第三章 二维随机变量

nullnull从本讲起，我们开始第三章的学习.一维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 由于从二维推广到多维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量 .它是第二章内容的推广.null第一节 二维随机变量二维随机变量的分布函数 二维离散型随机变量 二维连续型随机变量 课堂练习 小结 布置作业null 到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述. 在打靶时,命中点的位置是由一对r .v (两个坐标)来确定的. 飞机的重心在空中的位置是由三个r .v (三个坐标)来确定的等等. 为了研究某一地区学龄前儿童的发育情况,对这一地区的儿童进行抽查.对于每个儿童都能观察到他的身高H和体重W.在这里,样本空间S={e}={某地区的全部学龄前儿童},而H(e) 和W(e)是定义在S上的两个随机变量.null　　 一般地,设 E是一个随机试验，它的样本空间是 设 和　　　　 是定义在S上的随机变量，由它们构成的一个向量 叫做二维随机向量或 二维随机变量(如图3-1)，第二章讨论的随机变量也叫一维随机变量. 　　null 二维随机变量 的性质不仅与X及Y有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系,因此,逐个地研究X及Y的性质是不够的，还需将　　　作为一个整体来研究． 　　和一维的情况类似，我们也借助“分布函数”来研究二维随机变量 null二元 函数定义1一、二维随机变量的分布函数null分布函数的函数值的几何解释nullnullnull图３－２上面四个式子可以从几何意义上加以说明．例如， 在图３－２中将无穷矩形的右面边界向左无限平移（即　　　），则“随机点　　　　落在这个矩形内”这一事件趋于不可能事件，故其概率趋于０，即有　　　　　；又如　　　　　　　时图３－２中的无穷矩形扩展到全平面，随机点　　　　落在其中这一事件趋于必然事件，故其概率趋于１，即　　　　　　．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　上面四个式子可以从几何意义上加以说明．例如， 在图３－２中将无穷矩形的右面边界向左无限平移（即　　　），则“随机点　　　　落在这个矩形内”这一事件趋于不可能事件，故其概率趋于０，即有　　　　　；又如　　　　　　　时图３－２中的无穷矩形扩展到全平面，随机点　　　　落在其中这一事件趋于必然事件，故其概率趋于１，即　　　　　　．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　null二维随机变量的边缘分布函数null例2 设随机变量(X ,Y )的联合分布函数为其中A , B , C 为常数. 确定A , B , C ； 求X 和Y 的边缘分布函数； 求P (X > 2)null解 (1)(2)null(3)可以将二维 r.v.及其边缘分布函数的 概念推广到 n 维 r.v.及其联合分布函 数与边缘分布函数null或随机变量X和Y 的联合分布律. X 的分布律 定义2的值是有限对或可列无限多对,设二维离散型随机变量记如果二维随机变量二、二维离散型随机变量null二维离散型随机变量 的分布律具有性质null( X ,Y ) 的联合分布律null二维离散 r.v.的边缘分布律由联合分布可确定边缘分布,其逆不真.null1联合分布律及边缘分布律null⑴ 利用古典概型直接求；⑵ 利用乘法null例3 某校新选出的学生会 6 名女委员, 文、 理、工科各占1/6、1/3、1/2，现从中随机 指定 2 人为学生会主席候选人. 令X , Y 分 别为候选人中来自文、理科的人数. 解 X 与Y 的可能取值分别为0 , 1与0 , 1 , 2. 求(X, Y) 的联合分布律和边缘分布律.由乘法公式null或由古典概型相仿有null故联合分布律与边缘分布律为 0 10 1 23/15 6/15 1/153/15 2/15 0pi•p• j1/32/316/15 8/15 1/15null 例2　设随机变量X在１，２，３，４四个数中等可能的取一个值，另一个随机变量Ｙ在１～ X 中等可能地取一整数值．试求(X ,Y) 的分布律 . 　解 由乘法公式容易求的 ( X, Y ) 的分布率．易知,Ｐ｛Ｘ＝ｉ，Ｙ＝ｊ｝取值情况是：ｉ＝１，２，３，４，ｊ取不大于ｉ的正整数．且： 于是（Ｘ，Ｙ）的分布率为null 将(X,Y)看成一个随机点的坐标，由图３－２知道离散型随机变量Ｘ和Ｙ的联合分布函数为nullX的概率密度函数定义3三、二维连续型随机变量null（X,Y）的概率密度的性质 :由性质4,在f(x,y)的连续点处有由性质4,在f(x,y)的连续点处有这示若f(x,y)在点(x,y)连续,所以只要 很小时 这表示若f(x,y)在点(x,y)连续,所以只要 很小时 在几何上z=f(x,y)表示空间的一个曲面.