高等数学微积分公式大全
高等数学完整版计算公式
一、
0
01
0 1
1
0 1
lim 0
n n
n
m mx
m
a n m
b
a x a x a n m
b x b x b
n m
−
−→∞
⎧ =⎪⎪+ + + ⎪= ⎪⎪⎩
"
" (系数不为 0 的情况)
二、重要公式(1)
0
sinlim 1
x
x
x→
= (2) ( )1
0
lim 1 x
x
x e→ + = (3)lim ( ) 1nn a a o→∞ > =
(4)...
高等数学完整版
一、
0
01
0 1
1
0 1
lim 0
n n
n
m mx
m
a n m
b
a x a x a n m
b x b x b
n m
−
−→∞
⎧ =⎪⎪+ + + ⎪= <⎨+ + + ⎪∞ >⎪⎪⎩
"
" (系数不为 0 的情况)
二、重要公式(1)
0
sinlim 1
x
x
x→
= (2) ( )1
0
lim 1 x
x
x e→ + = (3)lim ( ) 1nn a a o→∞ > =
(4) lim 1n
n
n→∞ = (5) lim arctan 2x x
π
→∞ = (6) lim tan 2x arc x
π
→−∞ = −
(7) lim arccot 0
x
x→∞ = (8) lim arccotx x π→−∞ = (9) lim 0xx e→−∞ =
(10) lim x
x
e→+∞ = ∞ (11) 0lim 1
x
x
x+→ =
三、下列常用等价无穷小关系( 0x→ )
sin x x∼ tan x x∼ arcsin x x∼ arctan x x∼ 211 cos
2
x x− ∼
( )ln 1 x x+ ∼ 1xe x− ∼ 1 lnxa x a− ∼ ( )1 1x x∂+ − ∂∼
四、导数的四则运算法则
( )u v u v′ ′ ′± = ± ( )uv u v uv′ ′ ′= + 2u u v uvv v
′ ′ ′−⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
五、基本导数公式
⑴ ( ) 0c ′ = ⑵ 1x xμ μμ −= ⑶ ( )sin cosx x′ =
⑷ ( )cos sinx x′ = − ⑸ ( ) 2tan secx x′ = ⑹ ( ) 2cot cscx x′ = −
⑺ ( )sec sec tanx x x′ = ⋅ ⑻ ( )csc csc cotx x x′ = − ⋅
⑼ ( )x xe e′ = ⑽ ( ) lnx xa a a′ = ⑾ ( ) 1ln x x′ =
⑿ ( ) 1log lnxa x a′ = ⒀ ( ) 21arcsin 1x x′ = − ⒁ ( ) 2
1arccos
1
x
x
′ = − −
⒂ ( ) 21arctan 1x x′ = + ⒃ ( ) 2
1arccot
1
x
x
′ = − + ⒄( ) 1x ′ = ⒅( ) 12x x′ =
六、高阶导数的运算法则
(1) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )n n nu x v x u x v x± = ±⎡ ⎤⎣ ⎦ (2) ( ) ( ) ( ) ( )n ncu x cu x=⎡ ⎤⎣ ⎦
(3) ( ) ( ) ( ) ( )n nnu ax b a u ax b+ = +⎡ ⎤⎣ ⎦ (4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
0
nn n kk k
n
k
u x v x c u x v x−
=
⋅ =⎡ ⎤⎣ ⎦ ∑
七、基本初等函数的 n 阶导数公式
(1) ( )( ) !nnx n= (2) ( )( )nax b n ax be a e+ += ⋅ (3) ( )( ) lnnx x na a a=
(4) ( ) ( )sin sin
2
n nax b a ax b n π⎛ ⎞+ = + + ⋅⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠
(5) ( ) ( )cos cos
2
n nax b a ax b n π⎛ ⎞+ = + + ⋅⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠
(6)
( ) ( ) ( ) 1
1 !1
n n
n
n
a n
ax b ax b +
⋅⎛ ⎞ = −⎜ ⎟+⎝ ⎠ + (7) ( )
( ) ( ) ( )( )
1 1 !ln 1
n
n n
n
a n
ax b
ax b
