解斜三角形

课时作业29　解斜三角形 时间：45分钟　　　　分值：100分 一、选择题(每小题5分，共30分) 1．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A＝eq \f(π,3)，a＝eq \r(3)，b＝1，则c等于 (　　) A．1　　　　　　　　　　 B．2 C.eq \r(3)－1 D.eq \r(3) 解析：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，可得3＝1＋c2－2c·coseq \f(π,3)，即c2－c－2＝0，得c＝－1(舍去)，c＝2.故选B. 答案：B 2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a2＋c2－b2＝eq \r(3)ac，则角B的值为 (　　) A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,6)或eq \f(5π,6) D.eq \f(π,3)或eq \f(2π,3) 解析：由a2＋c2－b2＝eq \r(3)ac联想到余弦定理cosB＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(\r(3),2)，∴∠B＝eq \f(π,6). 答案：A 3．在三角形ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC的大小为 (　　) A.eq \f(2π,3) B.eq \f(5π,6) C.eq \f(3π,4) D.eq \f(π,3) 解析：由余弦定理cos∠BAC＝eq \f(AB2＋AC2－BC2,2·AB·AC)＝eq \f(52＋32－72,2×5×3)＝－eq \f(1,2)，∴∠BAC＝120°. 答案：A 4．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c＝2a，则cosB等于 (　　) A.eq \f(1,4) B.eq \f(3,4) C.eq \f(\r(2),4) D.eq \f(\r(2),3) 解析：∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac. 又∵c＝2a，∴b2＝2a2. 由余弦定理，cosB＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(3a2,4a2)＝eq \f(3,4)，故选B. 答案：B 5．已知△ABC，若对任意m∈R，|eq \o(BC,\s\up6(→))－meq \o(BA,\s\up6(→))|≥|eq \o(CA,\s\up6(→))|恒成立，则△ABC必定为 (　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定 解析：设meq \o(BA,\s\up6(→))＝eq \o(BD,\s\up6(→))，则由题意得|eq \o(DC,\s\up6(→))|≥|eq \o(CA,\s\up6(→))|，由m的任意性可知，点D可视为是直线AB上的任意一点，即对于直线AB上的任意一点D与点C的距离都不小于A、C两点间的距离，因此AC⊥AB，选C. 答案：C 6．(2009·泉州质检)在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设B＝2A，则ba的取值范围是 (　　) A．(1,2) B．(0,2) C．(eq \r(2)，2) D．(eq \r(2)，eq \r(3)) 解析：eq \f(b,a)＝eq \f(sinB,sinA)＝2cosA， 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(00，ω>0)，x∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3,2eq \r(3))；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°. 图1 (1)求A，ω的值和M，P两点间的距离； (2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？ 图2 解：解法1：(1)依题意，有A＝2eq \r(3)，eq \f(T,4)＝3， 又T＝eq \f(2π,ω)，∴ω＝eq \f(π,6). ∴y＝2eq \r(3)sineq \f(π,6)x. 当x＝4时，y＝2eq \r(3)sineq \f(2π,3)＝3， ∴M(4,3)．又P(8,0)， ∴MP＝eq \r(42＋32)＝5. (2)在△MNP中，∠MNP＝120°，MP＝5. 设∠PMN＝θ，则0°<θ<60°. 由正弦定理得eq \f(MP,sin120°)＝eq \f(NP,sinθ)＝eq \f(MN,sin(60°－θ))， ∴NP＝eq \f(10\r(3),3)sinθ，MN＝eq \f(10\r(3),3)sin(60°－θ)． 故NP＋MN＝eq \f(10\r(3),3)sinθ＋eq \f(10\r(3),3)sin(60°－θ) ＝eq \f(10\r(3),3)(eq \f(1,2)sinθ＋eq \f(\r(3),2)cosθ)＝eq \f(10\r(3),3)sin(θ＋60°)． ∵0°<θ<60°，∴当θ＝30°时，折线段赛道MNP最长． 亦即，将∠PMN设计为30°时，折线段赛道MNP最长． 解法2：(1)同解法1. (2)在△MNP中，∠MNP＝120°，MP＝5， 由余弦定理得 MN2＋NP2－2MN·NP·cos∠MNP＝MP2， 即MN2＋NP2＋MN·NP＝25. 故(MN＋NP)2－25＝MN·NP≤(eq \f(MN＋NP,2))2， 从而eq \f(3,4)(MN＋NP)2≤25，即MN＋NP≤eq \f(10\r(3),3)， 当且仅当MN＝NP时等号成立． 亦即，设计为MN＝NP时，折线段赛道MNP最长． 注：本题第(2)问答案及其呈现方式均不唯一．除了解法1、解法2给出的两种设计方式，还可以设计为：①N(eq \f(12＋\r(3),2)，eq \f(9＋4\r(3),6))；②N(eq \f(12－\r(3),2)，eq \f(9－4\r(3),6))；③点N在线段MP的垂直平分线上等．