端通过相反的变换可以几乎完全重建原始信号 保留下来的量子比特使编码器高度纠缠 阴 影 丢弃的量子比特包含很少的信息 几乎是无纠缠的 重建是近乎完全保真的 残留的纠缠 浅阴 影 在 n极限增大时消失 b 量子纠错码 编码器使输入状态| >与四个标准量子比特纠缠 产生的纠缠状态可以抗拒其中任一量子比特的讹误 并能在信道接收端由解码器精确恢复初始状态 量子纠错码(Quantum error-correcting code) 量子纠错码自从在 3 年前被发现后 就一直成为研究的重点 量子纠错码的可能性 看上去是反常理的 counterintuitive 因为一类相似的经典纠错 在这种方法中 编码 器产生输入的数个拷贝 再由解码器对信道输出进行多数选择 majority vote 不能 为量子数据所使用 因为不可能精确测量或克隆未知量子态 不过 量子纠错码 QECC 是存在的 并且实际上是经典纠错码的自然扩展 量子编码不是复制输入 而是将它嵌 入 embed 更高的 Hilbert 空间 在此过程中 编码所设计要纠正的错误过程 任何 一个量子比特与环境的交互作用 不允许被编码状态的任何信息被泄露出去 这使得 量子解码器能够恢复数据量子比特为其精确的原始状态而不复制任何量子信息 并将错 误集中于辅助量子比特 随后将它们丢弃 为了理解量子纠错码是这样构造的 请看下例 设我们使用最简单的经典纠错码 三次重发码 triple-repetition code 并以最明显的方式将其转化为量子纠错码 我们 得到以下变换 0000 ® 1111 ® 该编码并不代表原始量子比特的克隆 而是将其二维 Hilbert空间嵌入 3量子比特的 八维空间 即由矢量|000>和|111>张成的 的一个特定的二维子空间中 13 比特翻转和相位翻转 这种编码的问题是 虽然它防止了任意单个比特的翻转 即 ÷÷ ø ö çç è æ 01 10 或 01,10 ®® 任意一个量子比特的相位翻转 phase flip 即 ÷÷ ø ö çç è æ -10 01 或 11,00 -®® 将使编码后状态发生相位翻转 因此对比特翻转的防止的是以对 消弱相位翻转的纠正为代价的 等价地 我们保护了状态 0 和 1 却消弱了状态 ( )10 2 1 ± 编码为 ( )111000 2 1 ± 三个编码量子比特中任一个的相位错误将 产生编码后量子比特的相位错误 这种困难的产生是因为一个成功的量子纠错码必须保 护由编码状态 0 和 1 的重叠生成的整个子空间 一般的 量子纠错码不能仅保护特定 的量子状态 而必须保护整个子空间 比特和相位之间的二元性 可通过所谓的 Hadamard 哈达玛 变换来认识 ÷÷ø ö ççè æ - = 11 11 2 1 H ( )10 2 10 +® ( )10 2 11 -® 在此变换下 比特翻转与相位翻转相互转化 对三次重发码的码字应用 Hadamard变 换 可以得到防护相位翻转但不防护比特翻转的编码 此编码为 ( )110101011000 2 10 +++® ( )001010100111 2 11 +++® 11 此处相位翻转可通过 take 已编码 0 或 1 to 正交状态很容易地看出 例如 第三 量子比特的相位翻转将生成 ( )11010101100021 +-- ,与 11 中的各状态均正 交 三个位置任一个的相位翻转的结果状态相互之间和对原始未破坏状态全正交 所以 14 有 von Neumann测度可确定哪一位发生了相位翻转 以供纠正 另一方面 此编码导致 了对比特翻转的脆弱 任一量子比特的错误将导致已编码 0 和 1 的相互交换 连续错误的纠正 上述对相位纠错码的分析的一个缺陷是 相位翻转实际上是一种特殊的离散的错误 形式 但量子力学系统可经历连续的误差谱 相位错误的一般形式是 ÷÷ ø ö çç è æ qie0 01 而相位翻转 对应于 pq = 对此缺陷的解答是 以上编码将纠正任何相位错误 实际上 任何量子 纠错相位翻转 quantum code-correcting phase flip,似有错误 也要纠正一般相位错误 为了理解考虑相位翻转即已足够 我们首先利用量子状态可乘以任意相位因子的事 实 则我们可以将上述相位错误重写为 ÷÷ ø ö çç è æ -f f i i e e 0 0 其中 2/qf -= 考虑到当该错误发于 已编码状态的第一比特时的情况 我们获得映射 ( ) ( ) ( ) ( )110101011000sin 