− ⋅ −+ = −⎡ ⎤⎣ ⎦ +
八、微分公式与微分运算法则
⑴ ( ) 0d c = ⑵ ( ) 1d x x dxμ μμ −= ⑶ ( )sin cosd x xdx=
⑷ ( )cos sind x xdx= − ⑸ ( ) 2tan secd x xdx= ⑹ ( ) 2cot cscd x xdx= −
⑺ ( )sec sec tand x x xdx= ⋅ ⑻ ( )csc csc cotd x x xdx= − ⋅
⑼ ( )x xd e e dx= ⑽ ( ) lnx xd a a adx= ⑾ ( ) 1lnd x dxx=
⑿ ( ) 1log lnxad dxx a= ⒀ ( ) 21arcsin 1d x dxx= − ⒁ ( ) 2
1arccos
1
d x dx
x
= − −
⒂ ( ) 21arctan 1d x dxx= + ⒃ ( ) 2
1arccot
1
d x dx
x
= − +
九、微分运算法则
⑴ ( )d u v du dv± = ± ⑵ ( )d cu cdu=
⑶ ( )d uv vdu udv= + ⑷ 2u vdu udvd v v
−⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
十、基本积分公式
⑴ kdx kx c= +∫ ⑵ 11xx dx c
μ
μ
μ
+
= ++∫ ⑶ lndx x cx = +∫
⑷
ln
x
x aa dx c
a
= +∫ ⑸ x xe dx e c= +∫ ⑹ cos sinxdx x c= +∫
⑺ sin cosxdx x c= − +∫ ⑻ 221 sec tancos dx xdx x cx = = +∫ ∫
⑼ 22
1 csc cot
sin
xdx x c
x
= = − +∫ ∫ ⑽ 21 arctan1 dx x cx = ++∫
⑾
2
1 arcsin
1
dx x c
x
= +−∫
十一、下列常用凑微分公式
积分型 换元公式
( ) ( ) ( )1f ax b dx f ax b d ax b
a
+ = + +∫ ∫ u ax b= +
( ) ( ) ( )1 1f x x dx f x d xμ μ μ μμ− =∫ ∫ u xμ=
( ) ( ) ( )1ln ln lnf x dx f x d x
x
⋅ =∫ ∫ lnu x=
( ) ( ) ( )x x x xf e e dx f e d e⋅ =∫ ∫ xu e=
( ) ( ) ( )1lnx x x xf a a dx f a d aa⋅ =∫ ∫ xu a=
( ) ( ) ( )sin cos sin sinf x xdx f x d x⋅ =∫ ∫ sinu x=
( ) ( ) ( )cos sin cos cosf x xdx f x d x⋅ = −∫ ∫ cosu x=
( ) ( ) ( )2tan sec tan tanf x xdx f x d x⋅ =∫ ∫ tanu x=
( ) ( ) ( )2cot csc cot cotf x xdx f x d x⋅ =∫ ∫ cotu x=
( ) ( ) ( )21arctan arc n arc n1f x dx f ta x d ta xx⋅ =+∫ ∫ arctanu x=
( ) ( ) ( )
2
1arcsin arcsin arcsin
1
f x dx f x d x
x
⋅ =−∫ ∫ arcsinu x=
十二、补充下面几个积分公式
tan ln cosxdx x c= − +∫ cot ln sinxdx x c= +∫
sec ln sec tanxdx x x c= + +∫ csc ln csc cotxdx x x c= − +∫
2 2
1 1 arctan xdx c
a x a a
= ++∫ 2 21 1 ln2 x adx cx a a x a−= +− +∫
2 2
1 arcsin xdx c
aa x
= +−∫ 2 22 2
1 lndx x x a c
x a
= + ± +±∫
十三、分部积分法公式
⑴形如 n axx e dx∫ ,令 nu x= , axdv e dx=
形如 sinnx xdx∫ 令 nu x= , sindv xdx=
形如 cosnx xdx∫ 令 nu x= , cosdv xdx=
⑵形如 arctannx xdx∫ ,令 arctanu x= , ndv x dx=
形如 lnnx xdx∫ ,令 lnu x= , ndv x dx=
⑶形如 sinaxe xdx∫ , cosaxe xdx∫ 令 ,sin ,cosaxu e x x= 均可。
十四、第二换元积分法中的三角换元公式
