手机套餐问题的一个数学模型

手机套餐问题的一个数学模型 402160 � 重庆永川区重庆文理学院数学与计算机科学系 杨 � 伟 蒋小玲 冉迎春 赵清贵 李景国 � � 随着信息时代的到来, 手机在人们日常工 作、社交、经营等社会活动中的作用越来越重 要.近年来我国通信业务量飞速增长,手机的功 劳更是功不可没. 手机资费问题也越来越受到 人们的关注,并且对原有的各种资费越来 越质疑. 2007 年 1 月以来上海、北京、广东等地 相继推出的手机� 套餐� 琳琅满目, 让人眼花缭 乱,人们不能理性分辨手机� 套餐� 究竟优惠在 何处. 现根据中国移动公司现行的资费和北 京的全球通� 畅听 99套餐�与上海的�全球通 68 套餐� 方案[ 4] ,通过建立数学模型来: 按照 通话需求量不同的用户,说明两种� 套餐� 方案 适应于哪种类型的用户. 一、模型中的符号说明及简化假设 1. 符号说明 x � � � 示用户一个月本地主叫分钟数 y � � � 表示用户一个月本地主叫国内 IP长 途(加 17951) 的分钟数 si � � � 表示用户月基本费为 i 的一个月的 总话费用( i = 99, 139, 199, 299, 68, 128, 188) 2. 简化假设 ( 1) 用户选择业务是理性的; ( 2) 不考虑手机卡卡费, 停机保号,优惠时 间通话等费用; ( 3) 可以利用由附表 1 中数据得到的平均 月本地通话时长和长途通话时长来代替套餐中 的月本地通话时长和长途通话时长; ( 4) 在上海� 全球通 68 套餐� 方案计算中, 假设接打电话是相互的, 即拨打 t时间电话, 同 样会接听 t 时间电话. 二、模型分析与建立 1. 模型分析 本问题主要研究的是手机资费的问题, 这 个问题一直是人们关注的焦点. 对此,本文根据 中国移动公司现行的资费标准以及各种手机 �套餐� 方案, 建立数学模型, 解决一些简单问 题.问题中的各种方案的选择、比较, 是为了在 手机资费便宜这一方面支出最少, 而拨打分钟 数相同. 另外, 根据对不同人群 (通话量需求的 不同) 的分析, 得到各种� 套餐� 方案适用的范 围. ( 1) 本地通话资费(元 / 分钟) 本地通话资费包含本地主叫资费和本地被 叫资费两种. ( 2) 长途资费(元 / 分钟) 长途资费包含两个方面:普通的直拨国内、 国际、港澳台长途以及 IP 的国内、国际、港澳台 长途.由于全球通、神州行、动感地带、北京全球 通�畅听 99套餐� 以及上海�全球通 68套餐� 方 案的长途资费不同, 针对不同类型进行不同计 算. ( 3) 各种套餐方案的资费计算方法 由于不同方案的的资费标准不同, 将对各 种方案的不同点进行细致的分析, 得到具体计 算方法.最后比较各种方案的优劣, 对设计新的 方案指明方向. 综合考虑以上情况及其相关资 料, 最终用数学模型的方法解决怎样使用 � 套 餐�更优惠的问题. 2. 模型建立 2. 1 � 北京的全球通� 畅听 99 套餐� 分析 (模型 �) 由本套餐方案中可知: 方案中的不同档次 的套餐业务(漫游资费、国际长途资费) 都是依 照移动公司现行资费标准, 其影响力度一样, 所 以在建模型时同时舍去. 方案中的数据业务相 当于是赠送,赠送GPRS流量与彩信的多少是影 响用户选择业务档次的一个因素, 但考虑到 GPRS 流量与彩信对绝大多数用户来说用不上 许多,所以把此因素当成次要因素, 不影响模型 的建立. 由方案显示的信息可列函数知下: s = 月基本费+ 长途费用 � � � (套餐范围内) 月基本费+ 长途费用+ 超出后主叫本地费用 � � � � � � � � � � � � � (超出套餐后) 43上海中学数学 � 2008年第 4期 即: s = 月基本费+ 0. 1y � � � � � � (套餐范围内) 月基本费+ 0. 1y+ 超出分钟数 �本地主叫资费 � � � � � � � � � � � � � (超出套餐后) 北京的全球通�畅听 99套餐� 各资费方案 的计算方法可以分别表示如下: s99 = 0. 1y + 99 � � � 0 � x + y � 280 0. 1y + (x + y - 280) � 0. 35+ 99 � � � � � � � � x + y > 280 � (1) s139 = 0. 1y + 139 � � � 0 � x + y � 560 0. 1y + ( x + y - 560) � 0. 25+ 139 � � � � � � � � x + y > 560 � (2) s199 = 0. 1y + 199 � � � 0 � x + y � 1000 0. 1y + ( x + y - 1000) � 0. 