文科高数

null高等数学（D）高等数学（D）null聊聊天微积分的产生——17、18、19世纪的微积分.很久很久以前, 在很远很远的一块古老的土地上, 有一群智者……开普勒、笛卡尔、卡瓦列里、费马、帕斯卡、 格雷戈里、罗伯瓦尔、惠更斯、巴罗、瓦里斯、 牛顿、莱布尼茨、…… .null微积分的产生有四种主要类型的问.null 已知物体移动的距离为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表为时间的函数的公式，求速度和距离。 null 困难在于：十七世纪所涉及的速度和加速度每时每刻都在变化。例如，计算瞬时速度，就不能象计算平均速度那样，用运动的时间去除移动的距离，因为在给定的瞬刻，移动的距离和所用的时间都是 0，而 0 / 0 是无意义的。但根据物理学，每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度，是不容怀疑的。 null 求曲线的切线。 这个问题的重要性来源于好几个方面：纯几何问题、光学中研究光线通过透镜的通道问题、运动物体在它的轨迹上任意一点处的运动方向问题等。 null 困难在于：曲线的“切线”的定义本身就是一个没有解决的问题。 古希腊人把圆锥曲线的切线定义为“与曲线只接触于一点而且位于曲线的一边的直线”。这个定义对于十七世纪所用的较复杂的曲线已经不适应了。 nullnull 困难在于：原有的初等计算方法已不适于解决研究中出现的问题。但新的方法尚无眉目。 null 求曲线的长度、曲线所围成的面积、曲面所围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一个物体上的引力。 null 困难在于：古希腊人用穷竭法求出了一些面积和体积，尽管他们只是对于比较简单的面积和体积应用了这个方法，但也必须添加许多技巧，因为这个方法缺乏一般性，而且经常得不到数值的解答。 穷竭法先是被逐步修改，后来由微积分的创立而被根本修改了。 null0 介绍0 介绍一、高等数学包括： 微积分 常微分方程 向量、解析几何 级数 二、微积分的分类 按变量个数：一元；二元；多元 按知识结构：极限、导数、积分。其中： 极限：数列极限、函数极限（x→a； x→∞） 0 介绍0 介绍导数：导数、微分、微分中值定理、偏导数、全微分。 积分：不定积分（换元、分部）、定积分、二重积分。 三、各部分难度 一元：极限=导数<积分<微分中值定理 二元：导数<积分<极限 四、总成绩构成 期末考试70%+平时成绩30% 五、学习方法 多做题！1.1 函数1.1 函数一、函数的基本概念 （定义域、值域……） 二、函数的基本性质 （奇偶、单调、有界、周期） 三、基本初等函数 （6类） 四、初等函数 （复合、反函数） 1.2 数列的极限1.2 数列的极限 定义：称 是一个数列，记为 其中 称为数列的通项null定义：若 则称数列单调增。 若 则称数列单调减 单调增和单调减数列统称为单调数列null定义：若存在数M，使 则称数列 有上界 若存在数b，使 则称数列 有下界 若一个数列既有上界又有下界，则称为有界null例：证明 单调减、有最小上界和最大下界 证明 任何单调增数列必有下界，单调减数列必有上界 数列的极限的概念数列的极限的概念极限是微积分的一个重要工具，是现代数学的最基本的概念。 极限的过程是一个无限的过程。用有限多的思维语言来描述一个极限的过程是相当困难的事情。 17世纪有了微积分，也有了很好的应用，但关于极限的定义直到18 世纪才有。 为了理解极限的概念，先看下面的例子：null null 设 是一个数列，A是一个实数，则 （1）若任给正数 ，总存在正整数N，使得当 时，都 有，则称 称收敛于A，或称 是数列的极限，记作 ． （2）否则称 是发散的，即没有极限。null几个简单重要的极限： null数列极限的性质 极限的四则运算法则： null四则运算中的加减乘是有限项之间进行的 满足条件，则结论肯定存在（不满足条件呢？） 问题是我们求极限的时候往往是条件不成立的，即给我们的数列形式不是直接可以用公式来求解的.要对数列的形式进行适当的恒等变换，使其满足四则运算的条件。 