大学高等数学竞赛

2010年天津市大学数学竞赛试题参考 （理工类） 1、 填空：（本题15分，每小题3分。请将最终结果填在相应的横线上面。） 1. 设 ，则 。 2. 已知 的一个原函数为 ，则 。 3. 1 。 4. 设a，b为非零向量，且满足（a + 3b）⊥（7a – 5b），（a – 4b）⊥（7a – 2b），则a与b的夹角为 。 5. 根据美国1996年发布的《美国能源》原油消耗量 的估计公式为（单位：十亿桶/年）： ， 式中t的原点取为2000年1月。如果实测模型为： ， 则自1995年至2015年共节省原油 12亿桶 。 二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。） 1. 设函数 其中 是有界函数，则 在 点处（ C ）。 （A）极限不存在； （B）极限存在，但不连续； （C）连续但不可导； （D）可导。 2. 设曲线的极坐标方程为 ，则在其上对应于 点处的切线的直角坐标方程为（ A ）。 （A） ； （B） ； （C） ； （D） 。 3. 设函数 连续，则 （ D ）。 （A） ； （B） ； （C） ； （D） 。 4. 设 为一函数的全微分，则下面正确的答案为（ C ）。 （A） ； （B） ； （C） ； （D） 。 5. 设曲面 ，并取上侧为正，则不等于零的曲面积分为：（ B ）。 （A） ； （B） ； （C） ； （D） 。 三、计算 。（本题7分） 解：先求 。令 ，当 时， ，则 从而 四、设 ，求 。（本题6分） 解： ，即 。 （※） 等式（※）两边再对x求2阶导数得： ， 令 ，得 。 等式（※）两边对x求4阶导数得： ， 令 ，得 。 五、对k的不同取值，分别讨论方程 在区间 内根的个数。（本题7分） 解：设 ， ， ， ⑴ 当 时， ，即 在 上单调增加，又 ，故原方程在区间 内无根； ⑵ 当 时： ， ， 单调减少； ， ， 单调增加。 所以 是 的极小值点，极小值 。 于是，当 ，即 时，原方程在区间 内无根； 当 ，即 时，原方程在区间 内有唯一的根； 当 ，即 时，原方程在区间 内有两个根。 六、设a，b均为常数且 ， ，问a，b为何值时，有 。（本题7分） 解： 因为极限存在，故必有 ，即 。所以有 。 由题意得 ， 即 。 七、设 ， ，证明： 存在并求其值。（本题8分） 证明：因为 ，所以 与 的符号相同，且类似可得与 同号。 而 ， 于是 1 当 时，有 ，即数列 单调增加； 2 当 时，也有 ，数列 单调增加； 3 当 时，有 ，数列 单调减少； 4 当 时， 。 又 ，即 与 同号。 所以，当 时，或 时， ，即数列 有上界，此时数列 单调增加且有上界， 收敛。 当 时， ，数列 有下界，此时数列 单调减少且有下界， 收敛。 当 时， ，常数数列 显然收敛。 综上所述， 存在，设其值为A，故 ， 有 ， ，得A = 4（A = －3舍去，因 ）。 八、设 是区间 上的函数，且 ， ，证明： ， 。（本题7分） 证明：对 ， 的泰勒公式为： ， 。 当 时，分别有 ， ； ， 。 两式相减得 ， 故 而 ，故 ， 。 （附：若取 ， ，则 ， 。显然 ， ）。 九、设 是由 所确定的二元函数，求： ， 。（本题6分） 解：将等式 两边分别对x，y求偏导数： ， 。 ， 。 。 。 十、求 ，其中曲线L是 位于上半平面，从点 到 的部分。（本题7分） 解： ， ， ，即积分与路径无关。 但因在点 处 与 无定义，故应选积分路径：从 到 再到 最后到 的折线段。于是 十一、计算 ，其中Σ为由曲面 与 所围成的封闭曲面的外侧。（本题7分） 解：对右端的第一个积分使用高斯公式 其中Ω是Σ所围的空间区域，Ω1是Ω位于第1卦限的部分。 对于右端的第二个积分 ， 其中Σ1是平面 上 的部分上侧，显然 。Σ2是 的外侧， ， 所以 。 十二、在曲面 上求一点P，使该曲面在P点处的切平面与曲面之间并被圆柱面 所围空间区域的体积最小。（本题8分） 解：因为 ，其中 和 分别是以曲面 和P点处的切平面为顶，以 为底，以圆柱面 为侧面的区域的体积，且 是常数，所以求 的最小值可转化为求 的最大值。 设点P的坐标为 ，则曲面在该点处的法向量为 ，切平面方程为 又 ，故切平面方程为 。 于是 其中 。 利用极坐标计算 即 。 由 解得唯一驻点为 ， 。对应的 。 又当 为区域D边界上的点时，有 ，即 ， 所以 恒为常数 。可知 只在区域D的内部取到最大值。而点（1,0）是D内的唯一驻点，故 在此唯一驻点处的值 是最大值。 此时切点P的坐标 为所求。切平面方程为 ，最小体积为 。 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