110101011000cos 1101010110000 --++ +++= +++® - f f ff ii ee 这是无无错错误误幅幅度度为为 cc ooss 的的已已编编码码 0 和第第一一比比特特发发生生相相位位翻翻转转幅幅度度为为 ss iinn 的的已已编编 码码 0 的重叠 当我们检查哪一位是错误的时 bit 1的相位翻转以概率 f2sin 被观察到 并以概率 f2cos 观察到无错误发生 对任一种情况 测量行为都减小了状态矢量 所以 测量到的错误对应于状态中实际错误 此错误可随后纠正 为获得能防护任一位的比特翻转和相位翻转的编码 可将两种方法动嵌套使用 可 获得 9量子比特连接的编码 nine-qubit concatenated code ( )000111111111000111111111000000000000 2 10 +++® ( )111000000000111000000000111111111111 2 11 +++® 比特翻转由内码 inner code 纠正而相位翻转由外码 outer code 纠正 易知 这 些纠错过程之间并不相互影响 即使一位量子比特同时发生了比特翻转和相位翻转 错误也可以很好地被纠正 现在我们有了一种编码可以防止任一单个量子比特的比特翻转和/或相位翻转 如上 文已指出的 量子力学具有误差的连续空间 比特翻转和相位翻转只是两种特殊的可能 然而 正如纠正相位翻转的能力对纠正任意相位错误已足够 纠正比特翻转和相位翻转 15 的能力已足以纠正任意单量子比特错误 这来自如下事实 单位矩阵 I 和三个 Pauli 泡 利 矩阵 ÷÷ø ö ççè æ = 01 10 xs ÷÷ø ö ççè æ - = 0 0 i i ys ÷÷ø ö ççè æ - = 10 01 xs 构成所有 4 4 矩阵的空间的一组基 Pauli 矩阵 xs 对应于比特翻转 zs 对应于相 位翻转 ys 对应于一个值和相位都发生了翻转的量子比特 一般的 若不同量子比特的 至多 t个 Pauli矩阵的张量积 any tensor product of up to t of the Pauli matrices in different qubits 可被纠正 则至多 t量子比特的一般错误将能被纠正 理解量子编码的一种方法是将编码过程视为分离已编码状态和可能的少-比特 few-bit 错误的空间为正交维 Hilbert空间 orthogonal dimensions of Hilbert space 这 使我们能够对错误进行测量而不干扰已编码状态 并允许随后利用酉变换来纠正错误 实际上 无需测量错误 只要使用酉变换将 Hilbert分解为包含已编码状态的空间和包含 错误的空间的张量积 即可完成纠错 量子纠错码的新发展 在 9比特编码发现后不久 Andrew Steane 他并没见过 9比特码 Calderbank和 Shor 独立发现了一种将单个比特映射为 7 个比特的保护方法 这只是这些所提出的不计 其数的编码方法中第一个有代表性的例子 随后 通过搜索可能编码的空间发现了一种 5 比特码 随后出现了几种编码 以及几篇关于量子纠错码一般原理的论文 通过分析这 些例子 发现了一种更通用的量子编码 这导致了将某种附加 GF 4 编码转化为量子 编码的方法的发现 利用经典编码和量子编码间的这种联系 发现了 MacWilliams 恒等 式 identity 和应用于量子编码的线性规划约束 linear programming bounds 尽管我们 在此不进一步讨论这些问题 但这个领域确实是相当活跃的 量子信道容量 虽然量子纠错码取得了快速发展 量子信道容量的概念却更复杂 相对于其经典概 念了解较少 如前所述 量子信道具有三种不同的容量 传输完整量子态的无辅助 unassisted 容量 Q 传输经信息的较大的容量 C 和在经典双边信道帮助下传输完整 量子态经典辅助量子容量 Q2 对应于经典信道容量的定义 有噪信道N的无辅助量子容 量 Q N 定义为最大速率 每信道传输的量子比特 在此速率下 对任意大的 n和任 意小 n量子比特中的每一状态 在经过块编码 通过信道传输 块解码后 能以大于 1- 的保真度被恢复 更精确地 Q N 定义为 ( ) þ ý ü î í ì ->"$ ÄÎ ¥®® eyyyeyye e 1:suplimlim 2 ,, 0 m HDm n DN m n n 15 16 其中e是从 n量子比特到m信道输入的编码超运算符 