下面通过举例来说明：nullnull考虑下面的问题： 每一部分的极限都是0 0＋0＋……+0=0,这是错的 事实上原式＝1 极限相加公式只限有限项相加。nullnullnull例求nullnullnull数列极限的一个构造性求极限的方法： 两边夹定理 若 且 则有： null利用这个法则求极限的关键是原来的数列的极限很难进行恒等变换使其变成简单形式的数列，从而利用四则运算来求。 对原来的数列进行适当的放大和缩小，变成两个形式简单的数列，如果这两个形式简单的数列的极限相等，则原来数列的极限即求得null证明： 证：nullnull定理：单调增有上界数列必有极限。 利用这个结论可以证明： 其中e＝2.718281…… null定义：如果 如果null如果 当且仅当 例如： 都是无穷小量null总结：利用极限的定义通常只能验证极限，而求数列的极限需要方法，例如四则运算法，两边夹定理，单调有界定理等等。函数的极限 连续函数函数的极限 连续函数本节先介绍函数的极限，再给出连续函数的概念与性质。§1函数极限概念§1函数极限概念 在本章,我们讨论函数极限的基本联系,它们之间的纽带就是归结原理.函数极限与数列极限之间有着密切的概念和重要性质.作为数列极限的推广,一、x趋于时的函数极限一、x趋于时的函数极限极限.也无限地接近A,我们就称无限远离原点时,函数f (x)上,当 x 沿着 x 轴的正向nullnull记为nullnullnull二、x趋于x0 时的函数极限二、x趋于x0 时的函数极限为极限的定义.null或者null可以找到使得曲线段4. 函数极限的几何意义如图, 落在窄带内.null对于函数的极限，主要也是进行求解极限。与数列极限的情况类似，函数的极限求解也有四则运算与迫敛法。也有函数的无穷小量与无穷大量的概念null例null例nullnullnullnull例：设 求：a，b 解：由题意： 则 所以：m＝3 即 则a＝1，b＝－6null例：null例：null 极限的四则运算法则可以解决若干有关极限的计算问题，但并不能解决所有极限问题。为了求解更多的函数的极限，下面引进两个重要的极限。null重要极限一： 函数极限为 型， 且与三角函数有关。可以考虑用该形式的极限求解。 更一般的形式为 null例null例null例：nullnull重要极限二： 函数极限为 型， 且函数为幂指函数。可以考虑用该形式极限 更一般的形式为： 或 此处的 可以是 也可以是null例： null例： null例： null例：null对于 型的极限， 也可以利用公式 这里 null例： 解： 则 原式＝null讨论函数 问函数在点x＝2处有没有极限？ 解： 所以没有极限三、单侧极限三、单侧极限在定义区间的端点和分段函数的分界点等.候,我们仅需(仅能)在 x0的某一侧来考虑, 比如函数null右极限与左极限统称为单侧极限, 为了方便起见，极限,记作有时记null由定义4和定义5，我们不难得到：null§1 连续函数的概念一、函数在一点的连续性三、连续函数二、间断点null在日常生活中我们常常会遇到连续不断的量，如空气的温度、车辆的行程等等。也会遇到出现间断的量，股市的k线、多级火箭当第一级燃料燃尽而外壳自行脱落时火箭质量的变化等等。 连续变化的量反映到几何图象上是连续不断的曲线 那么，反映到代数上是什么情况呢？一、函数在一点的连续性一、函数在一点的连续性由定义1知，我们是通过函数的极限来定义连续null这是因为null又如：函数null很明显, 由左、右极限与极限的关系以及连续函数 的定义可得：null例2 讨论函数解 因为点击上图动画演示null二、间断点二、间断点定义.若f 在点 x0 无定义,或者在点 x0有定义但却或不连续点.在该点不连续,那么称点 x0 为函数的一个间断点 null所以三、区间上的连续函数三、区间上的连续函数若函数 f 在区间I上的每一点都连续,则称 f 为 I别指右连续和左连续.数在该点连续是指相应的左连续或右连续.上的连续函数.对于闭区间或半闭区间的端点,函null基本初等函数： 常数函数 幂函数 指数函数 对数函数 六个三角函数 四个反三角函数 null由基本初等函数经过有限次四则运算和复合而成的函数称为初等函数。