由性质2知,介于它和xoy平面的空间区域的体积为1.由性质3知, 的值等于以G为底,以曲面 z=f(x,y)为顶面的柱体体积. 例2 设(X,Y)的概率密度是例2 设(X,Y)的概率密度是(1) 求分布函数 (2) 求概率 .null积分区域解 (1)nullnull故null(2)null边缘分布函数与边缘 d.f.与离散型相同,已知联合分布可以求 得边缘分布；反之则不能唯一确定.null例5 设 r.v.( X ,Y ) 的联合 d.f. 为其中k 为常数. 求常数 k ; P ( X + Y  1) , P ( X < 0.5); 边缘密度函数null解 （1）令(1)null(2) 0.5null直接由联合d. f. 求边缘d. f. null直接由联合d. f. 求边缘d. f. null量.null对于任意n个实数 , n元函数称为n维随机变量 的分布函数或随机变量 的联合分布函数.它具有类似于二维随机变量的分布函数的性质.null四、课堂练习null解 (1) 故null(2) .null五、小结 在这一节中，我们与一维情形相对照，介绍了二维随机变量的分布函数 ,离散型随机变量的分布律以及连续型随机变量的概率密度函数.null随机变量相互独立的定义 课堂练习 小结 布置作业第四节 相互独立的随机变量null两事件 A , B 独立的定义是：若P(AB)=P(A)P(B) 则称事件 A , B 独立 .设 X,Y是两个随机变量，若对任意的x,y,有 则称 X 和 Y 相互独立 .一、随机变量相互独立的定义null 它表明，两个随机变量相互独立时，它们的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积 .null 几乎处处成立，则称 X 和 Y 相互独立 .对任意的 x, y, 有 若 (X,Y)是连续型随机变量，则上述独立性的定义等价于：null 若 (X,Y)是离散型随机变量，则上述独立性的定义等价于：则称 X 和Y 相互独立.对(X,Y)的所有可能取值(xi , yj),有二、 　　例1 若Ｘ，Ｙ具有联合分布律二、 　　例1 若Ｘ，Ｙ具有联合分布律问X和Y是否独立？null解 P{X=0,Y=1}=1/6=P{X=0} P{Y=1} 　 P{X=0,Y=2}=1/6=P{X=0} P{Y=2} 　 P{X=1,Y=1}=2/6=P{X=1} P{Y=1} 　 P{X=1,Y=2}=2/6=P{X=1} P{Y=2} 因而Ｘ，Ｙ是相互独立的．例2 已知随机变量的联合分布律为试确定常数a及b,使与相互独立.例3 设(X,Y)的概率密度是例3 设(X,Y)的概率密度是(1) 求边缘密度函数 (2)判断与是否独立？null三、多维随机变量的一些概念nullnullnullnullnull四、课堂练习null§3.4 二维 r.v.函数的分布已知r.v.( X ,Y )的概率分布, g(x, y) 为已知的二元函数, 转化为( X ,Y )的事件求 Z = g( X ,Y )的概率分布null当( X ,Y )为离散r.v.时, Z 也离散当( X ,Y )为连续r.v.时，其中null例1 设二维r.v.( X,Y )的概率分布为null解 根据( X,Y )的联合分布可得如下表格： X +Y X -Y X Y Y / X -2 -1 0 1 1 2 0 -1 2 1 3 2 1 0 -1 0 -2 0 1 0 -1 0 -1/2 0null故得-2 -1 0 1 2-1 0 1 2 3null可加性 设 X ~B (n1, p), Y ~B (n2, p), 且独立，具有可加性的两个离散分布 设 X ~ P (1), Y ~ P (2), 且独立，可加性则 X + Y ~ B ( n1+n2, p)则 X + Y ~ P(1+ 2) nullX ~ P(1), Y ~ P(2), 则Z = X + Y 的可能取值为 0,1,2, , Poisson分布可加性的证明连续型问题 已知r.v.( X ,Y )的d.f.数， g(x,y)为已知的二元函数，求 Z= g( X ,Y ) 的d.f. 从求Z 的分布函数出发,将Z 的分布函数 转化为( X ,Y )的事件 建立新的二维r.v.(Z ,X )或(Z, Y ), 求其边缘分布得Z 的d.f.连续型null(1) 和的分布：Z = X + Y 设( X ,Y )的联合d.f.为 f (x,y), 则x +y= z或null特别地，若X ,Y 相互独立，则或或称之为函数 f X ( z) 与 f Y ( z)的卷积 例2例2 已知( X ,Y ) 的联合d.f.