D是从m信道输出到 n量子 比特的解码超运算符 相似地 有噪量子信道的经典容量定义为 { } ( ) þý ü î í ì ->"$ Ä Î¥®® eyyyey yee 1:suplimlim 1,0,,0 m Dm n DN m n n 15 除了全称量化 universal quantification 在布尔状态 { }n1,0Îy 上而不是在 n量子 比特的可能状态 nH 2Îy 上外 这与 Q的定义相同 这是因为经典通信不要求忠实传输 布尔状态的重叠 显然 对所有的 N Q(N) £ C(N) 等式 15 即所谓的量子容量的被保护子空间 protected subspace 定义 基于信道 在大数据量极限下忠实传输纠缠或相干信息 coherent information 互信息的量子对应 以后还要讨论到 的能力 已提出了其他量子容量的定义 但可认为他们等价于被保护 子空间容量 为理解 Q和 C 参见图 3 a 其中 n个量子比特被编码通过信道的 m个实例 再解码生成输入状态的近似 对 Q 输入态 为全部输入状态 对 C为所有布尔输入态 经典辅助容量 Q2 N 用更复杂的方法定义 图 3 b 发送者 Alice 初始接收 n 量子 比特 随后她和接收者 Bob 可以进行局部量子运算 并自由双向交换经典消息 其中散 布着有噪量子信道 N的m次前向使用 终极目标是使 Bob输出 n量子比特输入状态的真 e n n n n D Alice Bob n n n 17 图 3 a 无噪量子信道的无辅助量子 信道 容量 Q 用量子纠错码的渐进性能 asymptotic performance 定义 b 经典辅助量子 信道 容量 Q2的定义参照有关有噪信道的前向使用和发送者与接收者 间无限经典通信的协议的渐进性能 实近似 容量 Q2 定义为如 15 的极限表达式 只是编码器/解码器的结合 D,e 被图 3 b 形式的交互协议取代 显然 对任意量子信道 N Q2 N Q N 并且已知信 道此不等式严格成立 一个未解决的问题是 是否有信道 Q2 C 辅助量子容量 Q2将在以后详细讨论 在这里 只要指出它为什么可以超过无辅助容 量 Q就足够了 在一典型的 Q2协议中 Alice不直接使用有噪信道 N将输入状态 传输 给 Bob 而是在她的实验室中准备 m个 EPR对 并使用有噪信道传送每一对的一个成员 结果为一由 Alice和 Bob分享的不纯 impure EPR对 即 纠缠混合状态 的集合 通 过对这些不纯 EPR对的局部运算和测量 并进行测量结果的经典讨论 Alice和 Bob 可 从 m个不纯 EPR对中提取 较少的 n个近乎纯的对 即使当 EPR对通过的信道 N噪 声非常大 只有零辅助量子容量时 也能做到这一点 纯化 EPR对随后被使用 与进一 步的经典通讯相连接 以高保真度远距传输 teleport 输入态 给 Bob 远距传输 teleportation 和纠缠提取 entanglement distillation 将在随后的章节中详细讨论 去极化信道和删除信道 对大多数有噪量子信道 N 三种容量尽管可以得到上下界 知道得都不是很精确 例如 去极化信道 depolarizing channel (大体对应于经典的二值对称信道)就可以说明 这一点 去极化信道以概率 1-p完整传输输入量子比特 以概率 p将它替换为随机量子比 特 alternative 信道对输入量子比特以概率 1-3p/4应用单位算子 以概率 p/4应用三个 Pauli算子中的一个 p/3和 p/4的区别来于随机应用三个 Pauli算子中的一个或单位算子 将有效地生成了一个随机量子比特 另一种更简单的信道 其信道容量已知 量子删 除信道 quantum erasure channel 以概率 1-p完整传送输入量子比特 以概率 p将它替 换为可识别的对 0 和 1 正交的删除信号 对此信道 经典容量 C 和辅助量子容量 Q2 替均等于 1-p 与经典删除信道相同 而辅助量子容量 Q为{1-2p,0} 50%删除信道 其 C= Q2=1/2而 Q=0 很好地演示了辅助和无辅助量子容量间的区别 信道的无辅助容量 Q必需消失 by following "no-cloning" argument, due to Smolin. 