null利用函数极限的性质，可以证明下面的结论： 初等函数在其定义域内为连续函数 对于任何连续函数都有： 例：null例： 讨论函数 在 的连续性 解 ： 又 则 所以 连续 连续函数的性质 连续函数的性质定理 ：闭区间上的连续函数一定有界（这里函数有界是指值域有界）。 在科学技术、国民经济、人文和社会科学中，常会碰到用料最省、容量最大、投资最少、效益最高等问题．为此先引进函数的最大值或最小值． null闭区间上的连续函数不仅有界，而且一定有最大值和最小值． 定理4： 闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值． 例：连续函数 在开区间 上是无界的 ， 即没有最大值，也没有最小值． 究其原因就是函数是连续的，但不是闭区间。 null定理5：若 在 上连续, , 则 使 ． 这个定理可以用来判断方程根的存在性，当然在理论上也是很有用的。null例： 试证 方程至少有一个小于3的正根． 证明：设 则有 存在 使得 null例： 设 在 上连续, 则存在 使 ． 解： 则 在 上连续， 由定理知，存在 使得 即 因此null 导数是微分学的核心概念, 是研究函数导数及其运算的概念 一、导数的概念“变化率”, 就离不开导数. 三、导数的几何意义 二、导函数态的有力工具. 无论何种学科, 只要涉及到自变量关系的产物,又是深刻研究函数性null一、导数的概念一般认为, 求变速运动的瞬时速度，求已知曲线 别在研究瞬时速度和曲线的 牛顿 ( 1642-1727, 英格兰 )两个关于导数的经典例子.切线时发现导数的. 下面是微分学产生的三个源头. 牛顿和莱布尼茨就是分上一点处的切线，求函数的最大、最小值，这是null1. 瞬时速度 设一质点作直线运动, 质点的位置 s 是当 t 越来越接近 t0 时，平均速度就越来越接近 t0时刻的瞬时速度. 严格地说, 当极限时刻 t0 及邻近时刻 t 之间的平均速度是null2. 切线的斜率 如图所示, 存在时, 这个极限就是质点在 t0 时刻的瞬时速度.其上一点 P( x0, y0 ) 处的切线条割线的斜率为点 Q , 作曲线的割线 PQ ，这PT.为此我们在 P 的邻近取一需要寻找曲线 y =f (x) 在null答: 它就是曲线在点 P 的切线 PT 的斜率.的极限若存在，则这个极限会是什么呢？null上面两个问题虽然出发点相异，但都可归结为同x0 处关于 x 的瞬时变化率(或简称变化率).均变化率，增量比的极限 (如果存在) 称为 f 在点的极限. 这个增量比称为函数 f 关于自变量的平 D y = f (x) – f (x0) 与自变量增量 D x = x – xo 之比一类型的数学问题： 求函数 f 在点 x0 处的增量null定义1 设函数 y =f (x) 在点 x0 的某邻域内有定义，如果极限存在, 则称函数 f 在点 x0 可导, 该极限称为 f 在如果令 Dx = x – x0, Dy = f (x0 +Dx) –f (x0), 导数就可以写成null这说明导数是函数增量 D y 与自变量增量 D x之比例 求函数 y = x3 在 x = 1 处的导数，并求该曲线在点 P (1,1) 的切线方程.在 点 x0 不可导null由此可知曲线 y = x3 在点 P(1, 1) 的切线斜率为所以null下面的定理说明函数不连续一定不可导． 定理： 如果函数 在点 处可导， 则它在点 处必连续． 证明： 即 显然可导是比连续更强的条件：从几何上看，连续只要曲线连着，可导却还要光滑。 下面的一个例子就能说明这一点。null例 常量函数 f (x) = c 在任何一点 x 的导数都为例 证明函数 f (x) = | x | 在 x = 0 处不可导.证 因为处不可导.显然是连续的null例 证明函数在 x = 0 处不可导.不存在极限,所以 f 在 x = 0 处不可导.null存在，则称该极限为 f (x) 在点 x0 的右导数, 记作null右导数和左导数统称为单侧导数.定理 如果函数 y =f (x) 在点 x0 的某个邻域内有在讨论分段函数在分段点上的可导性时, 本结论都存在，且很有用处，请看下面例题.类比左、右极限与极限的关系，我们有：null试讨论 f (x) 在 x = 0 处的左、右导数和导数.