§7.7.4圆的方程（4）

高中数学辅导网http://www.shuxuefudao.com 一．课题：圆的方程（4） 二．教学目标：1.理解圆的参数方程，能熟练求出圆心在原点、半径为 的圆的参数方程； 2.理解参数 的意义； 3.理解圆心不在原点的圆的参数方程，能根据圆心坐标和半径熟练地求出圆的参数方程； 4.能进行圆的一般方程和圆的参数方程的互化，并能用之解题． 三．教学重、难点：目标1、3、4． 四．教学过程： （一）复习：圆的标准方程和一般方程． （二）新课讲解：（点题：圆的参数方程） 1．圆的参数方程的推导 设圆 的圆心在原点，半径是 ，圆 与 轴的正半轴的交点是 ，设点在圆 上从 开始按逆时针方向运动到达点 ， ，则点 的位置与旋转角 有密切的关系： 当 确定时，点 在圆上的位置也随着确定； 当 变化时，点 在圆上的位置也随着变化． 这说明，点 的坐标随着 的变化而变化． 设点 的坐标是 ，你能否将 、 分别表示成以 为自变量的函数？ 根据三角函数的定义， ， ① 显然，对于 的每一个允许值，由方程组①所确定的点 都在圆 上。 我们把方程组①叫做圆心为原点、半径为 的圆的参数方程， 是参数． 圆心为 ，半径为 的圆的参数方程是怎样的？ 圆 可以看成由圆 按向量 平移得到的（如图）， 由 可以得到圆心为 ， 半径为 的圆的参数方程是 （ 为参数）② 2．参数方程的概念 在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 、 都是某个变数 的函数，即 　③ 并且对于 的每一个允许值，方程组③所确定的点 都在这条曲线上，那么方程组③就叫做这条曲线的参数方程，联系 、 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． 说明：参数方程中的参数可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数． 3．参数方程和普通方程的互化 相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标 、 关系的方程，叫做曲线的普通方程． 将曲线的参数方程中的参数消去，可得到曲线的普通方程。参数方程和普通方程可以互化． 如：将圆的参数方程②的参数 消去，就得到圆的普通方程 ． 4．练习： ，练习1，2． （三）例题分析： 例1．把下列参数方程化为普通方程： （1） （ 为参数） （2） （ 为参数） 解：（1） ， 由 得 ，这就是所求的普通方程． （2）由原方程组得 ，把 代入 得 ， 化简得： （ ），这就是所求的普通方程． 说明：将参数方程和普通方程的互化，要注意参数的取值范围与 、 的取值范围之间的制约关系， 保持等价性． 例2．如图，已知点 是圆 上的一个动点，定点 EMBED Equation.DSMT4 ，当点 在圆上运动时，线段 的中点 的轨迹是什么？ 解：设点 EMBED Equation.DSMT4 ，∵圆 的参数方程为 ， ∴设点 EMBED Equation.DSMT4 ，由线段中点坐标公式得 ， 即点 轨迹的参数方程为 ， ∴点 的轨迹是以点 为圆心、 为半径的圆． 【思考】：这个问题不用参数方程怎么解？ 又解：设 ， ， ∵点 是线段 的中点，∴ ，∴ ， ∵点 在圆上，∴ ，∴ ， 即点 的轨迹方程为 ， ∴点 的轨迹是以点 为圆心、 为半径的圆． 例3．已知实数 、 满足 ，（1）求 的最大值；（2）求 的最小值． 解：原方程配方得： ，它表示以 为圆心， 为半径的圆，用参数方程可表示为 （ 为参数， ）， （1） EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， ∴当 ，即 时， ． （2） ， ∴当 ，即 时， ． 说明：本题也可数形结合解． 五．小结：1．圆心为原点、半径为 的圆的参数方程 ，（ 为参数）； 2．圆心为 ，半径为 的圆的参数方程 （ 为参数）； 3．参数方程和普通方程的互化，要注意等价性． 六．作业：课本第81页练习第3题；第82页习题第9，10题； 补充：已知曲线 的参数方程为 （ 为参数）， 是曲线 上任意一点， ， 求 的取值范围． � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� 京翰教育中心http://www.zgjhjy.com _1125903818.unknown _1125927488.unknown _1125928713.unknown _1125929328.unknown _1127565228.unknown _1127565749.unknown _1127566170.unknown _1127566301.unknown _1127566330.unknown _1127566414.unknown _1127566184.unknown _1127565843.unknown _1127565953.unknown _1127565807.unknown _1127565717.unknown _1127565731.unknown _1127565687.unknown _1127564895.unknown _1127564930.unknown _1127565047.unknown _1127565207.unknown _1127564969.unknown _1127564911.unknown _1125984078.unknown _1125984096.unknown _1125929132.unknown _1125929223.unknown _1125929327.unknown _1125928719.unknown _1125928720.unknown _1125929110.unknown _1125928714.unknown _1125928186.unknown _1125928412.unknown _1125928656.unknown _1125928696.unknown _1125928652.unknown _1125928366.unknown _1125928391.unknown _1125928235.unknown _1125927966.unknown _1125928148.unknown _1125928166.unknown _1125928083.unknown _1125927612.unknown _1125927625.unknown _1125927540.unknown _1125925545.unknown _1125926367.unknown _1125927343.unknown _1125927401.unknown _1125927460.unknown _1125927344.unknown _1125926485.unknown _1125927219.unknown _1125926458.unknown _1125926134.unknown _1125926298.unknown _1125926325.unknown _1125926272.unknown _1125925669.unknown _1125925720.unknown _1125925645.unknown _1125904326.unknown _1125905816.unknown _1125906448.unknown _1125906833.unknown _1125906926.unknown _1125907022.unknown _1125907174.unknown _1125907561.unknown _1125907303.unknown _1125907134.unknown _1125906963.unknown _1125906847.unknown _1125906663.unknown _1125906679.unknown _1125906566.unknown _1125906180.unknown _1125906253.unknown _1125906342.unknown _1125905918.unknown _1125905988.unknown _1125906008.unknown _1125905853.unknown _1125905328.unknown _1125905800.unknown _1125905252.unknown _1125904123.unknown _1125904163.unknown _1125904273.unknown _1125904097.unknown _1125904103.unknown _1125903953.unknown _1125903900.unknown _1125855227.unknown _1125855980.unknown _1125903628.unknown _1125903683.unknown _1125903710.unknown _1125903419.unknown _1125903450.unknown _1125856135.unknown _1125856081.unknown _1125855412.unknown _1125855771.unknown _1125855886.unknown _1125855422.unknown _1125855331.unknown _1125855405.unknown _1125855319.unknown _1125854609.unknown _1125854880.unknown _1125854979.unknown _1125855214.unknown _1125854962.unknown _1125854713.unknown _1125854859.unknown _1125854701.unknown _1125854103.unknown _1125854141.unknown _1125854184.unknown _1125854122.unknown _1125853498.unknown _1125854072.unknown _1125853445.unknown