(1) 2 2a x− sinx a t= (2) 2 2a x+ tanx a t= (3) 2 2x a− secx a t=
【特殊角的三角函数值】
(1)sin 0 0= (2) 1sin
6 2
π = (3) 3sin
3 2
π = (4)sin 1
2
π = ) (5)sin 0π =
(1)cos 0 1= (2) 3cos
6 2
π = (3) 1cos
3 2
π = (4)cos 0
2
π = ) (5)cos 1π = −
(1) tan 0 0= (2) 3tan
6 3
π = (3)tan 3
3
π = (4)tan
2
π 不存在 (5)tan 0π =
(1)cot 0不存在 (2)cot 3
6
π = (3) 3cot
3 3
π = (4) cot 0
2
π = (5) cotπ 不存
在
十五、三角函数公式
1.两角和公式
sin( ) sin cos cos sinA B A B A B+ = + sin( ) sin cos cos sinA B A B A B− = −
cos( ) cos cos sin sinA B A B A B+ = − cos( ) cos cos sin sinA B A B A B− = +
tan tantan( )
1 tan tan
A BA B
A B
++ = −
tan tantan( )
1 tan tan
A BA B
A B
−− = +
cot cot 1cot( )
cot cot
A BA B
B A
⋅ −+ = +
cot cot 1cot( )
cot cot
A BA B
B A
⋅ +− = −
2.二倍角公式
sin 2 2sin cosA A A= 2 2 2 2cos 2 cos sin 1 2sin 2cos 1A A A A A= − = − = −
2
2 tantan 2
1 tan
AA
A
= −
3.半角公式
1 cossin
2 2
A A−= 1 coscos
2 2
A A+=
1 cos sintan
2 1 cos 1 cos
A A A
A A
−= =+ +
1 cos sincot
2 1 cos 1 cos
A A A
A A
+= =− −
4.和差化积公式
sin sin 2sin cos
2 2
a b a ba b + −+ = ⋅ sin sin 2cos sin
2 2
a b a ba b + −− = ⋅
cos cos 2cos cos
2 2
a b a ba b + −+ = ⋅ cos cos 2sin sin
2 2
a b a ba b + −− = − ⋅
( )sintan tan
cos cos
a b
a b
a b
++ = ⋅
5.积化和差公式
( ) ( )1sin sin cos cos
2
a b a b a b= − + − −⎡ ⎤⎣ ⎦ ( ) ( )1cos cos cos cos2a b a b a b= + + −⎡ ⎤⎣ ⎦
( ) ( )1sin cos sin sin
2
a b a b a b= + + −⎡ ⎤⎣ ⎦ ( ) ( )1cos sin sin sin2a b a b a b= + − −⎡ ⎤⎣ ⎦
6.万能公式
2
2 tan
2sin
1 tan
2
a
a a= +
2
2
1 tan
2cos
1 tan
2
a
a a
−
=
+
2
2 tan
2tan
1 tan
2
a
a a= −
7.平方关系
2 2sin cos 1x x+ = 2 2sec n 1x ta x− = 2 2csc cot 1x x− =
8.倒数关系
tan cot 1x x⋅ = sec cos 1x x⋅ = c sin 1cs x x⋅ =
9.商数关系
sintan
cos
xx
x
= coscot
sin
xx
x
=
十六、几种常见的微分方程
1.可分离变量的微分方程: ( ) ( )dy f x g y
dx
= , ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 0f x g y dx f x g y dy+ =
2.齐次微分方程: dy yf
dx x
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
3.一阶线性非齐次微分方程: ( ) ( )dy p x y Q x
dx
+ = 解为:
( ) ( ) ( )p x dx p x dxy e Q x e dx c− ⎡ ⎤∫ ∫= +⎢ ⎥⎣ ⎦∫
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