解 容易看到 f (x) 在 x = 0 处连续. 又因 所以nullnull二、导函数如果函数 f 在区间 I 上的每一点都可导 (对于区间定义了一个在区间 I 上的函数，称为 f 在 I 上的意一点 x 都有 f 的一个导数 f(x) 与之对应, 这就则称 f 为区间 I 上的可导函数. 此时, 对 I 上的任端点考虑相应的单侧导数, 如左端点考虑右导数) ,null道，这个记号实质是一个“微分的商”.例 求函数 y = xn 的导数，n为正整数.null例 证明:我们只证明 ( i ) 的第二式和 ( iii ) . 因此null证 ( i ) 由于null(iii) 由于null三、导数的几何意义切线的方程是记 a 为切线与 x 轴正向的夹角，则f ¢(x0) = tana .null由此可知, f ¢(x0) > 0 说明 a 是锐角; f ¢(x0) < 0 说基本初等函数的导数——最简单的函数的导数，这些结论可以当作公式用 基本初等函数的导数——最简单的函数的导数，这些结论可以当作公式用 这里的C为常数 为常数nullnull光有初等函数的导数公式不能求得所有函数的的导数，为了求得更多的函数的导数，下面引入求导数的四则运算法则： 设 可导 则null例：已知 求： 解：null例：已知 求 解：null证明： 证：null例：已知： 求： 解： 所以：null复合函数的导数 复合函数的导数公式对于初学者来讲，即是重点又是难点。 定理：null上面的结果是对于一点的情况。对于区间内的可导函数也有类似的结果。 简单地可以如下叙述： 就是说：函数关于自变量的导数等于函数关于中间变量的导数乘以中间变量关于自变量的导数。null例：已知函数 求： 解：null用复合函数求导法求导时，也可不将中间变量写出来，只是必须注意复合函数的复合顺序，从外到里一层一层地求导而不可漏掉。 该方法十分重要，必须正确运用，并熟练掌握。 下面通过举例来说明该方法的求导过程：null例：已知： 求： 解：null已知： 求： 解：null 例：已知 求： 解：null证明： 证：因为 所以null证明： 证：因为 所以null 解： 所以：隐函数的导数隐函数的导数对于函数y=f(x),由于函数y已写成自变量x的明显表达式，因此称为显函数。 如果x与y之间的函数关系没有明显给出，而是由某个方程F(x,y)=0确定时，则称为隐函数。 例： 就是一个隐函数。 由方程F(x,y)=0确定的隐函数y=f(x)通常不是初等函数，甚至写不出表达式. 例如由方程xy+ln(y+x)=1确定的隐函数y=f(x)的表达式写不出来 .null对于显函数， y与x之间的函数关系的表达式显而易见 对于隐函数，尽管y与x之间的函数关系的表达式我们根本写不出，或者不需要写出；但y与x之间的函数关系是客观存在的。 既然有函数关系，函数关于自变量的导数如果存在。那么如何求导数？ 我们可以用复合函数的求导法来求隐函数的导数。 下面通过举例的方法来说明：null例：由方程 确定的函数的导数 解：两边关于x求导： 即：null求xy+lny=1所确定的隐函数的导数 ． 解：等式两边对x求导 null例：求有 方程所确定的函数在点P(2,-2)处的切线方程。 解：两边关于x求导数 所以： 故切线的方程为： 对于特殊形式的函数可以两边先取对数再求导数的方法对于特殊形式的函数可以两边先取对数再求导数的方法 解： 两边关于x求导数：null例：求函数 的导数 解：两边取对数得 两边对x求导得 反函数的导数反函数的导数如果一个函数y=f(x)存在反函数g=h(x),则原来y=f(x)具有的性质反函数g=h(x)都有。 作为一种求解方法，我们简单介绍求法。 原来的函数的导数与反函数的导数有如下关系： 即原来的函数的导数与反函数的导数互为倒数。null求证 ： 证明： 是 的反函数。 所以 即：参数方程的导数公式参数方程的导数公式 方程 在几何上表示圆， 有时用方程组 来表示圆 这时称这一方程组是圆的参数方程，简称参数方程 null对于参数方程有以下的求导公式： 若参数方程表示为： 则其导数为null求参数方程 的导数 解：微分和高阶导数微分和高阶导数高阶导数 ： 若 可导，则 是x的函数．