5-1 向量的内积null第五章 二次型第五章 二次型 本章将向量空间具体化,给出欧氏空间的概念,然后讨论二次型化为标准形的问题。为此,
1.首先定义向量内积、长度、夹角、正交等概念;
2.以此为基础,讨论二次型化为标准形以及二次型正定性的判定等问题. null向量内积的定义
设有n维向量x(x1 x2 xn)T y(y1 y2 yn)T 令
[x y]x1y1x2y2 xnyn
[x y]称为向量x与y的内积 说明
...
null第五章 二次型第五章 二次型 本章将向量空间具体化,给出欧氏空间的概念,然后讨论二次型化为
形的问
。为此,
1.首先定义向量内积、长度、夹角、正交等概念;
2.以此为基础,讨论二次型化为标准形以及二次型正定性的判定等问题. null向量内积的定义
设有n维向量x(x1 x2 xn)T y(y1 y2 yn)T 令
[x y]x1y1x2y2 xnyn
[x y]称为向量x与y的内积 说明
内积是两个向量之间的一种运算 其结果是一个实数 用矩阵记号表示 当x与y都是列向量时 有[x y]xTy第一节 向量的内积null向量内积的定义
设有n维向量x(x1 x2 xn)T y(y1 y2 yn)T 令
[x y]x1y1x2y2 xnyn
[x y]称为向量x与y的内积 内积的性质
设x y z为n维向量 为实数 则
(1)[x y][y x]
(2)[x y][x y]
(3)[xy z][x z][y z]
(4)当x0时 [x x]0 当x0时 [x x]0
第一节 向量的内积null向量的长度 令 ||x||称为n维向量x的长度(或范数) 向量的长度的性质
设x y为n维向量 为实数 则
(1)非负性 当x0时 ||x||0 当x0时 ||x||0
(2)齐次性 ||x||||•||x||
(3)三角不等式 ||xy||||x||||y||;
(4) 柯西-许瓦兹不等式 :|[x,y]|||x||•||y||>>> 向量的单位化null向量间的夹角 当[x y]0时 称向量x与y正交 显然 若x0 则x与任何向量都正交 定理1
若n维向量a1 a2 ar是一正交向量组 则a1 a2 ar线性无关 >>> 向量的正交正交向量组 若n维向量a1 a2 ar是一组非零向量,且两两正交
则称其为正交向量组。 标准正交向量组定理的逆命题一般不成立. null 例1 已知3维向量空间R3中两个向量
a1(1 1 1)T a2(1 2 1)T
正交 试求一个非零向量a3, 使a1 a2 a3两两正交 解 设a3(x1 x2 x3)T 则a3应满足
a1Ta30 a2Ta30
即a3应满足齐次线性方程组 取a3(1 0 1)T 得基础解系(1 0 1)T null注
当||x||1时 称x为单位向量
正交基
设n维向量e1 e2 er是向量空间V (VRn)的一个基 如果e1 e2 er两两正交 且都是单位向量 则称e1 e2 er是V的一个规范正交基 例如 向量组 是R4的一个规范正交基 null施密特正交化公式
设a1 a2 ar线性无关, 构造向量组 第二节 向量组的正交标准化则b1 b2 br两两正交 且b1 b2 br与a1 a2 ar等价 把b1 b2 br单位化 即得标准正交向量组null 例2 设a1(1 2 1)T a2(1 3 1)T a3(4 1 0)T 试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化 解 令b1a1再令 e1 e2 e3即为所求 null 由定理1的逆否命题知,线性相关的向量组一定不是正交向量组,而对于n维向量组来说,n+1个n维向量必定线性相关,因此n维向量空间中的正交向量组至多含有n个向量.
可以证明,对于n维向量空间中的任一向量个数小于n的正交向量组,必能扩充为含有n个向量的正交向量组.null 例3 已知a1(1 1 1)T 求一组非零向量a2 a3 使a1 a2 a3两两正交 a2 a3应满足方程a 1Tx0 即
x1x2x30
它的基础解系为
1(1 0 1)T 2(0 1 1)T
把基础解系正交化 即得所求 亦即取 解 null正交矩阵
1.定义:如果n阶矩阵A满足ATAE (或AATE ) 那么称A为正交矩阵 简称正交阵 2. 性质:(1)A1AT
(2)可逆,|A|1
(3)方阵A为正交阵的充分必要条件是A的
列(行)向量组都是标准正交向量组 n阶正交阵A的n个列(行)向量构成向量空间Rn的一个规范正交基 null正交变换
1. 定义:若P为正交矩阵 则线性变换yPx称为正交变换 2. 性质:设yPx为正交变换 则有 这说明 经正交变换线段的长度保持不变(从而三角形的形状保持不变) 这是正交变换的优良特性 一般地,正交变换不改变向量的内积. <<<
因此也就不改变向量的长度和夹角. 故用正交变换化二次型为标准形时,将不会改变曲线或曲面的形状.小结:小结:向量的内积(定义、性质)
向量的度量(长度、夹角)
标准正交向量组(定义、性质、构造法)
正交矩阵(定义、性质)
正交变换(定义、性质)
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