2+ 199 � � � � � � � � x + y > 1000 � ( 3) s299 = 0. 1y + 299 � � � 0 � x + y � 2000 0. 1y + ( x + y - 2000) � 0. 15+ 299 � � � � � � � � x + y > 2000 � ( 4) 很显然,一个月的通话总费用取决于通话 总分钟数(打外地电话与打本地电话时间之和, 即x + y) ,同时由于用户的工作性质不尽相同即 业务需要(打外地电话与打本地电话时间 ) 不 同,所以x 与y 的比例对每位用户来说是不一样 的,因此设 y 与x 的比值为 k ,即: y x = k � ( k �0) k值即是用户主叫国内长途电话时间与主 叫本地电话时间的比例( k 值可以用来反映用户 每月主叫国内长途电话时间占通话时间的权 重) .由上式可以得到 y = kx , 将其代入上面的 ( 1) , ( 2) , ( 3) , ( 4) 式并化简可以得到: s99 = 0. 1y + 99 � � 0 � (k+ 1)y � 280 0. 1y + [ (k+ 1)y - 280] � 0. 35+ 99 � � � � � � � ( k+ 1) y > 280 � ( 5) s139 = 0. 1y + 139 � � 0 � (k + 1)y � 560 0. 1y + (x + y - 560) � 0. 25+ 139 � � � � � � � (k+ 1)y > 560 � (6) s199 = 0. 1y + 199 � � 0 � (k + 1)y � 1000 0. 1y + (x + y - 1000) � 0. 2+ 199 � � � � � � � (k+ 1)y > 1000 � (7) s299 = 0. 1y + 299 � � 0 � (k + 1)y � 2000 0. 1y + (x + y - 2000) � 0. 15+ 299 � � � � � � � (k+ 1)y > 2000 � (8) 此时利用资料数据对 k值进行估计, k = 1465. 6 15882. 7 � 0. 092 在 MATLAB7. 0软件中运行如下程序: [ x , y] = solve(�y = 0. 092* x�, �99 + 0. 1* y + 0. 35* ( x + y - 280) = 139+ 0. 1* y�, �x , y�) ; Jiedian1 = f ix ( x + y) [ x , y] = solve( �y = 0. 092* x�, �139 + 0. 1* y + 0. 25* ( x + y - 560) = 199+ 0. 1* y�, �x , y�) ; Jiedian2 = f ix ( x + y) [ x , y] = solve( �y = 0. 092* x�, �199 + 0. 1* y + 0. 20* ( x + y - 1000) = 299+ 0. 1* y�, �x , y�) ; Jiedian3 = f ix ( x + y) 运算结果为(保留整数) : Jiedian1 = 394 Jiedian2 = 800 Jiedian3 = 1500 由结果可以用三交点把主叫分钟数分成四 段, 即小于 349 分钟、349 至 800 分钟、800 至 1500分钟、大于 1500 分钟. 在运算过程中发现 当 k取不同的值时,结果不发生改变. 这说明主 叫国内长途电话时间与主叫本地电话时间的比 例大小在本模型中不影响结果. 结果只与主叫 国内长途电话与主叫本地电话时间之和有关. � 结果说明 由结果可以看出,月基本费为 99 元的套餐 适合每月主叫分钟数在低于394分钟的用户.月 基本费为 139 元的套餐适合每月主叫分钟数在 394分钟到 800分钟的用户.月基本费为 199 元 的套餐适合每月主叫分钟数在 800 分钟到 1500 分钟的用户.月基本费为299元的套餐适合每月 主叫分钟数在高于 1500 分钟的用户. � 套餐优点以及适用人群分析 该套餐适用人群: 高端商务人士月消费比 较高,并且附送的GPRS流量基本都能满足其利 用智能手机或者 PDA 收发邮件的工作需求. 月 话费在 100元以上,通话对象以本地通话为主的 用户可以选择 99 元或者 139元的畅听套餐. 由 于本套餐对市话、长话都有要求,对整体话费不 高的用户,选择月基本费为 99 元的档次比较划 算. � 为用户选用本套餐支招 用户根据自己主叫时间的长短不同, 可选 择 99、139、199、299元等不同档次的业务,其中 最高一档的套餐本地主叫市话费按 0. 15元 / 分 钟收取, 最低一档为 0. 