考虑一 个(物理可实现的)具有一个输入端口和两个输出端口的分割 splitting 装置 有一半时 间将输入量子比特送到第一个输出端口 将一个删除符号送到第二个端口 另一半时间 将输入量子比特送到第二个输出端口 将一个删除符号送到第一个端口 每一个输出端 口的接收者通过 50%删除信道了解了信源 设有一种量子纠错码 任意未知量子比特可 用它编码 并在通过 50%删除信道传送后可靠恢复 则两个接收者 称为 Bob和 Charlie 中的每一个都能恢复未知量子比特的一份可靠备分 实际上即克隆了它 既然已知克隆 是不可能的 50%删除信道的无辅助信道容量必须为 0 同样 50%去极化信道的无辅助 18 容量也为 0 不过 在如图 3 b 所示的双边经典通信的辅助下 这些信道仍然可用于 忠实传输量子信息 对删除信道 发送者通过信道分享 EPR对 依靠经典通信从接收者 处了解哪一对已安全传输 然后利用剩余的 EPR对远距传输未知量子比特 相似但更复 杂的 参数 argument (参 纠缠 节)说明了去极化信道的辅助量子容量在 0 p 2/3 保持为正 但一更强的 a stronger version 非克隆参数说明了对所有的 p 1/3无辅助容 量消失 非克隆参数不应用于 Q2 容量 因为经典通信打破了两个接收者之间的对称 例 如告诉发送者Alice根据要将输入量子比特发送给Bob或 Charlie来决定采取不同的行动 相关信息 在经典理论中 输入和输出之间的互信息扮演了重要的角色 提供了信道容量的非 渐进表示 作为单独使用信道时的输入:输出互信息的最大值 对各种输入分布 但量子 信道打破了这种简单性 对于已知的三种信道容量 并不存在简单的信道单独使用时的 非渐进量其最大值等于理想的渐进容量 不过 对Q和 C 已发现了与互信息相似的量 可用于提供渐进容量的上下界 在此 我们要讨论 相关信息 coherent information 一个与无辅助量子容量 Q相关的非渐进量 以后我们要讨论 Holevo界限 Holevo bound 一个与量子信道的经典容量 C相关的非渐进量 至于 Q2 由于其双边通信 明显的更复 杂 在本文中将不做进一步的讨论 如前所述 不失一般性的 量子信道可视为 从发送者到接收者的 量子信息载运 者 q和 初始处于标准态 e0的 环境 e的酉相互作用 为使信道载运完整量子信息 例 如非正交状态或半 EPR对 环境与通过的量子系统不要过度纠缠的非常重要的 在另一 极端 若环境交互十分强烈 如图 1 c 尽管经典容量并未被消弱 信道丢失了载运量 子信息的容量 考虑到这些情况 可引出相关信息的定义 ))(())(( eSqS ¢-¢ rr 其中 ))(( qS ¢r 为信息载运者的混合态在通过信道后的 von Neumann熵 主要指示了后交互作 用状态 ))(( eS ¢r 为信道环境的后交互作用混合态的 von Neumann熵 相关信息是信道 交互作用和刻画交互作用前信道输入的密度矩阵 (q)的函数 有人可能会认为 信道的 渐进无辅助量子容量 Q只是对输入分布 (q)的一次 one-shot 相关信息的最大值 对简 单情况确实这样的 例如 对一无噪量子比特信道或量子导线 环境无任何纠缠 故 0))(( =¢eS r 且 )()( qq rr =¢ 所以当信道连接一最大熵输入 可想象为一随机未知量 子比特 或半个 EPR对 时 相关信息取得其最大值 1 qubit 另一方面 无论给图 3 b 所示的经典导线以何种输入态 (q) 环境增加了太多的熵 使相关信息 ))(())(( eSqS ¢-¢ rr =0 类似的 对删除信道 最大一次相关信息精确等于渐进容量 Q 然而 对较为复杂的情况 例如去极化信道 由于加性缺失 failure of additivity 相关 信息低估了 Q 因为可以将纠缠输入通过多个信道 用 n 个信道可发送比只用一个时的 19 最大值的 n倍更多的相关信息 几种容量 量子信息论的最古老的分支是使用量子信道传输经典信息 经典容量 C 定义为经典 比特通过量子信道以任意高的可靠性发送时的最大渐进速率 2 对量子信道 这看上去很 平常的容量也不易计算 因为它依赖于使用量子编码器准备输入 将与多个信道纠缠 和/或对多信道输出进行相关测量的量子解码器 最近的研究成果使计算 CCQ成为可能 对 多种信道经典编码和量子解码 某些例子表明它可超过信道单次使用可传送的最大互信 息 CCC 对量子编码的效果了解较少 尤其是还不知道是否有为取得最大容量需要纠缠输 入的信道 2 名词 经典容量 一般指经典信息使用输入状态的固定定字母表通过量子信道传输的最大速率 对这 种情况 容量是输入字母表和信道的函数