计算方法-2

nullnull上次课主要介绍Lagrange插值多项式。 Lagrange插值公式是Lagrange插值函数pn(x)的插值误差是null第四节 Aitken算法 本节解决Lagrange插值公式的递推算法，便于增加节点和误差估计。 null 已知f(x)的节点x0,x1,…,xn,xn+1的函数值是y0,y1,…,yn,yn+1。我们用节点x0,x1,…, xn-1, xn和节点x0,x1,…,xn-1,xn+1构造两个n次插值公式，分别是null由于下面等式成立这是因为null所以null我们用fk(xi)示由节点x0,x1,…, xk-1和 xi (ik)构造的插值函数，则说明利用由节点x0,x1,…, xn-1, xn和节点x0,x1,…,xn-1,xn+1构造两个插值再做线性插值，得到是节点x0,x1,…,xn,xn+1的插值函数。可得Aitken插值表null特点：将高次插值变成线性插值的多 次重复，并且同时检查精度。例：已知函数f(x)在x=0.3,0.4,0.5,0.6,0.7 时的值分别等于0.29850, 0.39646, 0.49311, 0.58813, 0.68122。求f(0.462)。f(x0) f(x1) f1(x1) f(x2) f1(x2) f2(x2) f(x3) f1(x3) f2(x3) f3(x3) f(x4) f1(x4) f2(x4) f3(x4) f4(x4) ……null解： xi f(xi) f1(x) f2(x) f3(x) f4(x) 0.3 0.298500 0.4 0.396460 0.457195 0.5 0.493110 0.456134 0.456537 0.6 0.588130 0.454900 0.456484 0.456558 0.7 0.681220 0.453502 0.456432 0.456557 0.456558 即 ， 求 f (0.462)。null开始读入x,(xi,yi),i=0,1,…,n1=>kyk-1+(x-xk-1)(yi-yk-1) /(xi-xk-1)=>yi i=k,k+1,…,nk=n?k+1=>k输出yn结束yN Newton插值公式 Newton插值公式 不同于Lagrange插值多项式的确定方法，我们来构造具有如下形式的多项式： 作为 的节点为 的n次插值多项式。 可知增加一个节点后的插值多项式的形式应为： 即： null 二阶差商定义为一阶差商的差商差商及其性质 对于给定函数f(x)，用f(x0,x1,…, xn)表 示关于节点x0,x1,…, xn的差商。 一阶差商定义为nulln阶差商定义为n-1阶差商的差商定义函数值f(x0)为零阶差商。 差商的另一种表达式是null差商的一般形式是说明差商具有对称性。null 由于插值公式是唯一的，所以它是Lagrange插值公式变形。它的余项是由差商形式得到的插值公式是上式称为Newton插值公式。nully0 f(x0) y1 f(x1) f(x0,x1) y2 f(x2) f(x1,x2) f(x0,x1,x2) y3 f(x3) f(x2,x3) f(x1,x2,x3) f(x0,x1,x2,x3) …...每次计算一列，公式为对k=1,2,…,n循环。Newton插值公式在计算机上实现必须计算差商，它的计算可用图表示：null开始读入x,n,xi,yi,i=0,1,…nu=y0,t=1,k=1yi=(yi-yi-1)/(xi-xi-k),I=n,n-1,…kt=t*(x-xk-1),u=u+yk*tk=n?输出u结束k=k+1NY null问：已知x0, x1和 ，求二次式 p2(x)，满足条件问题的关键是构造基函数 ， 满足条件第六节 Hermite插值null这个函数在x=0和x=1时的值分别是y0和y1，在x=0的一阶导数值是 。为了解决上述问题，我们令h=x1-x0，则函数用它们可以构造函数这三个函数是null它的展开式是x=x0和x=x1时的函数值分别是0和1，则得出null它的插值余项是问题：已知x0,x1和 ，求三次式p3(x)，满足条件解：我们令h=x1-x0，则null其中它的插值余项是null本节课主要讲述了 1. Aiteken算法 2. Newton插值公式 3. Hermite插值公式