40.第四十讲：综合法与分析法

第四十讲 综合法与分析法 一、引言 综合法与分析法是中学数学证明中常用的方法，也是高考考查查的内容之一． （一）知识框架如下： （二）考试大纲要求： 了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点． （三）考情分析： 对两种方法的考查在选择题、填空题和解答题中都有，单纯地考查并不常见，作为解决问题的工具，与其他知识综合运用的特点比较突出．它可以和很多知识如函数、数列、三角函数、导数等相联系，证明时不仅要用到不等式的相关知识，还要用到其他数学知识、技能和技巧，而且还考查了运算能力，分析问题和解决问题的能力． 二、考点梳理 1．综合法 一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。 2.分析法 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、公理、定理等）为止，这种证明方法叫做分析法。 三、典型例题选讲 例1（2008江苏卷）设，，为正实数，求证：． 分析：由想到可应用不等式． 证明：因为为正实数，由平均不等式可得 即 所以， 而 所以 ． 归纳小结：综合法是从已知到未知的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或以已证的命题出发，经过一系列的推理，最后导出要证的结论．证明不等式常用的性质有，等，但应用这些不等式证明时，要注意不等式应用的范围和“”取得的充要条件． 例2（2009全国Ⅰ卷）函数的定义域为R，若与都是奇函数，则( )． A．是偶函数 B．是奇函数 C． D．是奇函数 解：因为与都是奇函数，所以函数关于点，及点对称，函数是周期为4的周期函数．因为是奇函数，所以是奇函数．因此选D． 归纳小结：本题考查函数的性质，判断函数奇偶性的问题（主要是定义法和图象法），特别是函数的单调性、周期性常与奇偶性结合成为考试的重点． 例3（2007年重庆）如图，倾斜角为的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于、两点． （Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程； （Ⅱ）若为锐角，作线段的垂直平分线交轴于点，证明为定值，并求此定值． 解：（Ⅰ）抛物线的标准方程为，则焦点的坐标为（2，0），准线l的方程为． （Ⅱ）证明：如图作，，垂足为、，则由抛物线的定义知，，记、的横坐标分别为，，则 解得类似地，解得． 记直线与的交点为，则 所以． 故． 归纳小结：本题是应用综合法解决解析问题，掌握综合法证明的基本方法是“由因导果”，即由已知条件出发，顺着推证，逐步推出求证的结论，综合法的特点是表述简单，条理清晰，它常用的是“，”，或“因为，所以”，或“”等表述方法． 例4（2008福建卷）已知是正数组成的数列，，且点（）（）在函数的图象上． (Ⅰ)求数列的通项公式； (Ⅱ)若数列满足，，求证：． 解：（Ⅰ）由已知可求得． (Ⅱ)证法一：由（Ⅰ）知：从而，所以， 所以 因为，所以，即． 证法二：因为，， …… 因为，所以，即． 归纳小结：本题证法1中，把证明不等式成立的问题转化为比较大小的问题，可采用做差和零比较的方法，证法2中，利用递推公式，转化为数列的问题．本题使用综合法证明数列问题，考查等差数列、不等式等基本知识，同时考查转化与化归思想，推理与运算能力． 例5(2008年海南宁夏)设函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求的解析式； （2）证明：函数的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心； （3）证明：曲线上任一点的切线与直线和直线所围三角形的面积为定值，并求出此定值． 解：（1）， 于是解得或 因为，所以． （2）证明：已知函数，都是奇函数．所以函数也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形．由可知，函数的图像按向量平移，即得到函数的图像，故函数的图像是以点为中心的中心对称图形． （3）证明：在曲线上任取一点．由知，过此点的切线方程为． 令得，切线与直线交点为． 令得，切线与直线交点为． 直线与直线的交点为．从而所围三角形的面积为．所以，所围三角形的面积为定值． 归纳小结：本题是函数和解析几何的综合证明题，此题可先采用分析法.分析法是“执果索因”，从要求证的结论出发，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、公理、定理等）为止，在解决具体数学问题时，往往是先用分析法寻找使命题成立的充分条件，再结合已知条件，把问题中的隐含条件明确表示出来，用两种方法共同解决． 例6 知函数在上有定义，且满足,有． （1）证明：在上为奇函数； （2）对数列，，求； （3）求证． （1）证明：令，则，所以 令，则，所以，因此在上为奇函数． （2）解：， ， 所以，即是以－1为首项，2为公比的等比数列． 所以． （3）证明： . 因为，所以， 而， 所以 ． 归纳小结：本题将函数、方程、数列、不等式等代数知识集于一题，是考查分析问题和解决问题能力的范例．在求解当中，化归出等比（等差）数列是数列问题常用的解题方法．证明时先用分析法探索证明的思路，然后再用综合法叙述出来. 四、本专题 1.分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知. 2.综合法的特点是：从已知看可知，逐步推出未知. 3.分析法和综合法各有优缺点：分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考，实际证明时常常两法兼用，先用分析法探索证明的思路，然后再用综合法叙述出来. 4.对证明的考查往往会结合函数、数列、解析几何、导数等知识，既要掌握基本的证明方法——综合法和分析法，又要结合相关的数学知识，证明时把两种方法结合起来综合应用. 综合法 分析法 数学归纳法 反证法 直接证明 间接证明 证明 PAGE 4