中国石油大学

中国石油大学（华东） 第二十五届高等数学竞赛试卷 专业年级： 学 号： 姓 名： 成 绩： 页 号 一 二 三 四 五 六 总分 得 分 阅卷人 说明：1.本试卷正文共6页。 2.封面及题目所在页背面及附页为草稿纸。 3.必须写在该题后的横线上，解题过程写在下方空白处，不得写在草稿纸中， 否则答案无效。 中国石油大学（华东）教务处、理学院主办 基础数学系承办 2011年6月5日 一、填空题（每小题4分，本题共20分）： 本页满分28分 本页得分 1、设连续，则。 2、已知，则。 3、函数在点处沿向量的方向导数是，函数 在点处的方向导数取最大值的方向是_____，该点处方向导数的最大值是_____。 4、设函数连续，则 ， 。 5、极限。 二、选择题（每小题4分，本题共20分）： 1、设是可导函数，则下列各式不成立的是（ ） ； ； ； 。 2、设则 本页满分19分 本页得分 3、设函数在附近有定义，且，则（ ） (A) （B）曲面在点的法向量为 (C) 曲线在点的切向量为 (D) 曲线在点的切向量为。 4、已知函数在点的某个邻域内连续，且，则（ ） （A）点不是的极值点； (B) 点是的极大值点； (C) 点是的极小值点； (D) 根据条件无法判断点是否为的极值点。 5、设是二阶常系数微分方程满足初始条件的特解，则当时，函数的极限为（ ） 不存在；；；。 三、计算下列各题（每小题7分，本题共42分）： 1、计算 本页满分14分 本页得分 2、求微分方程的一个解使得由曲线 与以及轴所围成的平面图形绕轴旋转一周所 得旋转体的体积最小。 3、某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km/h. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为k=6.0×kg. km/h）. 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注：kg示千克，km/h表示千米/小时. 本页满分14分 本页得分 4、设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足 ， 又，求。 5、计算积分 本页满分13分 本页得分 6、设在上连续，且满足方程， 其中由不等式确定，求 四．证明题：（每小题6分，本题共18分）： 1、设在内具有二阶连续导数，且，试证： （1）对于内任一，存在惟一的，使得成立。 (2) 本页满分12分 本页得分 2、 设在区间上连续，且，证明： 3、已知平面区域为的正向边界，证明： 2003－2004学年第二学期期末考试 本科高等数学(下)试卷（A） 专业年级： 姓 名： 学 号： 考试时间：2004年6月21日 总 成 绩： 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分 得分 说明：1.本试卷正文共7页。 2.封面及题目所在页背面及附页为草稿纸。 3.答案必须写在该题后的横线上或指定位置，解题过程写在下方空白处，不得写在草稿纸中，否则答案无效。 一、（每小题6分，共42分） 解题过程是： . 解题过程是： . 解题过程是： . 解题过程是： 解题过程是： . 解题过程是： 解题过程是： 解题过程是： 解题过程是： 解题过程是： 解题过程是： 解题过程是： 解题过程是： 解题过程是： 2003－2004学年第二学期期末考试 本科高等数学(下)试卷（A）（B） 参考答案 一、（每小题6分，共42分） 解题过程是： 解题过程是： . 解题过程是： . 解题过程是： 解题过程是： . 解题过程是： 解题过程是： 解题过程是： 解题过程是： 解题过程是： 解题过程是： 解题过程是： 解题过程是： 解题过程是： 解题过程是：