则对导函数 求导 即： 其结果记为： null如果二阶导数还是可导函数，则可以继续求导，形成三阶导数。依次类推。 二阶及其以上的导数称为高阶导数。 当n为自然数时，n阶导数记为： 或 null例设 求： 解：一元函数的微分一元函数的微分 微分不仅给近似计算提供了一个公式，而且给积分运算和微分方程带来了很大的方便。 下面就介绍地给出微分的观念。 若函数 可导，则 称为函数 的微分，记为： 即： 或null 例：已知 求： 解： 所以null已知： 求x=1和x=2时的微分 解 所以null已知： 求 ： 时的微分 解： 所以：null已知： 求： 解：两边关于x求导 所以：null因为 所以导数公式和微分公式是一一对应的，导数的四则运算公式和微分的四则运算公式也是一一对应的微分中值定理 洛必达法则 泰勒公式微分中值定理 洛必达法则 泰勒公式罗尔定理，拉格朗日定理、柯西定理统称为微分中值定理，微分中值定理和泰勒公式在理论和数值计算中都非常重要． 微分中值定理是应用导数来研究函数本身性质以及导数的应用的理论依据。 对于本节，我们主要讲导数的应用：洛必达法则 、泰勒公式、函数单调性的判断、极值、最大最小值、函数的凹凸性与拐点。null 对于极限 很容易求得极限的值 对于极限 当然同样可以用类似的方法求得，但已经会是感到比较繁琐了 但对于极限 该如何求呢？null 类似地还要一些极限形式，如： 这一类极限称为不确定型，通过恒等变形，常常化为 或 解决这一类极限就是利用洛必达法则null洛必达法则： 如果满足下列三个条件 ： (1) (2) (3) 则null例：求极限 null例求 应用洛必达法则时，对函数做适当的化简很重要null例求null如果用洛必达法则时，求导数太繁，可先进行化简，化简后有些极限仍是 或 型，再使用洛必达法则， 例求 null例求：null例求 或null只要是不确定型的函数的极限都可以试着用洛必达法则来求极限，但函数必须化为分式的形式。 例null洛必达法则也不是万能的！ 例： 而实际上null 泰勒公式 多项式函数是最简单的函数.用多项带有余项的泰勒公式要内容,也是数学的研究课题之一. 式来逼近一般的函数是近似计算的重null答案: 当 f (x)在点 x0 有n 阶导数时, 这样的 n 次多设则有什么关系？项式是存在的. 现在来分析这样的多项式与 f (x)null即上式表明 Pn(x) 的各项系数是由其在点 x0 的各阶设 f (x) 在 x0 处 n 阶可导，导数所确定的.nullnull即null在以后的应用中, 公式 (3) 中的 x0 常被取作 0, 形此式称为(带有余项)马克劳林公式.式变为nullnullnull故 函数的单调性和极值 函数的单调性和极值 利用函数的一阶导数可以判定一元函数是否单调，也可以求出函数的极值。 null函数的单调性和极值 如下图可以看出单调性与导数符合的关系： null下面的定理由拉格朗日中值定理容易得到． 定理1 设函数 在闭区间 上连续、在开区间 内可导． (1) 又若在 内 ， 则 在 上单调增． (2) 又若在 内 ，则 在 上单调减．（证略） nullnull例已知函数 求函数的单调区间 解： 所以单调增区间为 和 ，单调减区间为(0，2) null例已知函数 求单调区间 解： 则在区间 有 在区间 有 单调增区间为 单调减区间为 null例： 解： 令 当null例 解：函数的定义域为 显然当x=0时，函数的导数不存在 但当null下面举例利用单调性证明不等式的例子 求证： 证明：null求证： 证明：null极值： 设函数f(x)在某区间内有定义， 极大极小值统称为极值，相应的点称为极值点。 求极值的关键是求出极值点，并判断出是极大值点还是极小值点。 极值是一个局部观念，在局部范围内是最大的或是最小的 从整个区域来讲，同个函数的极大值可能比极小值还小。 nullnull判断驻点是否极值点有下面两个定理：判断驻点是否极值点有下面两个定理：nullnullnull例已知函数 求函数的极值 解： null例已知函数 求极值 解： nullnullnull最大最小值问题： 在日常生活中，常常会遇到这样一类问题：在一定条件下，怎样使“产品最多、用料最省、成本最低、效率最高”等等问题，这类问题在数学上有时可归结为某一函数（通常称为目标函数）的最大最小值问题。 