初等函数的幂级数展开

1 第四节 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 初等函数的幂级数展开 第五章 二、函数展开成幂级数 三、函数幂级数展开式的应用 2 两类问: 在收敛域内 和函数 )(xSn n nxaå ¥ =0 幂级数 求和 展开 3 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 += )()( 0xfxf +-¢ ))(( 00 xxxf 200 )(!2 )( xxxf - ¢¢ n n xx n xf )( ! )( 0 0 )( -++L )(xRn+ 其中 =)(xRn ( x在 x与 x0之间) 称为拉格朗日余项 . 1 0 )1( )( !)1( )( ++ - + n n xx n f x 则在若函数 0)( xxf 在 的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 此式称为 f (x) 的 n阶泰勒公式 , 该邻域内有 : 4 +)( 0xf +-¢ ))(( 00 xxxf 2 0 0 )( !2 )( xxxf - ¢¢ LL +-++ n n xx n xf )( ! )( 0 0 )( 为f (x)的泰勒级数 . 则称 当x0 = 0时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 . 1) 对此级数, 它的收敛域是什么？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ? 待解决的问题 : 若函数 的某邻域内具有任意阶导数, 0)( xxf 在 5 定理1 . 各阶导数, )( 0xU 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足: .0)(lim = ¥® xRn n 证明: ,)(! )()( 0 0 0 )( n n n xx n xfxf -= å ¥ = 令 )()()( 1 xRxSxf nn += + = ¥® )(lim xRnn [ ])()(lim 1 xSxf nn +¥® - ,0= )( 0xx UÎ k n k k n xxk xfxS )( ! )()( 0 0 0 )( 1 -= å = + )( 0xx UÎ 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有 6 定理2. 若 f (x) 能展成 x的幂级数, 则这种展开式是 唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同. 证:设 f (x) 所展成的幂级数为 ),(,)( 2210 RRxxaxaxaaxf n n -Î+++++= LL 则 ;2)( 121 LL ++++=¢ -n n xnaxaaxf )0(1 fa ¢= ;)1(!2)( 22 LL +-++=¢¢ -n n xannaxf )0(!2 1 2 fa ¢¢= LL L ;!)()( L+= n n anxf )0()(! 1 n nn fa = LL L 显然结论成立 . )0(0 fa = 7 二、函数展开成幂级数 1. 直接展开法 由泰勒级数理论可知, 展开成幂级数的步函数 )(xf 第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ; 第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ; 第三步 判别在收敛区间(－R, R) 内 )(lim xRnn ¥® 是否为 骤如下 : 展开方法 直接展开法 —利用泰勒公式 间接展开法 —利用已知其级数展开式 0. 的函数展开 8 例1.将函数 xexf =)( 展开成 x的幂级数. 解: ,)()( xn exf =Q ),,1,0(1)0()( L== nf n 1 其收敛半径为 +¥= 对任何有限数 x , 其余项满足 )( =xRn xe !)1( +n 1+nx xe< !)1( 1 + + n x n 故 , ! 1 !3 1 !2 11 32 LL ++++++= nx x n xxxe ¥® = n R lim ! 1 n !)1( 1 +n ¥®n 0 ),( +¥-¥Îx (x在0与x 之间) x+ 2 !2 1 x+ 3 !3 1 x+ LL +++ nx n! 1 故得级数 9 例2.将 xxf sin)( = 展开成 x的幂级数. 解: =)()( xf nQ îí ì=\ )0()(nf 得级数: x )sin( 2 p×+ nx 其收敛半径为 ,+¥=R 对任何有限数 x , 其余项满足 )( =xRn ))1(sin( 2 px ++ n !)1( +n 1+nx !)1( 1 + < + n x n 12 += kn ),2,1,0( L=k 3 !3 1 x- +-+ L5!5 1 x L+- -- - 12 !)12( 11)1( nn n x ),( ¥+-¥Îx xsin\ ¥®n 0 kn 2= ,)1( k- ,0 LL +-+-+-= -- - 12 !)12( 115 !5 13 !3 1 )1( nn n xxxx 10 LL +-+-+-= - nn x n xxx 2142 !)2( 1)1( !4 1 !2 11cos 类似可推出: ),( ¥+-¥Îx ),( ¥+-¥Îx LL + - -+-+-= -- 12153 !)12( 1)1( !5 1 !3 1sin nn x n xxxx 11 例3.将函数 mxxf )1()( += 展开成 x的幂级数, 其中m 为任意常数 . 解:易求出 ,1)0( =f ,)0( mf =¢ ,)1()0( -=¢¢ mmf LL ,)1()2)(1()0()( +---= nmmmmf n 于是得级数 ++ mx1 L+ - 2 !2 )1( xmm 由于 1 lim +¥® = n n n a aR nm n n - += ¥® 1lim 1= L L ++--+ nx n nmmm ! )1()1( 级数在开区间 (－1, 1) 内收敛. 因此对任意常数 m, 12 11,)( <<- xxF L+- 2 !2 )1( xmm L L ++--+ nx n nmmm ! )1()1( [ ]LLL + - +--++-+=¢ -1 !)1( )1()1( 1 11)( nx n nmmxmmxF ++= xmxF 1)( )()1( xFx ¢+ ),(xmF= mxxF )1()( += òò += ¢ xx x x mx xF xF 00 d 1 d )( )( )1ln()0(ln)(ln xmFxF +=- 1)0( =F 推导 则 为避免研究余项 , 设此级数的和函数为 13 L+- 2 !2 )1( xmm L L ++--+ nx n nmmm ! )1()1( ++=+ xmx m 1)1( )11( <<- x 称为二项展开式 . 说明： (1) 在 x＝±1处的收敛性与 m有关 . (2) 当 m 为正整数时, 级数为 x的 m次多项式, 上式 就是代数学中的二项式定理. 由此得 14 对应 1,, 2 1 2 1 --=m 的二项展开式分别为 xx 2 111 +=+ 2 42 1 x × - 3 642 31 x ×× ×+ )11( ££- x L+ ××× ××- 4 8642 531 x 1 1 1 = + x 2 42 31 x × ×+ 3 642 531 x ×× ××- )11( £<- x L- ××× ×××+ 4 8642 7531 xx 2 1- 1 1 1 = + x 2x+ 3x- )11( <<- x LL +-++ nn x)1(x- )11(1 1 1 2 <<-+++++= - xxxx x n LL 15 2. 间接展开法 21 1 x+ = - x1 1 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 例4.将函数 展开成 x的幂级数. 解: 因为 LL +++++ nxxx 21 )11( <<- x 把 x换成 2x- = + 21 1 x LL +-+++- nn xxx 242 )1(1 )11( <<- x , 得 将所给函数展开成幂级数. ( )xj-1 1 ( ) ( ) ( )+++++= xxx njjj L21 ( ) 1内容

财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容