为Z = X + Y ,求 f Z (z)解法一（图形定限法）显然X ,Y 相互独立,且例2nullnull解法二 从分布函数出发当z < 0 时，null当0  z < 1 时，null当1 z < 2 时，z-1null当2  z 时，例3例3 已知 ( X ,Y ) 的联合 d.f.为Z = X + Y ,求 f Z (z)解法一 （图形定限法）例3null当 z < 0 或 z > 2 , 当 0 ≤ z < 1, 当 1 ≤ z < 2, f Z (z) = 0null这比用分布函数做简便null解法二 （不等式组定限法）考虑被积函数取非零值的区域令不等式边边相等,解得 z 轴上的三个分界点 0，1，2nullnull 正态随机变量的结论推广null已知 ( X ,Y )的联合d.f. f (x,y) 求 Z = aX +bY + c 的 d.f., 其中 a,b,c为常数，a , b  0（证明见后面附录）另法另一种计算 f Z (z) 的方法 构造一个新的二维 r.v. (Z ,V ), 求( Z , V ) 的联合 d.f. f ( z, v ) 求边缘密度 f Z (z)另法其中null设存在唯一的反函数：h , s 有连续的偏导数, 则已知 ( X ,Y )的联合 d.f. f XY ( x , y )求 (Z, V ) 的 p.d.f. f ZV(z, v) 的公式记null证null(2) 商的分布： Z = X / Y 例4例4 已知( X, Y ) 的联合分布函数为求Z = X / Y 的 p.d.f.解例4null(3) 平方和的分布: Z = X 2+Y 2设(X ,Y )的联合 d.f. 为 f (x,y)，则null例如，X ~ N(0,1), Y ~ N(0,1), X ,Y 相 互独立， Z = X 2+Y 2 , 则自由度为2 的 2分布称为null(4) 极值分布：即极大(小)值的分布离散随机变量的极值分布 可直接计算仅就独立情形讨论极值分布例5例5 X, Y 相互独立, 都服从参数为 0.5 的0-1分布. 求 M = max{X ,Y }的概率分布解例5null设连续随机变量X ,Y 相互独立, X ~ FX (x), Y ~ FY (y), M = max{X ,Y }, N = min{X ,Y }, 求 M ,N 的分布函数.nullnull推广则例6例6 系统 L 由相互独立的 n 个元件组(4) L 为 n 个取 k 个的表决系统 ( 即 n 个元件中有 k 个或 k 个以上的元件正 常工作时，系统 L 才正常工作).例6(3) 冷贮备 ( 起初由一个元件工作, 其它 n – 1 个元件做冷贮备, 当工作元件失效时, 贮备的元件逐个地自动替换)；成, 其连接方式为 (1)串联; (2)并联；null若 n 个元件寿命分别为且求在以上 4 种组成方式下, 系统 L 的 寿命 X 的 d.f.解null(1) null(2)null(3)n = 2 时，null可证, X 1+ X 2 与 X 3 也相互独立, 故null归纳地可以证明，null(4)nullnull习题作业 P.134习题三 20 22 23 26 29 30习题每周一题9 每周一题9 第9周 问 题设随机变量 X 与 Y 相互独立，且求随机变量 的概率密度 函数 每周一题10每周一题10 问 题 第10周 某民营企业生产的某产品每周的需求量 X (单位: 箱) 取[1 , 5]上的每个整数值是等可能的. 生产每箱产品的成本是300元,出厂价每箱900元.若售不出, 则每箱以100元的保管费借冷库保存. 问该企业每周生产多少产品能使获利的期望值最大？附录 设 X 与Y 相互独立, 且 X ~ B (n, p)，Y ~ B (m, p), 则二项分布可加性的证明 附 录附录 X + Y ~ B ( n + m , p)证Z = X + Y 的可能取值为 0,1,2, , n + mnullk = 0,1,2, , n + m 所以 X +Y~ B ( n+m , p )null(1) 设 n  m , 当 k  n 时，其中证二null(2) 当 n < k  m 时null(3) 当 m < k  n + m 时故 X + Y ~ B ( n + m , p)前例3前例3 已知 ( X ,Y )的联合密度函数为Z = X + Y ,求 f Z (z)解法三令前例3null211null附例附例 已知 ( X ,Y )的联合密度函数为Z = 3 X – 2 Y ,求 f Z (z)解令附例nullnull补作证附例 已知 ( X ,Y ) 的联合密度 f (x , y) 求 Z = aX +bY + c 的密度函数 , 其中 a,b,c为常数，a , b  0令补作证null由此得null六、布置作业《概率统计》化作业 (三)