35 元 / 分钟; 若要打长 途,最好加拨 17951 拨打国内(不含港澳台) 长 44 上海中学数学 � 2008年第 4期 途, IP 长途资费仅 0. 1元 / 分钟收取.本套餐主 要是要充分考虑自己本地主叫时间长短, 如果 出差外地的时间较长,超出话费(漫游费) 太多, 则不易选用. 2. 2 � 上海移动公司的�全球通 68套餐�方 案分析(模型 �) 从上海移动公司的� 全球通 68 套餐� 方案 显然可以看出: 当用户一个月的主叫分钟数小 于 360时,选择月基本费 68元的套餐比较优惠. 如果用户一个月的主叫分钟数大于360时,就看 不出选择那种套餐比较好,现通过计算求解.本 模型与上一个模型不同之处在于接听电话在套 餐范围内要算分钟数 (即接听要收费) . 在此作 一个假设:人与人之间是完全平等的.即用户打 给别人的分钟数与别人打给他的分钟数相同, 那么用户的通话时间为 2x + 2y. 主叫国内长途 时的资费(普通拨叫与 IP 拨叫的算术平均值) 为: 0. 7+ 0. 3 2 = 0. 5元 / 分钟 一个月的话费模型为: 通话分钟数不超出套餐分钟数时, 总话费 s = 月基本费+ 0. 5 � 2y.超出套餐分钟数时,总 话费 s = 月基本费+ (超出后主叫国内长途费用 + 超出后主叫本地费用) 即总话费 s = 月基本费+ (超出后的主叫分 钟数 � 超出后本地通话费) + y 所以模型写为: s = 月基本费+ y � � � � � � � (套餐范围内) 月基本费+ (超出后的主叫分钟数 � 超出后 本地通话费) + y � � � � � � (超出套餐后) 即: s 68 = 68+ y � � 0 � 2x + 2y � 360 68+ 0. 18(2x + 2y - 360) + y � � � � � � � � 2x + 2y > 360 � (9) s 128 = 128+ y � � 0 � 2x + 2y � 800 128+ 0. 16(2x + 2y - 800) + y � � � � � � � � 2x + 2y > 800 � ( 10) s 188 = 188+ y � � 0 � 2x + 2y � 1200 188+ 0. 13(2x + 2y - 1200) + y � � � � � � � � 2x + 2y > 1200 � (11) 利用模型 �中的思想,同时利用模型 �中 的 k值,用程序[ x , y] = solve(�y = 0. 092* x�, �68+ y + 0. 18* ( 2* x + 2* y - 360) = 128+ y�,�x , y�); Jiedian1 = f ix ( 2* ( x + y) ) [ x , y] = solve(�y = 0. 092* x�, �128+ y + 0. 16* ( 2* x + 2* y - 800) = 188+ y�, �x , y�) ; Jiedian1 = f ix ( 2* ( x + y) ) 可以算出两个交点的分钟数为: Jiedian1 = 693, Jiedian2 = 1175. 所求得的结果意义表述:月基本费为 68 元 的套餐适合每月通话需求量 (包括主叫、接听 ) 低于 693分钟的用户.月基本费为 128元的套餐 适合每月通话需求量在 693分钟到 1175分钟的 用户.月基本费为188元的套餐适合每月通话需 求量在高于 1175 分钟的用户. 三、模型的评价 1. 模型的优点 ( 1) 本文模型中对通话每分钟资费求平均 值,这样大大的简化了计算. ( 2) 本文充分的利用了题目所给的材料,并 对材料进行了有效的筛选, 运用合理的方法处 理,从而使得模型更有说服力. ( 3) 本文采取的方法均为初等方法,但所得 结果相当令人满意, 使模型便于在现实生活中 得到应用. 2. 模型的缺点: 由于缺少详细的必要数据, 在计算本地通 话时间和长途通话时间时, 本文大部分取平均 值来代替,肯定会产生误差. 四、结语 本文利用初等数学方法对实际问题建立数 学模型,对各种手机套餐作深入细致的比较, 充 分体现初等数学方法在解决实际问题中的应 用.通过模型的建立使消费者消费趋于理性, 获 得最大限度的优惠. 参考文献: [ 1] 朱蕾.合理设计资费套餐[ J] , 中国电信业, 总第 208 期: 2006, 10. [ 2] 谢萌,李帮义. 关于移动通信资费套餐设计中的 可研究性问题的探讨 [ J] , 集团经济研究, 总第 208 期: 10 月上旬刊, 2006. [ 3] 姜启源, 谢金星, 叶俊. 数学模型第三版[ M ] , 北 京 :高等教育出版社, 2003. [ 4] 2007 年全国大学生数学建模竞赛题目. 45上海中学数学 � 2008年第 4期