下面简单介绍这类问题的求解步骤。nullnullnullnullnull例：若某产品的售价实行浮动，不超过150件时，每件售价为200元，多于150件时，每超过一件，每件售价比原来减少1元．问销售多少件产品收益最大？ 解 设Q为件数，R为收益，P为价格，则 null曲线的凹凸区间和拐点 曲线的凹凸区间和拐点 nullnullnull对于拐点要满足条件： null不定积分 不定积分 本节先给出原函数和不定积分的概念，然后介绍不定积分的几种方法 原函数和不定积分：nullnull不定积分是求导数或求微分的逆运算 求导数是先知道函数再求导 而不定积分是先知道某一函数的导数f(x)，求函数（原函数）。 并且从不定积分来讲先知道某一函数的导数f(x)就是被积函数f(x). 当f(x)比较简单时当然可以直接看出原函数，但能直接看出原函数的被积函数f(x)肯定极少的，绝大多数的情况是需要运算的。 判断所求的原函数是否正确，只需对结果进行求导即可验证。 为了更多地求解有关不定积分的问题。下面先给出几个不定积分性质与公式。 null不定积分的性质：null基本积分表（是求不定积分的基础，必须熟记）null利用不定积分的性质和基本积分表可以求一些简单函数的不定积分： nullnullnullnullnull利用基本积分表和积分的性质，所能计算的不定积分是非常有限的。因此，有必要进一步引进其他一些不定积分的求法 下面我们主要讲： “凑”微分法 换元法 分部积分法“凑”微分法 “凑”微分法 nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull换元法换元法nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull 定积分的概念 在很多数学和实际问题中，经常需要求一类特殊的和式的极限，这类特殊的和式的极限问题导出了定积分的概念.null典型问题S (A), 其中null以前是在“常值”、“均匀”、“不变”的情况下，刻 a 到时刻 b，质点运动的路程 s.null 而现在遇到的问题是以下我们以求曲边梯形的面积为例，把这类问题中心思想：“非常值” 、“不均匀”、“有变化”的情形，如何来解决这些问题呢？合理地归为一类特殊的和式的极限.把曲边梯形看作许许多多小的曲边梯形之和，每个小曲边梯形面积，可近似地用矩形面积来代替null虽然为此会产生误差，但当分割越来越细的时候一分为二矩形面积之和就越来越接近于曲边梯形面积null一分为四null一分为八null一分为 n 可以看出小矩形面积之和越来越接近于曲边梯形的面积.null过程呢？ 可以分三步进行. 1. 分割：把曲边梯形 A 分成 n 个小曲边梯形如何严格地定义这一越来越逼近曲边梯形面积的nullnull3. 逼近：不管分割多么细，小曲边梯形终究不是问题是：nullnullnull下面举例来加深理解用定义求定积分的方法.nullnull定积分是一个极限值，是一个实数，该实数只与被积函数以及积分的上、下限有关； 规定 nullnullnullnullnullnull平面图形的面积平面图形的面积nullnullnullnullnull微积分的重点微积分的重点极限的计算： （1）极限的四则运算 （2）两个重要极限 （3）分段函数的左右极限的计算 函数的连续性 （1）函数的连续性的概念 （2）函数的间断点 null导数 （1）导数的概念 （2）导数的几何意义 （3）基本导数公式 （4）求导数法则： (i)四则求导法则 (ii)复合函数求导法则 (iii)隐函数求导法则 (iV)对数求导法则 null导数的应用 (1)求极限的洛比达法则 (2)函数单调性的判断以及不等式的证明 (3)函数的极值 (4)函数的最大最小值 (5)函数的凹凸性与拐点null不定积分 （1）原函数的概念 （2）不定积分的基本积分表 （3）求不定积分的方法： (i)第一换元法 (ii)第二换元法 (ii)分部积分法null定积分 （1）微积分基本公式 （2）定积分的计算 （3）利用定积分求平面图形的面积